Пусть задана некоторая меняющаяся величина , зависящая от переменного . Предположим, что это переменное можно менять так, что выполняется некоторое условие : переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу . Если это так, то это «что-то» называется пределом величины при данном условии для и обозначается
Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.
Пусть — это функция вещественного переменного , определённая во всех точках интервала , кроме, быть может, точки . Дадим определение предела величины при условии, что стремится к точке . Это условие кратко обозначается . Стремление к означает, что при своём изменении оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку , но не совпадает с , то есть значение становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие значения становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу , причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа можно указать, насколько близко должен подойти к , чтобы значения уже попадали в эту окрестность числа . Тогда число есть предел функции при условии , что записывается так:
Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки (симметричная относительно ) характеризуется её полушириной , то есть имеет вид интервала . Если значение попало в такую -окрестность, то это означает, что . Любая окрестность точки , не содержащая самой точки (и симметричная относительно ), — это объединение двух смежных интервалов3 . Попадание точки в эту окрестность означает, что выполнено неравенство и . Равенство означает тогда, что
для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число (зависящее от ), что при будет .
При этом число называется пределом функции при условии . Тот факт, что , записывают ещё в виде
Пример 1: Пусть и рассматривается функция . Покажем, что
Для этого фиксируем произвольное число , задающее окрестность , и выясним, при каких значения функции будут попадать в эту окрестность точки 1.
Попадание значений в окрестность означает, что выполняется неравенство , то есть . При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки . Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при . Таким образом, если взять (это число больше 0), то при будет выполнено неравенство , что и означает, что предел равен числу 1: , или .
Пусть дана бесконечная последовательность чисел, занумерованных по порядку:
(Эту последовательность можно рассматривать как функцию , определённую при всех натуральных значениях аргумента .) Дадим определение предела последовательности при условии, что номер неограниченно растёт (это условие обозначается ). Стремление к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа , то есть начинает выполняться неравенство . Если при этом числа становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу , то это число — предел последовательности, что записывается так:
Формализуем сказанное. Множества чисел , заданные условиями , можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство означает тогда, что
для любого, сколь угодно малого, числа можно найти такое число (зависящее от ), что при (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство .
При этом число называется пределом последовательности при условии . Тот факт, что , записывают также в виде
Пример 2: Покажем, что предел последовательности равен 0.
Фиксируем произвольное число и подберём число в зависимости от так, чтобы при выполнялось неравенство , то есть . Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при . Значит, достаточно выбрать в качестве натуральное число, ближайшее к справа на вещественной оси4, то есть , и тогда при любом неравенство будет верным. Это означает, что
или .
Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.
Определим окрестности бесконечности как множества точек , заданные неравенствами , то есть лучи . Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности точки можно было найти такую окрестность бесконечности , что при попадании в эту окрестность, то есть при , соответствующее значение попадает в заданную вначале окрестность точки , то есть выполняется неравенство . Выполнение этого требования будет означать, что — предел функции при условии , то есть
Тот факт, что , записывают ещё в виде
Пример 3: Покажем, что предел функции при равен числу 3.
Фиксируем и подберём по этому числу такое число , что при любом выполняется неравенство
Сразу будем считать, что — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде или . Так как , то и неравенство имеет вид , откуда . Если теперь взять число равным (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при будет выполняться неравенство ; это означает, что
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
, который называют Первым замечательным пределом
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где — площадь сектора )
(из : )
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на :
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Применение:
Из доказательства первого замечательного предела очевидно, что при малых значениях x, sin x приблизительно равен x(sin 0.1=0.099833417). Это приближение используется в при практических расчетах в физике. Напоминаем, что математика точная наука, и использование приближений, недопустимо.
Пример:
Найти
Решение
Имеем неопределенность . Нельзя применить теорему о пределе дроби. Обозначим 4x=t; тогда при . Преобразуем предел:
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
(1)
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
}}
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что
. Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку , тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для ,
Доказательства следствий
Интересным свойством 2ого замечательного предела, является то, что он показывает банковские проценты по вкладу при неприрывной капитализация. Предположим что процент по вкладу составляет p.
Тогда при капитализации раз в год мы получим S*(1+p). При капитализации раз в месяц мы получим: . При неприрывной капитазизации получим:
Пример
==Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0==e7x/tg3x