Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Это уравнения, которые содержат неизвестное в знаменателе дроби. В конкретных случаях сводятся к линейным , квадратным и прочим, но с особенностями.
Например: x:x=0. Ответ: x≠0.
Решим уравнение:
x
x
=
0
{\displaystyle {\frac {x}{x}}=0}
Делить на 0 нельзя, поэтому x≠0 - установка ограничения. Если после этого можно домножить на x обе части уравнения, то будет потеря корней, так как числитель равен знаменателю, и из этого выходит что x - любое число, но установлено ограничение x≠0 и оно и становится ответом.
Ответ
x≠0. Решим уравнение:
5
x
+
2
x
=
7
x
−
6
{\displaystyle {\frac {5x+2}{x}}=7x-6}
Делить на 0 нельзя, поэтому x≠0 - установка ограничения. После этого можно домножить на x обе части уравнения:
5
x
+
2
=
x
(
7
x
−
6
)
{\displaystyle 5x+2=x(7x-6)}
Раскрываем скобки:
5
x
+
2
=
7
x
2
−
6
x
{\displaystyle 5x+2=7x^{2}-6x}
После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:
7
x
2
−
11
x
−
2
=
0
{\displaystyle 7x^{2}-11x-2=0}
Вычислим дискриминант:
D
=
(
−
11
)
2
−
4
⋅
7
⋅
(
−
2
)
=
121
+
56
=
177
{\displaystyle D=(-11)^{2}-4\cdot 7\cdot (-2)=121+56=177}
Применим формулу, получим:
x
1
,
2
=
11
±
D
2
⋅
7
=
4
±
177
14
=
2
±
177
7
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {11\pm {\sqrt {D}}}{2\cdot 7}}={\frac {4\pm {\sqrt {177}}}{14}}={\frac {2\pm {\sqrt {177}}}{7}}}
Ответ
x
1
,
2
=
2
±
177
7
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {177}}}{7}}}
Решим уравнение:
x
(
5
x
+
2
)
x
=
x
(
7
x
−
6
)
{\displaystyle {\frac {x(5x+2)}{x}}=x(7x-6)}
Делить на 0 нельзя, поэтому x≠0 - установка ограничения. После этого можно домножить на x обе части уравнения:
x
(
5
x
+
2
)
=
x
2
(
7
x
−
6
)
{\displaystyle x(5x+2)=x^{2}(7x-6)}
Переносим влево:
x
(
5
x
+
2
)
−
x
2
(
7
x
−
6
)
=
0
{\displaystyle x(5x+2)-x^{2}(7x-6)=0}
Выносим общее:
x
(
(
5
x
+
2
)
−
x
(
7
x
−
6
)
)
=
0
{\displaystyle x((5x+2)-x(7x-6))=0}
Пока игнорируем x. Раскрываем скобки:
5
x
+
2
=
7
x
2
−
6
x
{\displaystyle 5x+2=7x^{2}-6x}
После переноса неизвестных и чисел по разные стороны и приведения слагаемых получаем:
7
x
2
−
11
x
−
2
=
0
{\displaystyle 7x^{2}-11x-2=0}
Вычислим дискриминант:
D
=
(
−
11
)
2
−
4
⋅
7
⋅
(
−
2
)
=
121
+
56
=
177
{\displaystyle D=(-11)^{2}-4\cdot 7\cdot (-2)=121+56=177}
Применим формулу, получим:
x
1
,
2
=
11
±
D
2
⋅
7
=
4
±
177
14
=
2
±
177
7
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {11\pm {\sqrt {D}}}{2\cdot 7}}={\frac {4\pm {\sqrt {177}}}{14}}={\frac {2\pm {\sqrt {177}}}{7}}}
x
3
=
0
{\displaystyle x_{3}=0}
Смотрим установленное ограничение. Оно - x≠0. Следовательно,
x
3
=
0
{\displaystyle x_{3}=0}
Ответ
x
1
,
2
=
2
±
177
7
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2\pm {\sqrt {177}}}{7}}}
3
3.14
11.14
