Перейти к содержанию

Интегральное исчисление/Понятие о неопределённом интеграле

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
← Введение | Понятие о неопределённом интеграле | Таблица интегралов →


Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную на конечном или бесконечном отрезке (при этом предполагается, что функция непрерывна на интервале и имеет правую производную в точке и левую производную — в точке ).

Определение 2.1.  Функция называется первообразной для функции в данном отрезке, если является производной для функции или, иначе, служит для дифференциалом:

или .(2.1)

Теорема 2.1.  Если на некотором промежутке (конечном или бесконечном, замкнутом или нет) задана первообразная для функции , то и функция , где — постоянная, также будет первообразной. Верно и обратное, каждая функция, первообразная для в промежутке , может быть представлена как .

Определение 2.2.  Неопределённым интегралом функции , заданной на промежутке [1], называется наиболее общий вид её первообразной и обозначается символом
(2.6)
при этом называется подынтегральной функцией,  — подынтегральным выражением, а переменная интегрирования.

В силу теоремы 2.1 можно написать:

(2.7)

где — произвольная постоянная.

Непосредственно из определения неопределённого интеграла следуют следующие утверждения:

1. Дифференциал (производная) интеграла равен подынтегральному выражению:

(2.8)

2. Интеграл от дифференциала первообразной равен сумме этой первообразной и произвольной константы:

(2.9)

Последнее утверждение явно доказывается, если его переписать в виде:

(2.10)

и учесть, что по определению первообразной .

Из этих двух утверждений следует, что математические операции «дифференцирование» и «интегрирование» взаимно уничтожают друг друга, главное необходимо учесть появление произвольной постоянной .

Геометрическая интерпретация

[править]

Рисунок 2.1. Интегральные кривые для .

Рассмотрим геометрическое толкование интегрирования.

Определение 2.3.  Интегральной кривой функции называется геометрическое место точек, удовлетворяющих выражению
(2.11)

или, что тоже самое, график первообразной для функции

(2.12)

Иными словами, это кривая, касательная к которой при любом значении имеет заданное направление, определяемое угловым коэффициентом

(2.13)

то есть при любом значении независимой переменной интегральная кривая задаёт направление касательной к кривой .

Если построена одна такая интегральная кривая, то по теореме 2.1 можно построить всё семейство интегральных кривых (рисунок 2.1), для этого нужно передвигать её на любой отрезок параллельно оси . Таким образом семейство описывается уравнением:

(2.14)

Для того чтобы определить положение конкретной интегральной кривой, то есть получить выражение искомой первообразной функции, нужно задать какую-нибудь точку, через которую интегральная кривая должна пройти, например, через точку с координатами . Подставляя эти начальные значения в уравнение (2.13), мы получим уравнение для определения произвольной постоянной :

(2.15)

тогда окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставленному начальному условию, будет иметь вид:

(2.16)

Пример

[править]

Пример 4.1. Найти неопределённый интеграл от функции .

Решение. Согласно (2.1) можно записать, что . Распишем определение :

(2.17)

Значит,

(2.18)

Так как

(2.19)

то можно записать, что

(2.20)

По определению 2.2 неопределённый интеграл от функции будет иметь вид

(2.21)

где — произвольные константы.

Выражение (2.21) можно записать проще, если потребовать непрерывность интеграла в точке , то есть нужно найти такие постоянные и , чтобы удовлетворялось равенство:

(2.22)

Очевидно, что последнее равенство выполняется при , тогда (2.21) можно переписать как

(2.23)

где знак числа .

Примечания

[править]
  1. Здесь и далее, если это не оговорено особо, предполагается, что промежуток является непустым подмножеством множества действительный чисел .