Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
У этого термина существуют и другие значения, см.
Прогрессия .
Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел
b
1
{\displaystyle b_{1}}
,
b
2
{\displaystyle b_{2}}
,
b
3
{\displaystyle b_{3}}
,
…
{\displaystyle \ldots }
(члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число
q
{\displaystyle q}
(знаменатель прогрессии). При этом
b
1
≠
0
,
q
≠
0
;
b
n
=
b
n
−
1
q
,
n
∈
N
,
n
⩾
2
{\displaystyle b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}
[ 1] .
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле
b
n
=
b
1
q
n
−
1
.
{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}
Если
b
1
>
0
{\displaystyle b_{1}>0}
и
q
>
1
{\displaystyle q>1}
, прогрессия является возрастающей последовательностью , если
0
<
q
<
1
{\displaystyle 0<q<1}
, — убывающей последовательностью, а при
q
<
0
{\displaystyle q<0}
— знакочередующейся [ 2] , при
q
=
1
{\displaystyle q=1}
— стационарной .
Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству :
|
b
n
|
=
b
n
−
1
b
n
+
1
,
{\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}
то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.
Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов
Последовательность площадей квадратов , где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[ 3] :8—9 .
Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске .
Шаблон:Nums — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
π
{\displaystyle \pi }
,
π
{\displaystyle \pi }
,
π
{\displaystyle \pi }
,
π
{\displaystyle \pi }
— стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.
Формула знаменателя геометрической прогрессии:
q
=
b
n
+
1
b
n
{\displaystyle q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}
Доказательство
По определению геометрической прогрессии.
b
n
2
=
b
n
−
i
b
n
+
i
{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}
, если
1
<
i
<
n
{\displaystyle 1<i<n}
.
Доказательство
b
n
2
=
b
n
b
n
=
b
1
q
n
−
1
b
1
q
n
−
1
=
b
1
q
n
−
1
−
i
b
1
q
n
−
1
+
i
=
b
n
−
i
b
n
+
i
.
{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}
Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле
P
n
=
(
b
1
⋅
b
n
)
n
2
.
{\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}.}
Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k -го члена, и заканчивая n -м членом, можно рассчитать по формуле
P
k
,
n
=
P
n
P
k
−
1
.
{\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}
Доказательство
P
k
,
n
=
∏
i
=
k
n
b
i
=
∏
i
=
1
n
b
i
∏
j
=
1
k
−
1
b
j
=
P
n
P
k
−
1
.
{\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}
Сумма
n
{\displaystyle n}
первых членов геометрической прогрессии
S
n
=
{
∑
i
=
1
n
b
i
=
b
1
−
b
1
q
n
1
−
q
=
b
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
,
if
q
≠
1
n
b
1
,
if
q
=
1
{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}
Сумма всех членов убывающей прогрессии:
|
q
|
<
1
{\displaystyle \left|q\right|<1}
, то
b
n
→
0
{\displaystyle b_{n}\to 0}
при
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
, и
S
n
→
b
1
1
−
q
{\displaystyle S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}}
при
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
.
Решим следующую задачу.
Найти произведение
n
{\displaystyle n}
первых членов ГП, если известна их сумма
S
n
{\displaystyle S_{n}}
и сумма
σ
n
{\displaystyle \sigma _{n}}
их обратных величин.
Запишем условие:
S
n
,
σ
n
.
{\displaystyle S_{n},\sigma _{n}.}
Найти:
P
n
.
{\displaystyle P_{n}.}
Решение . Пусть
b
1
{\displaystyle b_{1}}
— первый член данной ГП. Как можно представить первые
n
{\displaystyle n}
членов?
Это просто: вот такой последовательностью
b
1
,
q
b
1
,
q
2
b
1
,
.
.
.
,
q
n
−
1
b
1
.
{\displaystyle b_{1},q{b_{1}},q^{2}{b_{1}},...,q^{n-1}{b_{1}}.}
Тогда мы можем написать:
{
S
n
=
b
1
+
q
b
1
+
q
2
b
1
+
.
.
.
+
q
n
−
1
b
1
,
σ
n
=
1
b
1
+
1
q
b
1
+
1
q
2
b
1
+
.
.
.
+
1
q
n
−
1
b
1
.
⟺
{
S
n
=
b
1
(
q
n
−
1
)
q
−
1
,
σ
n
=
1
b
1
⋅
1
−
1
q
n
1
−
1
q
.
{\displaystyle {\begin{cases}S_{n}=b_{1}+q{b_{1}}+q^{2}{b_{1}}+...+q^{n-1}{b_{1}},\\\\\sigma _{n}={\frac {1}{b_{1}}}+{\frac {1}{q{b_{1}}}}+{\frac {1}{q^{2}{b_{1}}}}+...+{\frac {1}{q^{n-1}{b_{1}}}}.\end{cases}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}S_{n}={\frac {b_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}},\\\\\sigma _{n}={\frac {1}{b_{1}}}\cdot {\frac {1-{\frac {1}{q^{n}}}}{1-{\frac {1}{q}}}}.\end{cases}}}
Разделим первое равенство на второе и получим:
S
n
σ
n
=
b
1
2
⋅
q
n
−
1
,
{\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}={b_{1}}^{2}\cdot q^{n-1},}
откуда
(
S
n
σ
n
)
n
2
=
b
1
n
⋅
q
n
(
n
−
1
)
2
.
{\displaystyle {\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}.}
С другой стороны, мы можем перемножить выписанные члены ГП:
b
1
,
q
b
1
,
q
2
b
1
,
.
.
.
,
q
n
−
1
b
1
.
{\displaystyle b_{1},q{b_{1}},q^{2}{b_{1}},...,q^{n-1}{b_{1}}.}
Имеем следующее произведение:
P
n
=
b
1
⋅
(
q
b
1
)
⋅
(
q
2
b
1
)
⋅
.
.
.
⋅
(
q
n
−
1
b
1
)
=
b
1
n
⋅
q
0
+
1
+
2
+
.
.
.
+
n
−
1
=
b
1
n
⋅
q
n
(
n
−
1
)
2
.
{\displaystyle {P_{n}}=b_{1}\cdot \left(q{b_{1}}\right)\cdot \left(q^{2}{b_{1}}\right)\cdot ...\cdot \left(q^{n-1}{b_{1}}\right)={b_{1}}^{n}\cdot q^{0+1+2+...+n-1}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}.}
Тогда если
P
n
=
b
1
n
⋅
q
n
(
n
−
1
)
2
,
{\displaystyle {P_{n}}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}},}
то
P
n
=
(
S
n
σ
n
)
n
2
.
{\displaystyle {P_{n}}={\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}.}
Ответ:
(
S
n
σ
n
)
n
2
.
{\displaystyle {\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}.}
Следствие 1 .
P
n
=
(
S
n
σ
n
)
n
2
.
{\displaystyle {P_{n}}={\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)}^{\frac {n}{2}}.}
Следствие 2 .
P
n
=
b
1
n
⋅
q
n
(
n
−
1
)
2
.
{\displaystyle {P_{n}}={b_{1}}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}.}
Следствие 3 .
S
n
=
σ
n
⋅
b
1
b
n
.
{\displaystyle {S_{n}}=\sigma _{n}\cdot {b_{1}}{b_{n}}.}