Высшая математика. Первый семестр/Пределы

Пусть задана некоторая меняющаяся величина $y$, зависящая от переменного $x$. Предположим, что это переменное $x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие ${\mathcal {B}}$: переменное «приближается» («стремится») к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $y$ каким-либо «правильным» образом, тоже «стремясь» к чему-нибудь, например, к числу $L$. Если это так, то это «что-то» называется пределом величины $y$ при данном условии ${\mathcal {B}}$ для $x$ и обозначается

$\displaystyle \lim _{\mathcal {B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Предел функции при x→x₀

Предел при $x\to x_{0}$

Пусть $y=f(x)$ — это функция вещественного переменного $x$, определённая во всех точках интервала $(a;b)$, кроме, быть может, точки $x_{0}\in (a;b)$. Дадим определение предела величины $y$ при условии, что $x$ стремится к точке $x_{0}$. Это условие кратко обозначается $x\rightarrow x_{0}$. Стремление $x$ к $x_{0}$ означает, что при своём изменении $x$ оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку $x_{0}$, но не совпадает с $x_{0}$, то есть значение $\vert x-x_{0}\vert$ становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие $x$ значения $y=f(x)$ становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу $y_{0}$, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа $y_{0}$ можно указать, насколько близко $x$ должен подойти к $x_{0}$, чтобы значения $y=f(x)$ уже попадали в эту окрестность числа $y_{0}$. Тогда число $y_{0}$ есть предел функции $f(x)$ при условии $x\rightarrow x_{0}$, что записывается так:

$\displaystyle y_{0}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x).$

Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки $y_{0}$ (симметричная относительно $y_{0}$) характеризуется её полушириной ${\varepsilon }>0$, то есть имеет вид интервала $(y_{0}-{\varepsilon };y_{0}+{\varepsilon })$. Если значение $y$ попало в такую ${\varepsilon }$-окрестность, то это означает, что $\vert y-y_{0}\vert <{\varepsilon }$. Любая окрестность точки $x_{0}$, не содержащая самой точки $x_{0}$ (и симметричная относительно $x_{0}$), — это объединение двух смежных интервалов3 ${(x_{0}-{\delta };x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+{\delta })=(x_{0}-{\delta };x_{0}+{\delta })\diagdown \{x_{0}\}}$. Попадание точки $x$ в эту окрестность означает, что выполнено неравенство $\vert x-x_{0}\vert <{\delta }$ и $x\neq x_{0}$. Равенство $y_{0}=\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа ${\varepsilon }>0$ можно найти такое число ${\delta }>0$ (зависящее от ${\varepsilon }$), что при $\vert x-x_{0}\vert <{\delta },\ x\neq x_{0}$ будет $\vert f(x)-y_{0}\vert <{\varepsilon }$.

При этом число $y_{0}$ называется пределом функции $f(x)$ при условии $x\rightarrow x_{0}$. Тот факт, что $\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to x_{0}}}y_{0}.$

График $y=2\sin x+1$

Пример 1: Пусть $x_{0}=0$ и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$. Покажем, что $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Для этого фиксируем произвольное число ${\varepsilon }>0$, задающее окрестность $(1-{\varepsilon };1+{\varepsilon })$, и выясним, при каких $x$ значения функции $f(x)$ будут попадать в эту окрестность точки 1.

Попадание значений $f(x)$ в окрестность $(1-{\varepsilon };1+{\varepsilon })$ означает, что выполняется неравенство ${\vert (2\sin x+1)-1\vert <{\varepsilon }}$, то есть ${\vert \sin x\vert <{\dfrac {\varepsilon }{2}}}$. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки ${x_{0}=0}$. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при ${\vert x\vert <\arcsin {\dfrac {\varepsilon }{2}}}$. Таким образом, если взять ${{\delta }=\arcsin {\dfrac {\varepsilon }{2}}}$ (это число больше 0), то при ${x\in (-{\delta };0)\cup (0;{\delta })}$ будет выполнено неравенство ${\vert f(x)-1\vert <{\varepsilon }}$, что и означает, что предел равен числу 1: $\lim \limits _{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1$, или ${2\sin x+1{\xrightarrow {x\to 0}}1}$.

