Высшая математика. Первый семестр/Вещественные числа
Множество рациональных чисел
[править]Предварительные замечания
[править]Определение. Рациональным числом будем называть дробь вида , где p — целое число, q — натуральное число, причём p и q взаимно просты.
Множество всех рациональных чисел будем обозначать Q.
Из школьного курса хорошо знакомы рациональные числа. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональных чисел не существует зачастую корней даже из положительных (натуральных) чисел, например , то есть нет такой рациональной дроби (где и — натуральные числа), квадрат которого был бы равен . Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь , что . Мы вправе считать эту дробь несократимой, то есть и лишёнными общих множителей. Так как , то есть число чётное: ( — целое)и, следовательно, — нечётное. Подставляя вместо его выражение, найдём: , откуда следует, что — чётное число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не все отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не может иметь рациональной длины , ибо, в противном случае, по теореме Пифагора, квадрат этой длины был бы равен , что, как мы видели, невозможно.
Свойства множества рациональных чисел
[править]- Замкнутость. Для любых двух рациональных чисел a и b их сумма , разность , произведение , а при также и частное также будет рациональным числом.
- Плотность. Между любыми двумя различными рациональными числами a и b существует хотя бы одно рациональное число c, например, . Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. Поскольку между a и c, а также между c и b тоже существует хотя бы одно рациональное число, отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами a и b существует бесконечно много рациональных чисел.
- Упорядоченность. Для любых двух рациональных чисел a и b выполняется одно и только одно из трёх соотношений: .
- Неограниченность. Не существует наибольшего и наименьшего рациональных чисел. Для любого рационального числа r найдутся (даже целые) числа m и n такие, что .