Интегральное исчисление/Основные свойства неопределённого интеграла

← Таблица интегралов | Основные свойства неопределённого интеграла | Методы интегрирования →

---

Прежде, чем рассматривать тему интегрирования далее, нужно условиться, что подразумевать под равенством двух интегралов. С формальной точки зрения при интегрировании всегда возникает произвольная постоянная, то есть равенство

$\int f_{1}(x)\,dx=\int f_{2}(x)\,dx$(4.1)

правильнее записывать как

$\int f_{1}(x)\,dx+C_{1}=\int f_{2}(x)\,dx+C_{2},$(4.2)

но это равенство можно представить и в виде

$\int f_{1}(x)\,dx=\int f_{2}(x)\,dx+C,$(4.3)

где $C=C_{2}-C_{1}$.

Также $C$ можно не писать во время вывода промежуточных формул, а приписать уже к конечному варианту суммарную константу. Этим в дальнейшем мы и будем пользоваться в данном учебнике.

Перейдём теперь к рассмотрению основных свойств неопределённого интеграла.

Свойство 4.1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла !!! если a не равно 0 !!!:

$\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx+C.$(4.4)

Доказательство свойства 4.1

Продифференцируем левую и правую части равенства, получим:

$\left(\int a\cdot f(x)\,dx\right)'$ и $\left(a\cdot \int f(x)\,dx+C\right)'$(4.5)

В левой части по формуле (2.8) получаем:

$\left(\int a\cdot f(x)\,dx\right)'=a\cdot f(x)\,dx;$(4.6)

в правой части по правилам дифференцирования получаем:

$\left(a\cdot \int f(x)\,dx+C\right)'=a\cdot \left(\int f(x)\,dx\right)'.$(4.7)

Воспользовавшись снова (2.8) окончательно получаем:

$\left(a\cdot \int f(x)\,dx+C\right)'=a\cdot f(x)\,dx$(4.8)

Равенство правой и левой частей доказывает рассматриваемое свойство.

Свойство 4.2. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:

$\int (f_{1}\pm f_{2})\,dx=\int f_{1}\,dx\pm \int f_{2}\,dx+C.$(4.9)

Доказательство свойства 4.2

Для доказательства этого свойства поступим также как и в предыдущем случае: найдём производные от левой и правой частей равенства и сравним их:

$\left(\int (f_{1}\pm f_{2})\,dx\right)'$ и $\left(\int f_{1}\,dx\pm \int f_{2}\,dx+C\right)'.$(4.10)

По правилам взятия производной от интеграла и суммы получаем:

$(f_{1}\pm f_{2})\,dx$ и $f_{1}\,dx\pm f_{2}\,dx$(4.11)

для левой и правой части соответственно.

Так как дифференциал от алгебраической суммы равен сумме дифференциалов, то можно считать свойство 4.2 доказанным.

Первые два свойства выражают линейность интеграла.

Свойство 4.3. Вид интеграла не зависит от вида переменной интегрирования:

$\int f(x)\,dx=F(x)+C\Leftrightarrow \int f[\varphi (t)]\,d[\varphi (t)]=F[\varphi (t)]+C$(4.12)

или, что тоже самое,

$\int f(x)\,dx=F(x)+C\Leftrightarrow \int f[\varphi (t)]\varphi '(t)\,dt=F[\varphi (t)]+C,$(4.12')

где $\varphi (t)$ — непрерывная вместе со своей производной функция.

Доказательство свойства 4.3

Для доказательства этого свойства достаточно убедиться, что производная от правой части $(F[\varphi (t)]+C)'$ равна $\ f[\varphi (t)]\varphi '(t)\;$. Но это следует из правила дифференцирования сложной функции:

$(F[\varphi (t)])'=F'[\varphi (t)]\varphi '(t).$(4.13).

Пусть $x=\varphi (t)$. Тогда из левой части (4.12) вытекает по определению интеграла: $F'(x)=f(x)$, или после подстановки, $F'[\varphi (t)]=f[\varphi (t)]$. Поэтому действительно

$f[\varphi (t)]\varphi '(t)=F'[\varphi (t)]\varphi '(t)=(F[\varphi (t)]+C)'.$(4.14)

Следовательно, правая часть формулы (4.12) верна для любой непрерывно дифференцируемой функции $\varphi (t)$.

Заметим, что попутно мы убедились в инвариантности первого дифференциала: поскольку по определению дифференциала $dF(x)=F'(x)\,dx=f(x)\,dx$ получается, что дифференциал — это просто подынтегральное выражение, то, сравнивая эти подынтегральные выражения в (4.12), то есть $dF(x)$ и $dF[\varphi (t)]$, и учитывая, что $d[\varphi (t)]=\varphi '(t)\,dt$, убеждаемся в их равенстве, то есть $f(x)\,dx=f[\varphi (t)]\,d[\varphi (t)]$ — получилось свойство инвариантности дифференциалов.

