Основы теоретической физики/Вынужденные одномерные колебания при наличии трения

1.5.6. Вынужденные одномерные колебания при наличии трения

Рассмотрим периодические колебания, в которых кроме трения есть еще и вынуждающая периодическая внешняя сила.

$F=f\cos \gamma t$ (1.5.45)

В этом случае к уравнению движения   (1.5.39)    добавится еще одно слагаемое:

${\begin{aligned}&m{\ddot {x}}+kx=-\alpha {\dot {x}}+f\cos \gamma t\\&{\ddot {x}}+\underbrace {\frac {\alpha }{m}} _{2\lambda }{\dot {x}}+\underbrace {\frac {k}{m}} _{\omega _{0}^{2}}x={\frac {f}{m}}\cos \gamma t\\\end{aligned}}$ (1.5.46)

Удобней решение искать в комплексном виде, а потом взять действительную часть. Перепишем   (1.5.46)    в комплексных числах:

$Re\left\{{\ddot {X}}+2\lambda {\dot {X}}+\omega _{0}^{2}X\right\}=Re\left\{{\frac {f}{m}}{e^{i\gamma t}}\right\}$ (1.5.47)

Частное решение уравнения   (1.5.47)    без правой части, для малого коэффициента затухания $\lambda <\omega _{_{0}}$, находили в   (1.5.41)   :

$\left\{{\begin{aligned}&{\overline {x}}=a{e^{-\lambda t}}\cos \left(\omega t+\alpha \right)\\&\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}\\\end{aligned}}\right.$ (1.5.48)

Частный интеграл уравнения   (1.5.47)    с правой частью тоже легко найти:

${\begin{matrix}\left.{\begin{aligned}&{\ddot {X}}+2\lambda {\dot {X}}+\omega _{0}^{2}X={\frac {f}{m}}{{e}^{i\gamma t}}\\&X=B{{e}^{i\gamma t}}\\&{\dot {X}}=i\gamma B{{e}^{i\gamma t}}\\&{\ddot {X}}=-{{\gamma }^{2}}B{{e}^{i\gamma t}}\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow {\begin{matrix}\displaystyle -{{\gamma }^{2}}B+2i\gamma B\lambda +\omega _{0}^{2}B={\frac {f}{m}}\\\displaystyle B={\frac {f}{m\left(2i\gamma \lambda +\omega _{0}^{2}-{{\gamma }^{2}}\right)}}\\\end{matrix}}\\\displaystyle X={\frac {f}{m\left(2i\gamma \lambda +\omega _{0}^{2}-{{\gamma }^{2}}\right)}}{{e}^{i\gamma t}}\\\end{matrix}}$ (1.5.49)

Решение   (1.5.49)    можно преобразовать так, чтобы впоследствии было удобней брать действительную часть:

${\begin{matrix}\displaystyle \underbrace {b={\frac {f}{m{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}\right)^{2}+4\gamma ^{2}\lambda ^{2}}}}};tg\delta ={\frac {2\gamma \lambda }{\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}} \\\Downarrow \\\displaystyle X={\frac {f}{m\left(2i\gamma \lambda +\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}\right)}}e^{i\gamma t}=b{e^{i\left(\gamma t+\delta \right)}}\\\end{matrix}}$ (1.5.50)

Теперь можно найти общее решение уравнения движения   (1.5.46)   :

$x=Re\left\{{\overline {x}}+X\right\}=a{{e}^{-\lambda t}}\cos \left(\omega t+\alpha \right)+b\cos \left(\gamma t+\delta \right)$ (1.5.51)

Первое слагаемое в   (1.5.51)    экспоненциально убывает со временем, значит через длительный промежуток времени уравнение траектории примет вид:

$x=b\cos \left(\gamma t+\delta \right)$ (1.5.52)

Из   (1.5.50)    можно найти частоту $\gamma$, при которой амплитуда колебаний $b$ в формуле   (1.5.52)    будет максимальной, если вынуждающая сила $f$ задана:

${\frac {d}{d\gamma }}\left({\frac {f}{m{\sqrt {{{\left(\omega _{0}^{2}-{{\gamma }^{2}}\right)}^{2}}+4{{\gamma }^{2}}{{\lambda }^{2}}}}}}\right)=0\Leftrightarrow \gamma ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2{{\lambda }^{2}}}}$ (1.5.53)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление