Интегральное исчисление/Основные свойства неопределённого интеграла

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску
← Таблица интегралов | Основные свойства неопределённого интеграла | Методы интегрирования →


Прежде, чем рассматривать тему интегрирования далее, нужно условиться, что подразумевать под равенством двух интегралов. С формальной точки зрения при интегрировании всегда возникает произвольная постоянная, то есть равенство

(4.1)

правильнее записывать как

(4.2)

но это равенство можно представить и в виде

(4.3)

где .

Также можно не писать во время вывода промежуточных формул, а приписать уже к конечному варианту суммарную константу. Этим в дальнейшем мы и будем пользоваться в данном учебнике.

Перейдём теперь к рассмотрению основных свойств неопределённого интеграла.

Свойство 4.1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

(4.4)

Свойство 4.2. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов:

(4.9)

Первые два свойства выражают линейность интеграла.

Свойство 4.3. Вид интеграла не зависит от вида переменной интегрирования:

(4.12)

или, что тоже самое,

(4.12')

где  — непрерывная вместе со своей производной функция.

Так как в процессе интегрирования нужно получить функцию от , то нужно сделать обратную подстановку .

Это свойство является основой метода замены переменной, или метода подстановки.

Очень часто приходится рассматривать интегралы вида:

(4.15)

Заменой переменной их можно свести к интегралу того же вида, но уже от новой переменной :

(4.16)

Здесь мы переходим от к , пользуясь формулой . Так что множитель в формуле (4.16) компенсирует постоянную , появляющуюся в результате взятия производной от .

В частном случае, получим интегралы вида:

(4.17)

и

(4.18)

В качестве примера вычислим интеграл от гиперболического синуса:

(4.19)

Воспользовавшись определением функции, получим:

(4.20)

Используя свойства 4.1 и 4.2 получим:

(4.21)

Интеграл от первого слагаемого сразу находится по таблице основных интегралов. Получаем:

(4.22)

Для вычисления интеграла от второго слагаемого согласно свойству 4.3 сделаем замену переменной , тогда получаем:,

(4.23)

в силу линейности интеграла и дифференциала. Поэтому окончательно, заметив, что последний интеграл табличный, имеем:

(4.25)

Вернёмся обратно к переменной и для двух слагаемых получим:

(4.26)

В правой части стоит не что иное как гиперболический косинус:

(4.27)

Окончательно имеем:

(4.28)

Аналогичным образом, опуская подробности, найдём интеграл от гиперболического косинуса:

(4.29)

то есть

(4.30)

Эти же результаты можно было получить, используя связь тригонометрических и гиперболических функций.

Рассмотрим теперь несколько примеров на использование этого свойства.

Пример 4.1. Найти интеграл

(4.31)

Решение. По форме этот интеграл схож с интегралом от синуса, чтобы свести его к табличному виду введём замену переменной вида . Выразим отсюда и найдём вид дифференциала :

(4.32)

Подставим выражения (4.32) в исходный интеграл:

(4.33)

Чтобы получить исходный интеграл нужно в (4.33) снова вернуться к переменной :

(4.34)

Пример 4.2. Найти интеграл

(4.35)

Решение. Найти этот интеграл можно, если раскрыть скобку, используя формулу бинома Ньютона, но гораздо проще сделать замену и свести к интегралу от степенной функции:

(4.36)

Вернёмся снова к переменной :

(4.37)

Пример 4.3. Найти интеграл

(4.38)

Решение. При внимательном рассмотрение можно заметить, что , поэтому интеграл можно записать в виде:

(4.39)

В результате мы пришли к степенной функции, интеграл от которой известен:

(4.40)

Следовательно, окончательно мы имеем равенство:

(4.41)

Другие примеры и более подробная методика будут изложены в соответствующем разделе учебника.

Свойство 4.4. Имеет место следующее равенство:

(4.42)

где и  — две непрерывно дифференцируемые функции.

На свойстве 4.4 основан метод интегрирования по частям, который позволяет найти определённый класс интегралов, в которых изменение подынтегрального выражения может привести к более простому интегралу или к интегралу, метод решения которого известен.

Пример 4.4. Найти интеграл

(4.47)

Решение. Чтобы найти этот интеграл попробуем изменить в нём подынтегральное выражение следующим образом: за функцию возьмём , то есть , остальные сомножители будут представлять собой дифференциал . Чтобы иметь возможность применить формулу (4.42) нужно найти и :

(4.48)

(4.49)

Константу интегрирования в выражении (4.49) мы не пишем, потому что нас интересует определённая функция , а не всё семейство, порождаемое интегрированием, поэтому можно положить, что здесь .

Воспользуемся свойством 4.4, подставив выражения (4.48) и (4.49):

(4.50)

Интеграл .

Окончательный ответ:

(4.50)

В разделе, посвящённом методам интегрирования, мы подробнее рассмотрим приёмы с использованием этого метода.