Так как в процессе интегрирования нужно получить функцию от $x$, то нужно сделать обратную подстановку $x=\varphi (t)$.

Это свойство является основой метода замены переменной, или метода подстановки.

Очень часто приходится рассматривать интегралы вида:

$\int f(ax+b)\,dx.$(4.15)

Заменой переменной $\varphi (x)=ax+b$ их можно свести к интегралу того же вида, но уже от новой переменной $\varphi$:

$\int f(ax+b)\,dx=\int {\frac {f(ax+b)}{(ax+b)'}}\,d(ax+b)={\frac {1}{a}}\int f(\varphi )\,d(\varphi )=F(\varphi )+C.$(4.16)

Здесь мы переходим от $dx$ к $d(ax+b)$, пользуясь формулой $d(ax+b)=(ax+b)'\,dx=a\,dx$. Так что множитель $1/a$ в формуле (4.16) компенсирует постоянную $a$, появляющуюся в результате взятия производной от $ax+b$.

В частном случае, получим интегралы вида:

$\int f(x+b)\,dx=\int f(\varphi )\,d\varphi$(4.17)

и

$\int f(ax)\,dx={\frac {1}{a}}\int f(\varphi )\,d\varphi .$(4.18)

В качестве примера вычислим интеграл от гиперболического синуса:

$\int \mathrm {sh} \,x\,dx$(4.19)

Воспользовавшись определением функции, получим:

$\int \mathrm {sh} \,x\,dx=\int {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\,dx.$(4.20)

Используя свойства 4.1 и 4.2 получим:

$\int {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\,dx={\frac {1}{2}}\int (e^{x}-e^{-x})\,dx={\frac {1}{2}}\int e^{x}\,dx-{\frac {1}{2}}\int e^{-x}\,dx.$(4.21)

Интеграл от первого слагаемого сразу находится по таблице основных интегралов. Получаем:

${\frac {1}{2}}\int e^{x}\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}.$(4.22)

Для вычисления интеграла от второго слагаемого согласно свойству 4.3 сделаем замену переменной $t=-x$, тогда получаем:$dx=-dt$,

${\frac {1}{2}}\int e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}\int e^{t}\,(-dt)=-{\frac {1}{2}}\int e^{t}\,dt$(4.23)

в силу линейности интеграла и дифференциала. Поэтому окончательно, заметив, что последний интеграл табличный, имеем:

$-{\frac {1}{2}}\int e^{t}\,dt=-{\frac {1}{2}}e^{t}.$(4.25)

Вернёмся обратно к переменной $x$ и для двух слагаемых получим:

${\frac {1}{2}}\int e^{x}\,dx-\left(-{\frac {1}{2}}\int e^{-x}\,dx\right)={\frac {1}{2}}e^{x}+{\frac {1}{2}}e^{-x}.$(4.26)

В правой части стоит не что иное как гиперболический косинус:

${\frac {1}{2}}e^{x}+{\frac {1}{2}}e^{-x}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\mathrm {ch} \,x.$(4.27)

Окончательно имеем:

$\int \mathrm {sh} \,x\,dx=\mathrm {ch} \,x.$(4.28)

Аналогичным образом, опуская подробности, найдём интеграл от гиперболического косинуса:

$\int \mathrm {ch} \,x\,dx=\int {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\,dx={\frac {1}{2}}\int e^{x}\,dx+{\frac {1}{2}}\int e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}-{\frac {1}{2}}e^{-x}=\mathrm {sh} \,x,$(4.29)

то есть

$\int \mathrm {ch} \,x\,dx=\mathrm {sh} \,x.$(4.30)

Эти же результаты можно было получить, используя связь тригонометрических и гиперболических функций.

Рассмотрим теперь несколько примеров на использование этого свойства.

