Аналитическая геометрия/Скалярное произведение

Аналитическая геометрия

---

1. Векторы и действия над ними
2. Базис
3. Системы координат
4. Скалярное произведение
5. Векторное произведение
6. Смешанное произведение
7. На плоскости
8. В пространстве
9. Кривые второго порядка
10. Поверхности второго порядка
11. Отображения и преобразования плоскости
12. Аффиные преобразования
13. Ортогональные преобразования

Скалярное произведение — операция над двумя векторами, чей результат это скаляр.

Определение

Скалярное произведение двух векторов — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение: $(a,b)=|a|*|b|*cos{\varphi }$, где $\varphi$ — угол между векторами.

Геометрический смысл

$({\vec {a}},{\vec {b}})=|{\vec {b}}|\Pi P_{\vec {b}}{\vec {a}}$, если ${\vec {b}}\neq 0$.

Свойства

1. $({\vec {a}},{\vec {b}})=0\Leftrightarrow {\vec {a}}\perp {\vec {b}}$
2. $({\vec {a}},{\vec {b}})=({\vec {b}},{\vec {a}})$
3. $({\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}},{\vec {c}})+({\vec {b}},{\vec {c}})$
4. $(\lambda *{\vec {a}},{\vec {b}})=\lambda ({\vec {a}},{\vec {b}})$
5. $({\vec {a}},{\vec {a}})=|{\vec {a}}|^{2}$
6. ${\vec {a}}\neq 0,{\vec {b}}\neq 0\quad cos{\varphi }={\frac {({\vec {a}},{\vec {b}})}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$