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

Предел последовательности при n→∞

Последовательность и её предел

Пусть дана бесконечная последовательность $\{y_{n}\}$ чисел, занумерованных по порядку:

$\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},\dots ,y_{n},\dots \ .$

(Эту последовательность можно рассматривать как функцию $f(n)=y_{n}$, определённую при всех натуральных значениях аргумента $n$.) Дадим определение предела последовательности $\{y_{n}\}$ при условии, что номер $n$ неограниченно растёт (это условие обозначается $n\rightarrow \infty$). Стремление $n$ к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа $N\in \mathbb {N}$, то есть начинает выполняться неравенство $n>N$. Если при этом числа $y_{n}$ становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу $L$, то это число — предел последовательности, что записывается так:

$\displaystyle L=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}.$

Формализуем сказанное. Множества чисел $n$, заданные условиями $n>N$, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство $L=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа ${\varepsilon }>0$ можно найти такое число $N$ (зависящее от ${\varepsilon }$), что при $n>N$ (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство $\vert y_{n}-L\vert <{\varepsilon }$.

При этом число $L$ называется пределом последовательности $\{y_{n}\}$ при условии ${n\rightarrow \infty }$. Тот факт, что $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}=L$, записывают также в виде

$\displaystyle y_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}L.$

Последовательность ${\dfrac {1}{n^{2}}}$

Пример 2: Покажем, что предел последовательности $y_{n}={\dfrac {1}{n^{2}}}$ равен 0.

Фиксируем произвольное число ${\varepsilon }>0$ и подберём число $N$ в зависимости от ${\varepsilon }$ так, чтобы при $n>N$ выполнялось неравенство $\vert y_{n}-0\vert <{\varepsilon }$, то есть ${\dfrac {1}{n^{2}}}<{\varepsilon }$. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при $n>{\dfrac {1}{\sqrt {\varepsilon }}}$. Значит, достаточно выбрать в качестве $N$ натуральное число, ближайшее к ${\dfrac {1}{\sqrt {\varepsilon }}}$ справа на вещественной оси4, то есть $N=\lceil {\dfrac {1}{\sqrt {\varepsilon }}}\rceil$, и тогда при любом $n>N$ неравенство ${\dfrac {1}{n^{2}}}<{\varepsilon }$ будет верным. Это означает, что

$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\dfrac {1}{n^{2}}}=0,$

или ${\dfrac {1}{n^{2}}}{\xrightarrow {n\to \infty }}0$.

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

Предел функции f(x) при условии x→+∞

Предел при $x\to +\infty$

Определим окрестности бесконечности как множества точек $x$, заданные неравенствами $x>a$, то есть лучи $(a;+\infty )$. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности $(y_{0}-{\varepsilon };y_{0}+{\varepsilon })$ точки $y_{0}$ можно было найти такую окрестность бесконечности $(a_{\varepsilon };+\infty )$, что при попадании $x$ в эту окрестность, то есть при $x>a_{\varepsilon }$, соответствующее значение $y=f(x)$ попадает в заданную вначале окрестность точки $y_{0}$, то есть выполняется неравенство $\vert f(x)-y_{0}\vert <{\varepsilon }$. Выполнение этого требования будет означать, что $y_{0}$ — предел функции $f(x)$ при условии $x\rightarrow +\infty$, то есть

$\displaystyle y_{0}=\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }f(x).$

Тот факт, что $\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }f(x)=y_{0}$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to +\infty }}y_{0}.$

График функции $y={\dfrac {3x-2}{x+1}}$

Пример 3: Покажем, что предел функции $f(x)={\dfrac {3x-2}{x+1}}$ при $x\to +\infty$ равен числу 3.

Фиксируем ${\varepsilon }>0$ и подберём по этому числу ${\varepsilon }$ такое число $a$, что при любом $x>a$ выполняется неравенство

$\displaystyle \left\vert {\dfrac {3x-2}{x+1}}-3\right\vert <{\varepsilon }.$

Сразу будем считать, что $a$ — неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $\left\vert -{\dfrac {5}{x+1}}\right\vert <{\varepsilon }$ или $\vert x+1\vert >{\dfrac {5}{\varepsilon }}$. Так как $x>a\geqslant 0$, то $x+1>0$ и неравенство имеет вид $x+1>{\dfrac {5}{\varepsilon }}$, откуда $x>{\dfrac {5}{\varepsilon }}-1$. Если теперь взять число $a_{\varepsilon }$ равным ${\dfrac {5}{\varepsilon }}-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $x>a_{\varepsilon }$ будет выполняться неравенство $\left\vert {\dfrac {3x-2}{x+1}}-3\right\vert <{\varepsilon }$; это означает, что

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\dfrac {3x-2}{x+1}}=3,$

или ${\dfrac {3x-2}{x+1}}{\xrightarrow {x\to +\infty }}3$.