Пример 4.1. Найти интеграл

$\int \pi \sin \pi x\,dx.$(4.31)

Решение. По форме этот интеграл схож с интегралом от синуса, чтобы свести его к табличному виду введём замену переменной вида $\varphi =\pi x$. Выразим отсюда $x$ и найдём вид дифференциала $dx$:

$x={\frac {1}{\pi }}\varphi ;\quad dx={\frac {1}{\pi }}\,d\varphi .$(4.32)

Подставим выражения (4.32) в исходный интеграл:

$\int \pi \sin \varphi {\frac {1}{\pi }}\,d\varphi =\int \sin \varphi \,d\varphi =-\cos \varphi +C.$(4.33)

Чтобы получить исходный интеграл нужно в (4.33) снова вернуться к переменной $x$:

$\int \pi \sin \pi x\,dx=-\cos \pi x+C.$(4.34)

Пример 4.2. Найти интеграл

$\int (8x+5)^{7}\,dx.$(4.35)

Решение. Найти этот интеграл можно, если раскрыть скобку, используя формулу бинома Ньютона, но гораздо проще сделать замену $t=8x+5,\;dx={\frac {1}{8}}\,dt$ и свести к интегралу от степенной функции:

$\int (8x+5)^{7}\,dx=\int t^{7}\cdot {\frac {1}{8}}\,dt={\frac {1}{8}}{\frac {t^{8}}{8}}+C.$(4.36)

Вернёмся снова к переменной $x$:

$\int (8x+5)^{7}\,dx={\frac {1}{64}}(8x+5)^{8}+C.$(4.37)

Пример 4.3. Найти интеграл

$\int {\frac {\mathrm {arctg} ^{3}x}{x^{2}+1}}\,dx.$(4.38)

Решение. При внимательном рассмотрение можно заметить, что $(\mathrm {arctg} \,x)'={\frac {1}{x^{2}+1}}$, поэтому интеграл можно записать в виде:

$\int {\frac {\mathrm {arctg} ^{3}x}{x^{2}+1}}\,dx=\int \mathrm {arctg} ^{3}x\,d(\mathrm {arctg} \,x).$(4.39)

В результате мы пришли к степенной функции, интеграл от которой известен:

$\int \mathrm {arctg} ^{3}x\,d(\mathrm {arctg} \,x)={\frac {\mathrm {arctg} ^{4}x}{4}}+C.$(4.40)

Следовательно, окончательно мы имеем равенство:

$\int {\frac {\mathrm {arctg} ^{3}x}{x^{2}+1}}\,dx={\frac {\mathrm {arctg} ^{4}x}{4}}+C.$(4.41)

Другие примеры и более подробная методика будут изложены в соответствующем разделе учебника.

Свойство 4.4. Имеет место следующее равенство:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du+C,$(4.42)

где $u$ и $v$ — две непрерывно дифференцируемые функции.

Доказательство свойства 4.4

Это свойство можно доказать, если рассмотреть дифференциал от произведения функций:

$d(uv)=u\,dv+v\,du.$(4.43)

Выразим из (4.43) $u\,dv$:

$u\,dv=d(uv)-v\,du$(4.44)

и подставим в левую часть (4.42):

$\int u\,dv=\int (d(uv)-v\,du).$(4.45)

После преобразований получим:

$\int (d(uv)-v\,du)=\int d(uv)-\int v\,du=uv-\int v\,du+C.$(4.46)

Таким образом делаем заключение, что формула (4.42), известная также как формула интегрирования по частям, верна.

На свойстве 4.4 основан метод интегрирования по частям, который позволяет найти определённый класс интегралов, в которых изменение подынтегрального выражения может привести к более простому интегралу или к интегралу, метод решения которого известен.

Пример 4.4. Найти интеграл

$\int x\ln x\,dx.$(4.47)

Решение. Чтобы найти этот интеграл попробуем изменить в нём подынтегральное выражение следующим образом: за функцию $u$ возьмём $\ln x$, то есть $u=\ln x$, остальные сомножители будут представлять собой дифференциал $dv=x\,dx$. Чтобы иметь возможность применить формулу (4.42) нужно найти $du$ и $v$:

$du=d(\ln x)={\frac {dx}{x}};$(4.48)

$v=\int dv=\int x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}.$(4.49)

Константу интегрирования в выражении (4.49) мы не пишем, потому что нас интересует определённая функция $v$, а не всё семейство, порождаемое интегрированием, поэтому можно положить, что здесь $C=0$.

Воспользуемся свойством 4.4, подставив выражения (4.48) и (4.49):

$\int \underbrace {\ln x} _{u}\cdot \underbrace {x\,dx} _{dv}={\frac {x^{2}}{2}}\ln x-\int {\frac {x^{2}}{2}}{\frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}}{2}}\ln x-{\frac {1}{2}}\int x\,dx.$(4.50)

Интеграл $\int x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}$.

Окончательный ответ:

$\int x\ln x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\ln x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{2}}{2}}+C={\frac {x^{2}}{4}}(2\ln x-1)+C.$(4.50)

В разделе, посвящённом методам интегрирования, мы подробнее рассмотрим приёмы с использованием этого метода.