завершено на 100%

Основы теоретической физики/Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

1.3.6. Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия[править]

Ранее из принципа наименьшего действия мы вывели уравнения Лагранжа. Легко показать, что уравнения Гамильтона тоже можно вывести из этого фундаментального принципа.

Воспользуемся определением действия через функцию Лагранжа с одной стороны, а с другой – возьмем полную производную действия по времени по обычным математическим правилам:

(1.3.29)

Воспользуемся теперь определением функции Гамильтона:

(1.3.30)

Подставим (1.3.30)  в (1.3.29)  и выразим дифференциал действия через функцию Гамильтона:

(1.3.31)

Рассмотрим для простоты одну степень свободы, а также допустим, что Гамильтониан не зависит явно от времени и потребуем равенства нулю вариации действия:

(1.3.32)

Проинтегрируем по частям второе слагаемое в подынтегральном выражении:

(1.3.33)

Подставим (1.3.33)  в (1.3.32)  и сгруппируем, а также положим равной нулю вариацию координат в начальной и конечной точках:

(1.3.34)

Полученной равенство (1.3.34)  должно выполняться для любых координат и импульсов, которые являются независимыми переменными функции Гамильтона. Это возможно лишь для случая, когда оба выражения в скобках равны нулю:

(1.3.35)

Как видно, выражение (1.3.35)  совпадает с уравнениями   (1.3.6)  . Таким образом, нам удалось вывести уравнения Гамильтона из принципа наименьшего действия.

См. также[править]

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление

Примечания[править]