Основы теоретической физики/Инвариантность интервала

2.1.3. Инвариантность интервала

Проведенный в предыдущем параграфе мысленный эксперимент показал, что если интервал между двумя событиями равен нулю в одной системе отсчета, то он также будет равен нулю во всех других системах отсчета. Это значит, что в общем случае, интервал в одной системе отсчета должен быть пропорционален интервалу в другой:

$Undefined~formula$ формулы (2.1.7)

Заметим, что если пространство однородно и изотропно, а время однородно, то коэффициент пропорциональности в  (2.1.7) 

не может зависеть ни от координат, ни от времени. Получается, что коэффициент $\lambda$ - может зависеть только от модуля скорости.

Рассмотрим теперь три системы отсчета и связь между интервалами в них:

$Undefined~formula$ формулы (2.1.8)

где V₁ – скорость движения системы К' относительно К, V₂ – скорость К относительно К, V₁₂ – скорость К относительно К'.

Из  (2.1.8) 

получаем соотношение между коэффициентами:

$Undefined~formula$ формулы (2.1.9)

Скорость V₁₂ определяется как разность векторов ${\overrightarrow {V}}_{2}-{\overrightarrow {V}}_{1}$ и может быть выражена через скорости V₁ и V₂ по теореме косинусов. То есть в правой части  (2.1.9) 

есть зависимость от угла между векторами ${\overrightarrow {V}}_{1}$ и ${\overrightarrow {V}}_{2}$, но при этом в левой части  (2.1.9) 
никакой зависимости от угла нет. Отсюда следует, что равенство  (2.1.9) 
может выполняться только при следующем условии:

$Undefined~formula$ формулы (2.1.10)

Сравнивая  (2.1.10) 

и  (2.1.7) 

, приходим к закону:

$Undefined~formula$ формулы (2.1.11)

Выражение  (2.1.11) 

называется «законом инвариантности интервала»: интервал между событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Данный закон представляет собой математическое выражение принципа относительности Эйнштейна.

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление