Основы теоретической физики/Четырёхмерный импульс
2.3.6. Четырёхмерный импульс
[править]Используя принцип наименьшего действия, энергию и импульс частицы можно получить в четырехмерном виде. Приравняем к нулю вариацию действия и воспользуемся определением интервала через 4-вектор:
Используя определение 4-скорости и проинтегрировав (2.3.46) по частям, получим:
Если мировые точки начального и конечного события точно заданы, то первое слагаемое в правой части (2.3.47) будет равно нулю, тогда для второго слагаемого получаем:
То есть 4-ускорение свободной частицы остается равным нулю, а 4-скорость остается постоянной при любом свободном движении в четырехмерном пространстве. В четырехмерном пространстве свободная частица движется прямолинейно и равномерно.
Можно найти вариацию как функцию 4-вектора если считать точно заданной начальную мировую точку и переменной – конечную:
Подставляя (2.3.49) в (2.3.47) и учитывая (2.3.48) , получим зависимость действия от 4-вектора координат и от 4-скорости:
По определению, 4-импульсом частицы называют взятую со знаком «минус» производную действия по 4-вектору координаты. Эту производную можно найти из формулы (2.3.50) :
То есть вариация действия может быть записана как скалярное произведение 4-импульса на вариацию 4-вектора координаты (со знаком «минус»):
Иногда удобно использовать запись 4-импульса по компонентам:
Для контрвариантного 4-импульса можно записать аналогичную формулу:
Воспользовавшись общими формулами для 4-векторов (2.3.2) , из (2.3.54) получим преобразования для импульса при переходе от одной системы отсчета к другой:
Можно также определить 4-силу которая действует на релятивистскую частицу как производную 4-импульса по интервалу:
Компоненты 4-силы можно записать и через «классические» трехмерные силу и скорость:
См. также
[править]Примечания
[править]