Зная вид релятивистской функции Лагранжа, можно теперь найти импульс свободной частицы из определения:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.36)
Легко заметить, что при малых скоростях получается классическая формула для импульса:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.37)
Энергию свободной частицы также можно вычислить через функцию Лагранжа по определению, которое было дано в классической механике:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.38)
Формула (2.3.38) означает, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не равна нулю, а остается конечной величиной, даже если скорость частицы равна нулю.
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.39)
Энергию (2.3.39) называют энергией покоя частицы. Легко показать, что формулы (2.3.38) и (2.3.39) не противоречат классической механике при малых скоростях:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.40)
Таким образом, релятивистская механика показывает, что энергия свободной частицы при малых скоростях состоит из двух энергий: энергии покоя и кинетической энергии. Не зависящая от скорости, постоянная величина энергии покоя, никак не учитывается в формулах классической механики поскольку энергия всегда определяется с точностью до произвольной постоянной.
Если объединить (2.3.36) и (2.3.38) , то можно получить две формулы, дающие связь энергии и импульса в релятивистской механике:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.41)
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.42)
Из (2.3.41) легко получить зависимость энергии от импульса – функцию Гамильтона:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.43)
При малых скоростях выражение (2.3.43) раскладывается в ряд Тейлора и получается «классическая» функция Гамильтона свободной частицы:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.44)
С другой стороны, из (2.3.42) можно получить импульс частицы, движущейся со скоростью света:
Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle Undefined~formula }формулы (2.3.45)
Подставляя (2.3.45) в (2.3.41) получим, что масса частицы, движущейся со скоростью света, должна быть равна нулю.
