Арифметическая прогрессия

Арифмети́ческая прогре́ссия (АП) — числовая последовательность вида

$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (шага, или разности прогрессии):

$a_{n}=a_{n-1}+d\quad$

Любой (n - й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Обозначение. Если последовательность $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$, или просто $\left({a_{n}}\right)$ (иногда пишут: $\left\{{a_{n}}\right\}$), является арифметической прогрессией, то пишут $\left({a_{n}}\right)$ — $\div$ (второй вариант записи: $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$). Коротко: арифметическая прогрессия обозначается через $\div$.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При $d>0$ она является возрастающей, а при $d<0$ — убывающей. Если $d=0$, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_{n}=d$ для членов арифметической прогрессии.

Свойства

1. Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером $n$ может быть найден по формулам

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

$a_{n}=a_{m}+(n-m)d$

где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, $a_{m}$ — член арифметической прогрессии с номером $m$.

Доказательство: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_{n}+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии: $a_{2}=a_{1}+d$ $a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$ $a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d$ $a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d$ Заметив закономерность, делаем предположение, что $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех $n\in \mathbb {N}$: База индукции $(n=1)$ : $a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}$ — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при $n=k$, то есть $a_{k}=a_{1}+(k-1)d$. Докажем истинность утверждения при $n=k+1$: $a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd$ Итак, утверждение верно и при $n=k+1$. Это значит, что $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ для всех $n\in \mathbb {N}$.

Теперь перейдём к другому равенству.

Доказательство: $a_{n}=a_{m}+(n-m)d$
Рассмотрим дважды предыдущую формулу для $n$-го и $m$-го членов арифметической прогрессии. Имеем $a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$ $a_{m}=a_{1}+(m-1)d.$ Найдём их разность: $a_{n}-a_{m}=a_{1}-a_{1}+(n-1)d-(m-1)d=(n-1-m+1)d=(n-m)d,$ откуда получаем искомую формулу: $a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

Иногда удобно пользоваться формулой для члена арифметической прогрессии с $n$-м номером: $a_{n}=a_{x}+yd$, где $n=x+y$.

Доказательство: $a_{n}=a_{x}+yd,n=x+y$
Запишем формулу $a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$ Положим $x:=m$ и $y:=n-m.$ Тогда $a_{n}=a_{m}+(n-m)d=a_{x}+yd$ и учтём, что $n=m+y=x+y.$ Как видно, мы «воссоздали» и эту формулу.

2. Разность арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии имеем:

$d=a_{n+1}-a_{n}.$

Ещё одна формула:

$d={\frac {a_{n}-a_{1}}{n-1}}.$

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

$d={\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}.$

3. Признаки арифметической прогрессии

На данный момент известны три критерия арифметической прогрессии. Вот они:

1. Последовательность $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div \Leftrightarrow$ формула $n$-го члена задаётся так: $a_{n}=k\cdot n+b,$ где $k$ и $b$ — заданные числа.

Доказательство

Рассмотрим разность двух произвольных последовательных членов данной $\left\{{a_{n}}\right\}$. Имеем $a_{n+1}-a_{n}=k\cdot (n+1)+b-k\cdot n-b=k\cdot (n+1-n)=k.$ Следовательно, при любом $n\in \mathbb {N}$ выполняется равенство $a_{n+1}-a_{n}=k,$ или, что то же, $a_{n+1}=a_{n}+k.$ Последнее означает, что каждый данный член последовательности $\left\{{a_{n}}\right\}$ равен предыдущему, сложенному с один и тем же числом $k.$ Но по определению это означает, что данная последовательность $\left\{{a_{n}}\right\}$ является арифметической прогрессией, то есть $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div .$

2. Последовательность $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div \Leftrightarrow$ выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2.$

3. Последовательность $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div \Leftrightarrow$ верна следующая лемма: если $n+m=k+l$, то $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$, где $(n,m,k,l)\in \mathbb {N} .$

P. S. Про остальные два критерия смотрите далее.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ есть арифметическая прогрессия $\Leftrightarrow$ для любого её элемента выполняется условие $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2$.

Доказательство

Необходимость: Поскольку $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ — арифметическая прогрессия, то для $n\geqslant 2$ выполняются соотношения: $a_{n}=a_{n-1}+d$ $a_{n}=a_{n+1}-d$. Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$. Достаточность: Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}$. Поскольку соотношения верны при всех $n\geqslant 2$, с помощью математической индукции покажем, что $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}$. База индукции $(n=2)$ : $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$ — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при $n=k$, то есть $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}$. Докажем истинность утверждения при $n=k+1$: $a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$ Но по предположению индукции следует, что $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}$. Получаем, что $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$ Итак, утверждение верно и при $n=k+1$. Это значит, что $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}$. Обозначим эти разности через $d$. Итак, $a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d$, а отсюда имеем $a_{n+1}=a_{n}+d$ для $n\in \mathbb {N}$. Поскольку для членов последовательности $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ выполняется соотношение $a_{n+1}=a_{n}+d$, то это есть арифметическая прогрессия.

Нетрудно сделать следующее предположение (обобщённое характеристическое свойство): $a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>k\geqslant 2.$

Доказательство

Поскольку, очевидно, что для индекса $n$ члена $a_{n}$ выполняется двойное неравенство: $n-k<n<n+k$, то воспользуемся формулой разности к некоторой паре $(l,m)$ $d={\frac {a_{m}-a_{l}}{m-l}}$, где $l<m$. Мы дважды воспользуемся ею для двух пар, то есть $(n-k,n)$ и $(n,n+k)$. У нас получится: $d={\frac {a_{n+k}-a_{n}}{(n+k)-n}}$ и в то же самое время $d={\frac {a_{n}-a_{n-k}}{n-(n-k)}}$. Видно, что левые части равенств одинаковы (значит, и правые тоже), как и знаменатели дробей в правых частях. Короче говоря, числители дробей равны в силу равенства знаменателей и равенства самих дробей. Запишем теперь это: $a_{n+k}-a_{n}=a_{n}-a_{n-k}$. Откуда получаем искомый результат: $a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>k\geqslant 2$.

5. Лемма арифметической прогрессии

Довольно любопытный факт можно заметить: $a_{n}+a_{n}=a_{n-k}+a_{n+k}=a_{n-1}+a_{n+1}$, то есть как бы $n+n=n-k+n+k=n-1+n+1$. Ставится вопрос: верно ли, что если сумма индексов есть постоянное число, то и сумма соответствующих членов арифметической прогрессии неизменна? И действительно это так!

Лемма. Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны: если $n+m=k+l$, то $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$, где $(n,m,k,l)\in \mathbb {N}$.

Доказательство

Пусть $n+m=k+l$. Рассмотрим левую часть требуемого равенства. Член $a_{n}$ может быть представлен как $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. В свою очередь, ничто не мешает это повторить и для члена $a_{m}$, то есть $a_{m}=a_{1}+(m-1)d$. Тогда их сумма равна: $a_{n}+a_{m}=[a_{1}+(n-1)d]+[a_{1}+(m-1)d]=2a_{1}+(n+m-2)d$. По условию $n+m=k+l$, поэтому мы можем заменить $n+m$ на $k+l$. Имеем $a_{n}+a_{m}=2a_{1}+(n+m-2)d=2a_{1}+(k+l-2)d=[a_{1}+(k-1)d]+[a_{1}+(l-1)d]=a_{k}+a_{l}$, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Последовательность $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ есть арифметическая прогрессия $\Leftrightarrow$ для любых её элементов выполняется условие леммы.

Следствие 2. Лемму также можно представить в другой форме: $a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=...=a_{k}+a_{n-k+1}$.

Доказательство
Достаточно проверить условие леммы.

6. Тождество арифметической прогрессии

Оказывается, что любые три члена арифметической прогрессии могут быть связаны между собой и своими индексами некоторым образом. Сформулируем данное утверждение.

6.1. Факт

Пусть $a_{k},a_{l},a_{m}$ — соответственно $k$-й, $l$-й, $m$-й члены арифметической прогрессии, где $(k,l,m)\in \mathbb {N}$. Тогда выполняется тождество арифметической прогрессии: $(k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.$

Доказательство

Решим следующую задачу. Дано: $a_{k},a_{l}$ — произвольные члены арифметической прогрессии, где $(k,l)\in \mathbb {N} .$ Найти: $a_{m}$ — некоторый $m$-й член этой же арифметической прогрессии. Решение. Знаем, что $d={\frac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}$. В свою очередь, эта же разность $d$ представима в виде: $d={\dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.$ Поскольку левые части равны, то и правые подавно. Тогда верна такая запись: ${\dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={\dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.$ Откуда по свойству пропорции имеем: $(l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m})$, или, что то же самое, $(l-m)a_{k}+(m-l)a_{l}+(l-k)a_{l}=(l-k)a_{m}.$ Итак, мы нашли, что хотели: $a_{m}={\frac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}}.$ Задача решена. В качестве следствия попутно нами доказано тождество арифметической прогрессии: $(k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.$

6.2. Поучительный пример

Дано: $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div ,a_{2}=2,a_{4}=6.$ Найдите $a_{6}.$

Решим эту задачу четырьмя способами, дабы показать их многообразие и эффективность.

Способ I [ через разность $d$ ]
Находим сначала разность $d$ по формуле $d={\frac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}:$ $d={\frac {a_{4}-a_{2}}{4-2}}={\frac {6-2}{2}}=2.$ И находим $a_{6}$ по другой формуле $a_{n}=a_{m}+(n-m)d:$ $a_{6}=a_{4}+(6-4)\cdot 2=6+2\cdot 2=10.$ Ответ: $a_{6}=10.$

Этот способ можно назвать «традиционный», поскольку опирается чисто на определения. А вот следующий зиждется на действительно интересном факте, о котором не все далеко знают, увы...

Способ II [используя тождество]
Знаем, что $a_{m}$ можно вычислять по формуле $a_{m}={\frac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}}.$ Придадим переменным их значения и получим: $a_{6}={\frac {(4-6)a_{2}+(6-2)a_{4}}{4-2}}={\frac {(-2)\cdot 2+4\cdot 6}{2}}=-2+12=10.$ Ответ: $a_{6}=10.$

Всего одна формула дала нам нужный ответ! Безусловно, человеку хочется упростить всякие вычисления. В этом случае на помощь всегда приходит смекалка — посмотрите, как решить третьим способом.

Способ III [по характеристическому свойству]
Итак, нам дана арифметическая прогрессия, поэтому выполняется обобщённое характеристическое свойство, а именно: $a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}},n>k\geqslant 2.$ Придадим для этой формулы значения $n:=4,k:=2.$ Тогда $a_{4}={\frac {a_{4-2}+a_{4+2}}{2}}={\frac {a_{2}+a_{6}}{2}}.$ Выражаем $a_{6}$, наконец: $a_{6}=2a_{4}-a_{2}=2\cdot 6-2=10$. Ответ: $a_{6}=10.$

В некоторых случаях более внимательные всегда видят какие-нибудь закономерности. У нас именно такая ситуация, к нам на помощь приходит лемма!

Способ IV [с помощью леммы]
Так как $4+4=2+6,$ то можем применить лемму и записать: $a_{4}+a_{4}=a_{2}+a_{6}.$ Легко вычисляем нужный член $a_{6}$: $a_{6}=2a_{4}-a_{2}=2\cdot 6-2=10$. Ответ: $a_{6}=10.$

7. Дополнительные формулы

Можно без труда выводить ещё больше интересных формул. Приведём две из них и докажем первую, а вторая — по аналогии с отсылкой на первую.

• Формула 1:

$n={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}},n\geqslant 2.$

Доказательство
Напишем сначала равенство $a_{n+1}=a_{1}+n\cdot d$. Затем другое: $a_{n}=a_{n-1}+d.$ Дальше просто: $n\cdot d=a_{n+1}-a_{1}$. Но разность $d$ можно заменить на $a_{n}-a_{n-1}$, что мы и сделаем. В итоге получим: $n\cdot (a_{n}-a_{n-1})=a_{n+1}-a_{1}\mid \Rightarrow n={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}},n\geqslant 2.$

• Формула 2:

${\frac {n}{k}}={\frac {a_{n+k}-a_{k}}{a_{n}-a_{n-k}}},n>k\geqslant 2.$

8. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ может быть найдена по формулам:

• $S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$, где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $a_{n}$ — член с номером $n$, $n$ — количество суммируемых членов.
• $S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)$ — где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $a_{2}$ — второй член прогрессии $,a_{n}$ — член с номером $n$.
• $S_{n}={\frac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n$ , где $a_{1}$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество суммируемых членов.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами: $S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}$ $S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: $2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$ (*) Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n$. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: $a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n$ Получили, что каждое слагаемое не зависит от $i$ и равно $2a_{1}+(n-1)d$. В частности, $a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d$. Поскольку таких слагаемых $n$, то $2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ Третья формула для суммы получается подстановкой $2a_{1}+(n-1)d$ вместо $a_{1}+a_{n}$. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: 1) Вместо $a_{1}+a_{n}$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n$, так как они все равны между собой. (*) В доказательстве можно применить следствие 2 из леммы.

Непосредственно из определения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии можно в подарок получить такое следствие.

Следствие 1. Член, стоящий на $n$-ом месте, можно также найти по формуле:$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}.$

Более того, можно узреть и такой факт.

Следствие 2. Для любой пары $<m,n>$ выполняется такая формула:

${\frac {S_{m}}{m}}-{\frac {S_{n}}{n}}={\frac {a_{m}-a_{n}}{2}}={\frac {m-n}{2}}\cdot d.$

Доказательство
Ясно, что ${\frac {2S_{m}}{m}}=a_{1}+a_{m}.$ Аналогично с суммой $S_{n}$, то есть ${\frac {2S_{n}}{n}}=a_{1}+a_{n}.$ Вычтем первое равенство из второго: ${\frac {2S_{m}}{m}}-{\frac {2S_{n}}{n}}=a_{1}+a_{m}-(a_{1}+a_{n})=a_{m}-a_{n}.$ Деля обе части на 2, получим искомый ответ: ${\frac {S_{m}}{m}}-{\frac {S_{n}}{n}}={\frac {a_{m}-a_{n}}{2}}={\frac {m-n}{2}}\cdot d.$

Приоткроем ещё одну "тайну".

Следствие 3. Верна следующая формула при $k\in \mathbb {N}$: $S_{n+k}=S_{n}+k\cdot a_{n}+{\frac {k(k+1)}{2}}\cdot d.$

Доказательство
Методом математической индукцией по числу $k.$

Следствие 4. Нетрудно вывести и такую формулу: $S_{n}={\frac {(n+1)a_{1}+(n-1)a_{n+1}}{2}}.$

Доказательство
По следствию 1 для $(n+1)$-го члена арифметической прогрессии можем написать следующее: $a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}.$ Выразим $S_{n}$ и получим: $S_{n}=S_{n+1}-a_{n+1}={\frac {a_{1}+a_{n+1}}{2}}\cdot (n+1)-a_{n+1}={\frac {(n+1)a_{1}+(n+1-2)a_{n+1}}{2}}={\frac {(n+1)a_{1}+(n-1)a_{n+1}}{2}}.$

Следствие 5. И наконец, вот ещё замечательная формула: $S_{n+k}-S_{n}=k\cdot a_{\frac {2n+k+1}{2}}.$

Второй вариант записи: ${\frac {S_{m}-S_{n}}{m-n}}=a_{\frac {m+n+1}{2}}.$

8.1. Сумма первых $n$ чисел

Вопрос: как посчитать сумму от $1$ до $n$? По формуле: $S_{n}={\dfrac {n(n+1)}{2}}.$

Например, сумма от 1 до 100 равна $S_{100}={\frac {100\cdot 101}{2}}={\frac {10100}{2}}=5050.$

Если по известной сумме $S_{n}$ первых $n$ чисел надо найти номер $n$, то применяется формула: $n={\dfrac {{\sqrt {8S_{n}+1}}-1}{2}}.$

8.2. Сумма первых $n$ нечётных чисел

Вопрос: какое будет $n$-ое число в последовательном ряду нечётных чисел: $1,3,5,7,...?$

Такое число должно быть: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2\cdot (n-1)=2n-1.$ Итак, любое $n$-ое нечётное число равно $2n-1.$

Поэтому сумма первых $n$ нечётных чисел находится так:

$s={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n={\frac {1+(2n-1)}{2}}\cdot n=n^{2}.$

Например, $1+3=4=2^{2},1+3+5=9=3^{2},1+3+5+7=16=4^{2}$ и так далее.

Это свойство суммы нечётных чисел наглядно выражается чертежом , который составлен так: к квадрату (внизу слева) приставлены 3 таких же квадрата (1 сверху, 1 сбоку и 1 в верхнем углу); к этим квадратам приставлены ещё 5 квадратов (2 сверху, 2 сбоку и 1 в верхнем правом углу). К ним, далее, приложены 7 квадратов, потом 9 квадратов и т. д.

Тогда очевидно, что $1+3=2^{2},1+3+5=3^{2},1+3+5+7=4^{2}$ и т. д.

8.3. Интересный факт

Формулировка: для всякой арифметической прогрессии при любом $n$ выполняется равенство:

$S_{2n}=S_{n}+{\frac {1}{3}}S_{3n}.$

Примечание: $S_{k}$ — сумма $k$ первых членов АП.

Доказательство

Воспользуемся следствием 2 из пункта 8. Имеем ${\frac {S_{2n}}{2n}}-{\frac {S_{n}}{n}}={\frac {a_{2n}-a_{n}}{2}},$ или $S_{2n}-2S_{n}=n\cdot (a_{2n}-a_{n}).$ Прибавим к обеим частям $S_{n}$ и получим, что $S_{2n}-S_{n}=S_{n}+n\cdot (a_{2n}-a_{n}).$ Покажем, что $S_{n}+n\cdot (a_{2n}-a_{n})={\frac {1}{3}}S_{3n}.$ Ну действительно, по тому же следствию 2 можно написать верное равенство: ${\frac {S_{3n}}{3n}}-{\frac {S_{n}}{n}}={\frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.$ Из него прямиком следует, что ${\frac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{\frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}\cdot n.$ Теперь докажем, что $a_{2n}-a_{n}={\frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.$ Перепишем последнее как $a_{2n}={\frac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.$ Но гораздо лучше представить это равенство в виде $a_{2n}={\frac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.$ А это характеристическое свойство арифметической прогрессии! Значит, правда $a_{2n}-a_{n}={\frac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.$ А следовательно, $S_{n}+n\cdot (a_{2n}-a_{n})={\frac {1}{3}}S_{3n}.$ Тем самым, $S_{2n}=S_{n}+{\frac {1}{3}}S_{3n},$ что и требовалось доказать.

Комплементарное свойство суммы: ${\dfrac {l-m}{k}}\cdot S_{k}+{\dfrac {m-k}{l}}\cdot S_{l}+{\dfrac {k-l}{m}}\cdot S_{m}=0.$

9. Сумма членов арифметической прогрессии от $n$-ого до $m$-ого

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от $n$ до $m$ $S_{m,n}=\sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+\ldots +a_{m}$ может быть найдена по формулам

• $S_{m,n}={\frac {a_{m}+a_{n}}{2}}\cdot (m-n+1)$ , где $a_{m}$ — член с номером $m$, $a_{n}$ — член с номером $n$, $(m-n+1)$ — количество суммируемых членов.
• $S_{m,n}={\frac {2a_{n}+d(m-n)}{2}}\cdot (m-n+1)$ , где $a_{n}$ — член с номером $n$, $d$ — разность прогрессии, $(m-n+1)$ — количество суммируемых членов.
• Сумма членов арифметической прогрессии начиная с m-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  $S_{m,n}={S_{n}}-{S_{m-1}}.$

10. Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ расходится при $d\neq 0$ и сходится при $d=0$. Причём

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.$

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел $\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)$, получаем искомый результат.

11. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$ и число $a>0$. Тогда последовательность вида $a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем $a^{d}$.

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: ${\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2$ Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: ${\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2$ Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения $q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}$.

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа $1,3,6,10,15,\ldots$ также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию $2,3,4,5,\ldots$

Тетраэдральные числа $1,4,10,20,35,\ldots$ образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если $\left[a_{i}\right]_{1}^{n}$ — арифметическая прогрессия порядка $m$, то существует многочлен $P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+...+c_{1}i+c_{0}$, такой, что для всех $i\in \left\{1,....n\right\}$ выполняется равенство $a_{i}=P_{m}(i)$

Примеры

• Натуральный ряд $1,2,3,4,5,\ldots$ — это арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_{1}=1$, а разность $d=1$. Сумма $n$ первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»:

$T_{n}=\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

• $1,-1,-3,-5,-7$ — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой $a_{1}=1$ и $d=-2$.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу $a$, то это есть арифметическая прогрессия, в которой $a_{1}=a$ и $d=0$. В частности, $\pi ,\pi ,\pi ,\ldots$ есть арифметическая прогрессия с разностью $d=0$.
• В физике - свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет тело за первую, вторую, третью,... секунду полета?
• В третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008,2012,...
• На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня,...?
• В литературе. Вспомним строки из романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «...Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб - стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха: «Мой дядя самых честных правил...» (2, 4, 6, 8,...). Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха: «Буря мглою небо кроет...» (1, 3, 5, 7,...)[5 стр.250].

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле ${\frac {n(n+1)}{2}}$, то есть к формуле суммы первых $n$ чисел натурального ряда.

См. также

• Геометрическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия

Ссылки

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.