Основы теоретической физики/Свободные одномерные колебания

1.5.1. Свободные одномерные колебания

Задача о малых колебаниях тела, является одной из наиболее простых и распространённых задач механики. Самым простым является случай системы с одной степенью свободы – свободные одномерные колебания.

Пусть устойчивому положению равновесия системы, соответствует энергия $U(q_{{}_0}{)}_{min}$. При отклонении от равновесия на систему начинает действовать сила, стремящаяся вернуть систему обратно. Пусть $q_{{}_0}$ - координата, соответствующая положению равновесия. Тогда разложение потенциальной энергии тела в ряд Тейлора, до членов второго порядка малости, будет определяться выражением:

$U(q)\approx U(q_0)+U^{\prime }(q_0)(q-q_0)+\frac{U^{″}(q_0)}{2}{(q-q_0)}^2$ (1.5.1)

Первое слагаемое в   (1.5.1)    можно принять равным нулю, выбрав соответствующее начало системы координат, а второе слагаемое равно нулю так как должна быть равна нулю первая производная в точке экстремума.

Рис.1.13

$U(q_0)=U^{\prime }(q_0)=0\Rightarrow U(q)\approx \frac{U^{″}(q_0)}{2}{(q-q_0)}^2$ (1.5.2)

Если выбрать систему координат такую, чтобы $q_{{}_0}=0$, обозначить вторую производную $U^{″}(q_{{}_0})=k$, тогда для декартовых координат, выражение   (1.5.2)    примет вид:

$U(x)\approx \frac{k}{2}{x}^2$ (1.5.3)

Запишем кинетическую энергию для одномерного случая в обобщенных и декартовых координатах:

$T=\frac{1}{2}a(q){\dot{q}}^2=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$ (1.5.4)

Теперь можно подставить   (1.5.3)    и   (1.5.4)    в функцию Лагранжа и решить уравнение движения:

$\begin{array}{cc}& L=T-U=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2\\ & \begin{array}{c}\frac{d}{dt}\underset{m\dot{x}}{\underbrace{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}}-\underset{-kx}{\underbrace{\frac{\partial L}{\partial x}}}=0=m\ddot{x}+kx\Rightarrow \ddot{x}+\underset{{\omega }^2}{\underbrace{\frac{k}{m}}}x=0\\ \Downarrow \\ \ddot{x}+{\omega }^{2}x=0\end{array}\end{array}$ (1.5.5)

Общее решение уравнения   (1.5.5)    ищется через замену переменной на тригонометрическую или экспоненциальную функцию. Найдем и решим характеристическое уравнение:

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& x=C{e}^{\lambda t}\\ & \dot{x}=C\lambda e^{\lambda t}\\ & \ddot{x}=C{\lambda }^2{e}^{\lambda t}\end{array}{\displaystyle }\}\Rightarrow \ddot{x}+{\omega }^{2}x=({\lambda }^2+{\omega }^2)C{e}^{\lambda t}=0\\ \lambda =\pm \sqrt{-1}\cdot \omega =\pm i\omega \end{array}$ (1.5.6)

Поскольку получилось два независимых решения, то общее решение уравнения   (1.5.5)    будет суммой:

$\begin{array}{cc}& x=C_1{e}^{i\omega t}+C_2{e}^{-i\omega t}=\underset{\_}{C_1\cos \omega t}+\underset{\_}{\underset{\_}{C_{1}i\sin \omega t}}+\underset{\_}{C_2\cos \omega t}-\underset{\_}{\underset{\_}{C_{2}i\sin \omega t}}\\ & x=(C_1+C_2)\cos \omega t+(C_{1}i-C_{2}i)\sin \omega t\end{array}$ (1.5.7)

Можно воспользоваться тригонометрическим тождеством для косинуса суммы и привести   (1.5.7)    к виду:

$\begin{array}{cc}& x=a\cos (\omega t+\alpha )\\ & a=2C_1{C}_2\\ & \text{tg}\alpha =\frac{C_2-C_1}{C_1+C_2}i\end{array}$ (1.5.8)

Таким образом, решение   (1.5.8)    показывает, что вблизи точки равновесия система совершает гармонические колебания по закону косинуса.

Величину a – называют «амплитудой колебаний»

Угол $\omega t+\alpha$ — называют «фазой»

Угол $\alpha$ — это начальное значение фазы, зависящее от выбора начального момента времени.

Величину $\omega$ – называют «циклической частотой колебаний». Эта частота связана с периодом колебаний и с линейной частотой соотношениями:

$\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T}$ (1.5.9)

Полную энергию системы, совершающей малые одномерные колебания, можно найти если подставить решение   (1.5.9)    в кинетическую   (1.5.4)    и потенциальную энергии   (1.5.3)   :

$E=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{k}{2}{x}^2=\frac{m}{2}{\omega }^2{a}^2$ (1.5.10)

То есть энергия получается пропорциональной квадрату частоты и квадрату амплитуды колебаний. Решение   (1.5.8)    записано в вещественных числах, поскольку физические величины могут быть только вещественными. Однако оперирование экспоненциальными множителями в математическом смысле проще, чем тригонометрическими, так как дифференцирование и интегрирование не меняет их вида. Поэтому часто решение   (1.5.8)    удобно применять в виде:

$\begin{array}{cc}& x=Re\left(A{e}^{i\omega t}\right)\\ & A=a{e}^{i\alpha }\end{array}\}\Rightarrow X=A{e}^{i\omega t}$ (1.5.11)

Величину A – называют «комплексной амплитудой». Величина X в   (1.5.11)    тогда имеет смысл «комплексной координаты».

Оперируя комплексными координатами и амплитудами, нужно понимать, что пока производятся лишь линейные операции, такие как сложение, умножение на константы, дифференцирование, интегрирование, можно вообще не брать вещественную часть, переходя к ней только в ответе.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление