Ранее из принципа наименьшего действия мы вывели уравнения Лагранжа. Легко показать, что уравнения Гамильтона тоже можно вывести из этого фундаментального принципа.
Воспользуемся определением действия через функцию Лагранжа с одной стороны, а с другой – возьмем полную производную действия по времени по обычным математическим правилам:
(1.3.29)
Воспользуемся теперь определением функции Гамильтона:
(1.3.30)
Подставим (1.3.30) в (1.3.29) и выразим дифференциал действия через функцию Гамильтона:
(1.3.31)
Рассмотрим для простоты одну степень свободы, а также допустим, что Гамильтониан не зависит явно от времени и потребуем равенства нулю вариации действия:
(1.3.32)
Проинтегрируем по частям второе слагаемое в подынтегральном выражении:
(1.3.33)
Подставим (1.3.33) в (1.3.32) и сгруппируем, а также положим равной нулю вариацию координат в начальной и конечной точках:
(1.3.34)
Полученной равенство (1.3.34) должно выполняться для любых координат и импульсов, которые являются независимыми переменными функции Гамильтона. Это возможно лишь для случая, когда оба выражения в скобках равны нулю:
(1.3.35)
Как видно, выражение (1.3.35) совпадает с уравнениями (1.3.6) . Таким образом, нам удалось вывести уравнения Гамильтона из принципа наименьшего действия.