завершено на 0%

Основы теоретической физики/Преобразования Лоренца

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

2.2.2. Преобразования Лоренца[править]

При переходе от одной системы отсчета к другой, координаты объектов изменяются в Лагранжевой механике через преобразования Галилея:

 формулы (2.2.4)

Легко убедиться, что преобразования (2.2.4)  не удовлетворяют требованию инвариантности интервала. Следовательно, для релятивистской механики необходимо вывести более общие преобразования, при которых интервал будет инвариантным и которые будут стремиться к (2.2.4)  при устремлении скорости света к бесконечности.

Интервал между двумя событиями можно рассматривать как расстояние между мировыми точками в четырехмерной системе координат. Найдем преобразование, которое оставит неизменным все длины в четырехмерном пространстве. Очевидно, что таким преобразованием является либо параллельный перенос, либо вращение системы координат. При этом параллельный перенос системы, эквивалентен простому изменению начала отсчета времени и значит этот тип преобразования не подходит для замены (2.2.4) . Значит остается рассмотреть, как преобразуются координаты при переходе из четырехмерной системы отсчета K в систему К' которая повернута относительно К на некий угол.

Всякое сложное вращение в четырехмерном пространстве можно разложить на шесть вращений в плоскостях xy,zy,xz,tx,ty,tz. Первые три вращения – это обычные пространственные повороты, время в них не входит, следовательно эти повороты на инвариантность интервала никак повлиять не могут.

Таким образом, для того, чтобы вывести соотношения, при которых интервал остается инвариантным, нужно рассмотреть то, как изменяются координаты и время при поворотах четырехмерной системы отсчета в плоскостях tx,ty,tz. При этом, в силу однородности и изотропности пространства, все эти три вращения полностью эквивалентны, значит достаточно получить формулы лишь для одного из них.

Рассмотрим преобразование координат произвольной точки М при повороте системы отсчета в плоскости tx; координаты y и z при этом не меняются.

 формулы (2.2.5)

В четырехмерной геометрии ось времени является комплексной и имеет ту же размерность, что и пространственные координаты.

Рис. 2.5.jpg

Используя обозначения на рисунке, легко найти соотношения для координат:

 формулы (2.2.6)


 формулы (2.2.7)

Легко убедиться, что преобразования (2.2.6)  и (2.2.7)  удовлетворяют инвариантности интервала:

 формулы (2.2.8)

Для практических целей удобно избавиться от угла в формулах (2.2.6)  и (2.2.7) . Это удается сделать, если рассмотреть случай, когда

 формулы (2.2.9)

Физически этот случай соответствует движению в системе К точки, которая находится в начале координат системы К'.

Подставив (2.2.9)  в (2.2.7)  и (2.2.8) , получим:

 формулы (2.2.10)

Теперь, возвращаясь к общему случаю, нужно подставить (2.2.10)  в (2.2.7)  и (2.2.8) , выражая синус и косинус через тангенс, получим:

 формулы (2.2.11)

Формулы (2.2.11)  и (2.2.5)  дают связь координат и времени в разных системах отсчета, удовлетворяя при этом принципу инвариантности интервала. Эти формулы называются «преобразования Лоренца».

Легко заметить, что при устремлении скорости света к бесконечности, преобразования Лоренца будут стремиться к преобразованиям Галилея. При скоростях не очень больших, но и не очень малых, можно пользоваться приближенными формулами для преобразований Лоренца:

 формулы (2.2.12)

См. также[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания[править]