Основы теоретической физики/Канонические преобразования

1.3.7. Канонические преобразования

В некоторых задачах механики бывает удобно переходить от одних обобщенных координат и импульсов к другим. Формулы перехода в общем виде:

${\begin{aligned}&{Q_{i}}={Q_{i}}(p,q,t)\\&{P_{i}}={P_{i}}(p,q,t)\\\end{aligned}}$ (1.3.36)

Если после замены переменных   (1.3.36)   уравнения Гамильтона не меняют свой вид, то такие преобразования называются «каноническими преобразованиями». То есть при канонических преобразованиях, для функций   (1.3.36)   будет выполняться:

$\left.{\begin{aligned}&{\dot {Q}}={\frac {\partial {H}'}{\partial P}}\\&{\dot {P}}=-{\frac {\partial {H}'}{\partial Q}}\\\end{aligned}}\right\}$ (1.3.37)

Где $H^{\prime }(P,Q)$ — это некоторая новая функция Гамильтона для новых обобщенных координат и импульсов.

Чтобы вывести формулы для канонических преобразований, нужно воспользоваться принципом наименьшего действия   (1.3.32)  :

${\begin{aligned}&\delta S=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\sum {{p_{i}}d{q_{i}}}-H(p,q)dt\right)}=0\\&\delta S=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\left(\sum {{P_{i}}d{Q_{i}}}-{H}'(P,Q)dt\right)}=0\\\end{aligned}}$ (1.3.38)

Оба выражения   (1.3.38)   будут эквивалентны, если подынтегральные функции будут отличаться на полный дифференциал от произвольной функции координат импульсов и времени:

$\sum {{p_{i}}d{q_{i}}}-H(p,q)dt=\sum {{P_{i}}d{Q_{i}}}-{H}'(P,Q)dt+dF$ (1.3.39)

Функцию F – называют «производящей функцией» канонического преобразования. Сами эти преобразования получаются как следствие из   (1.3.39)  :

${\begin{matrix}\displaystyle dF=\sum {{p_{i}}d{q_{i}}}-\sum {{P_{i}}d{Q_{i}}}+\left({H}'-H\right)dt\\\Downarrow \\\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{{p}_{i}}={\frac {\partial F}{\partial {{q}_{i}}}}\\&{{P}_{i}}=-{\frac {\partial F}{\partial {{Q}_{i}}}}\\&{H}'=H+{\frac {\partial F}{\partial t}}\\\end{aligned}}\right.\\\end{matrix}}$ (1.3.40)

Канонические преобразования   (1.3.40)  , при заданной функции F(q,Q,t) дают связь между старыми переменными (q,p) и новыми (Q,P). Новая функция Гамильтона $H^{\prime }$ в результате таких преобразований удовлетворяет уравнениям Гамильтона.

Производящая функция может зависеть не только от координат, но и от импульсов. Соответствующую этому случаю формулу можно получить из   (1.3.40)   с помощью преобразований Лежандра:

${\begin{matrix}\displaystyle d\underbrace {\left(F+\sum {{{P}_{i}}{{Q}_{i}}}\right)} _{\Phi }=\sum {{{p}_{i}}d{{q}_{i}}}+\sum {{{Q}_{i}}d{{P}_{i}}}+\left({H}'-H\right)dt\\\Downarrow \\\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{{p}_{i}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {{q}_{i}}}}\\&{{Q}_{i}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {{P}_{i}}}}\\&{H}'=H+{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\\\end{aligned}}\right.\\\end{matrix}}$ (1.3.41)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление