Высшая математика. Первый семестр/Пределы

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пусть задана некоторая меняющаяся величина , зависящая от переменного . Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие : переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу . Если это так, то это «что-то» называется пределом величины при данном условии для и обозначается

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Предел функции при x→x0[править]

Предел при

Пусть  — это функция вещественного переменного , определённая во всех точках интервала , кроме, быть может, точки . Дадим определение предела величины при условии, что стремится к точке . Это условие кратко обозначается . Стремление к означает, что при своём изменении оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку , но не совпадает с , то есть значение становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие значения становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу , причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа можно указать, насколько близко должен подойти к , чтобы значения уже попадали в эту окрестность числа . Тогда число есть предел функции при условии , что записывается так:

Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки (симметричная относительно ) характеризуется её полушириной , то есть имеет вид интервала . Если значение попало в такую -окрестность, то это означает, что . Любая окрестность точки , не содержащая самой точки (и симметричная относительно ), — это объединение двух смежных интервалов3 . Попадание точки в эту окрестность означает, что выполнено неравенство и . Равенство означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число (зависящее от ), что при будет .

При этом число называется пределом функции при условии . Тот факт, что , записывают ещё в виде

График

Пример 1: Пусть и рассматривается функция . Покажем, что

Для этого фиксируем произвольное число , задающее окрестность , и выясним, при каких значения функции будут попадать в эту окрестность точки 1.

Попадание значений в окрестность означает, что выполняется неравенство , то есть . При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки . Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при . Таким образом, если взять (это число больше 0), то при будет выполнено неравенство , что и означает, что предел равен числу 1: , или .

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

Предел последовательности при n→∞[править]

Последовательность и её предел

Пусть дана бесконечная последовательность чисел, занумерованных по порядку:

(Эту последовательность можно рассматривать как функцию , определённую при всех натуральных значениях аргумента .) Дадим определение предела последовательности при условии, что номер неограниченно растёт (это условие обозначается ). Стремление к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа , то есть начинает выполняться неравенство . Если при этом числа становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу , то это число — предел последовательности, что записывается так:

Формализуем сказанное. Множества чисел , заданные условиями , можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число (зависящее от ), что при (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство .

При этом число называется пределом последовательности при условии . Тот факт, что , записывают также в виде

Последовательность

Пример 2: Покажем, что предел последовательности равен 0.

Фиксируем произвольное число и подберём число в зависимости от так, чтобы при выполнялось неравенство , то есть . Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при . Значит, достаточно выбрать в качестве натуральное число, ближайшее к справа на вещественной оси4, то есть , и тогда при любом неравенство будет верным. Это означает, что

или .

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

Предел функции f(x) при условии x→+∞[править]

Предел при

Определим окрестности бесконечности как множества точек , заданные неравенствами , то есть лучи . Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности точки можно было найти такую окрестность бесконечности , что при попадании в эту окрестность, то есть при , соответствующее значение попадает в заданную вначале окрестность точки , то есть выполняется неравенство . Выполнение этого требования будет означать, что  — предел функции при условии , то есть

Тот факт, что , записывают ещё в виде

График функции

Пример 3: Покажем, что предел функции при равен числу 3.

Фиксируем и подберём по этому числу такое число , что при любом выполняется неравенство

Сразу будем считать, что  — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде или . Так как , то и неравенство имеет вид , откуда . Если теперь взять число равным (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при будет выполняться неравенство ; это означает, что

или .

Первый замечательный предел[править]

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел , который называют Первым замечательным пределом


Доказательство

Sinx x limit proof.svg

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Применение:

Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо.


Пример:

Найти

Пример:

Второй замечательный предел[править]

или

Доказательство второго замечательного предела:

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

      (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность возрастающая, при этом

     (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому       (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3):   .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. }}

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.   

Следствия

  1. для ,

Доказательства следствий

Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p. Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: . При неприрывной капитазизации получим:

Пример

==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x