Основы теоретической физики/Свойства функции Гамильтона

1.3.2. Свойства функции Гамильтона

Фактически функция Гамильтона — это энергия системы, выраженная через координаты и импульсы входящих в систему материальных точек. Поскольку энергия замкнутой системы не зависит от времени, для полной производной Гамильтониана получаем:

${\begin{aligned}&0={\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial t}}+\sum {\underbrace {\frac {\partial H}{\partial q_{i}}} _{-{\dot {p}}_{i}}{{\dot {q}}_{i}}}+\sum {\underbrace {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}} _{{\dot {q}}_{i}}{{\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial t}}\\&{\frac {\partial H}{\partial t}}=0\\\end{aligned}}$ (1.3.7)

Свойство Гамильтониана, определяющееся выражением  (1.3.7)  , показывает, что Гамильтониан замкнутой системы не зависит от времени явно, хотя и может содержать зависящие от времени функции координат и импульсов.

Покажем, что если функции Гамильтона и Лагранжа явно зависят от какого-то параметра системы ($\lambda$), то можно получить формулу, которая связывает эти функции:

${\begin{array}{c}\displaystyle L=L(q,{\dot {q}},\lambda )\Rightarrow dL=\sum {\underbrace {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}} _{{\dot {p}}_{i}}d{q_{i}}+}\sum {\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}} _{p_{i}}d{{\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}d\lambda \\\displaystyle H=H(p,q,\lambda )\Rightarrow dH=\sum {\underbrace {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}} _{{\dot {q}}_{i}}d{p_{i}}}+\sum {\underbrace {\frac {\partial H}{\partial q_{i}}} _{-{\dot {p}}_{i}}d{q_{i}}}+{\frac {\partial H}{\partial \lambda }}d\lambda \\\displaystyle \underbrace {dH+dL} _{d\sum {\dot {q}}_{i}p_{i}}=\underbrace {\sum {{{\dot {q}}_{i}}d{p_{i}}}+\sum {{p_{i}}d{{\dot {q}}_{i}}}} _{d\sum {{{\dot {q}}_{i}}{p_{i}}}}+{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}d\lambda +{\frac {\partial H}{\partial \lambda }}d\lambda \\\Downarrow \\\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial \lambda }}=-{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}\end{array}}$ (1.3.8)

Выражение  (1.3.8) 

дает связь частных производных по параметру для функций Лагранжа и Гамильтона.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление