Перейти к содержанию

Последовательности/Геометрическая прогрессия

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел , , , (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии). При этом [1].

Описание

[править]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

Если и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при знакочередующейся[2], при стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

[править]
Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов
  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8—9.
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • Шаблон:Nums — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  • , , , — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
  • 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
  • 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

[править]
  • Формула знаменателя геометрической прогрессии:
  • , если .
  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле
  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
  • Сумма первых членов геометрической прогрессии
  • Сумма всех членов убывающей прогрессии:
, то при , и
при .

Решим следующую задачу.

Следствие 1.

Следствие 2.

Следствие 3.

См. также

[править]

Примечания

[править]