Перейти к содержанию

Арифметическая прогрессия

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Арифмети́ческая прогре́ссия (АП)числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага, или разности прогрессии):

Любой (n - й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Обозначение. Если последовательность , или просто (иногда пишут: ), является арифметической прогрессией, то пишут (второй вариант записи: ). Коротко: арифметическая прогрессия обозначается через .

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства

[править]

1. Общий член арифметической прогрессии

[править]

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формулам

где — первый член прогрессии, — её разность, — член арифметической прогрессии с номером .

Теперь перейдём к другому равенству.

Иногда удобно пользоваться формулой для члена арифметической прогрессии с -м номером: , где .

2. Разность арифметической прогрессии

[править]

Из определения арифметической прогрессии имеем:

Ещё одна формула:

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

3. Признаки арифметической прогрессии

[править]

На данный момент известны три критерия арифметической прогрессии. Вот они:

1. Последовательность формула -го члена задаётся так: где и — заданные числа.

2. Последовательность выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии:

3. Последовательность верна следующая лемма: если , то , где

P. S. Про остальные два критерия смотрите далее.

4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии

[править]

Последовательность есть арифметическая прогрессия для любого её элемента выполняется условие .

Нетрудно сделать следующее предположение (обобщённое характеристическое свойство):

5. Лемма арифметической прогрессии

[править]

Довольно любопытный факт можно заметить: , то есть как бы . Ставится вопрос: верно ли, что если сумма индексов есть постоянное число, то и сумма соответствующих членов арифметической прогрессии неизменна? И действительно это так!

Лемма. Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны: если , то , где .

Следствие 1. Последовательность есть арифметическая прогрессия для любых её элементов выполняется условие леммы.

Следствие 2. Лемму также можно представить в другой форме: .

6. Тождество арифметической прогрессии

[править]

Оказывается, что любые три члена арифметической прогрессии могут быть связаны между собой и своими индексами некоторым образом. Сформулируем данное утверждение.

6.1. Факт

[править]

Пусть — соответственно -й, -й, -й члены арифметической прогрессии, где . Тогда выполняется тождество арифметической прогрессии:

6.2. Поучительный пример

[править]

Дано: Найдите

Решим эту задачу четырьмя способами, дабы показать их многообразие и эффективность.

Этот способ можно назвать «традиционный», поскольку опирается чисто на определения. А вот следующий зиждется на действительно интересном факте, о котором не все далеко знают, увы...

Всего одна формула дала нам нужный ответ! Безусловно, человеку хочется упростить всякие вычисления. В этом случае на помощь всегда приходит смекалка — посмотрите, как решить третьим способом.

В некоторых случаях более внимательные всегда видят какие-нибудь закономерности. У нас именно такая ситуация, к нам на помощь приходит лемма!

7. Дополнительные формулы

[править]

Можно без труда выводить ещё больше интересных формул. Приведём две из них и докажем первую, а вторая — по аналогии с отсылкой на первую.

  • Формула 1:
  • Формула 2:

8. Сумма первых членов арифметической прогрессии

[править]
Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам:
  • , где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
  • — где — первый член прогрессии, — второй член прогрессии — член с номером .
  • , где — первый член прогрессии, — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.

Непосредственно из определения суммы первых членов арифметической прогрессии можно в подарок получить такое следствие.

Следствие 1. Член, стоящий на -ом месте, можно также найти по формуле:

Более того, можно узреть и такой факт.

Следствие 2. Для любой пары выполняется такая формула:

Приоткроем ещё одну "тайну".

Следствие 3. Верна следующая формула при :

Следствие 4. Нетрудно вывести и такую формулу:

Следствие 5. И наконец, вот ещё замечательная формула:

Второй вариант записи:

8.1. Сумма первых чисел

[править]

Вопрос: как посчитать сумму от до ? По формуле:

Например, сумма от 1 до 100 равна

Если по известной сумме первых чисел надо найти номер , то применяется формула:

8.2. Сумма первых нечётных чисел

[править]

Вопрос: какое будет -ое число в последовательном ряду нечётных чисел:

Такое число должно быть: Итак, любое -ое нечётное число равно

Поэтому сумма первых нечётных чисел находится так:

Например, и так далее.

Это свойство суммы нечётных чисел наглядно выражается чертежом , который составлен так: к квадрату (внизу слева) приставлены 3 таких же квадрата (1 сверху, 1 сбоку и 1 в верхнем углу); к этим квадратам приставлены ещё 5 квадратов (2 сверху, 2 сбоку и 1 в верхнем правом углу). К ним, далее, приложены 7 квадратов, потом 9 квадратов и т. д.

Тогда очевидно, что и т. д.

8.3. Интересный факт

[править]

Формулировка: для всякой арифметической прогрессии при любом выполняется равенство:

Примечание: — сумма первых членов АП.

Комплементарное свойство суммы:

9. Сумма членов арифметической прогрессии от -ого до -ого

[править]

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от до может быть найдена по формулам

  • , где — член с номером , — член с номером , — количество суммируемых членов.
  • , где — член с номером , — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.
  • Сумма членов арифметической прогрессии начиная с m-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

10. Сходимость арифметической прогрессии

[править]

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причём

11. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

[править]

Пусть — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков

[править]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию

Тетраэдральные числа образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если — арифметическая прогрессия порядка , то существует многочлен , такой, что для всех выполняется равенство [1]

Примеры

[править]
  • Натуральный ряд — это арифметическая прогрессия, в которой первый член , а разность . Сумма первых членов натурального ряда называется «треугольным числом»:
  • — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой и .
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу , то это есть арифметическая прогрессия, в которой и . В частности, есть арифметическая прогрессия с разностью .
  • В физике - свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет тело за первую, вторую, третью,... секунду полета?
  • В третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008,2012,...
  • На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня,...?
  • В литературе. Вспомним строки из романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «...Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб - стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха: «Мой дядя самых честных правил...» (2, 4, 6, 8,...). Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха: «Буря мглою небо кроет...» (1, 3, 5, 7,...)[5 стр.250].

Занимательная история

[править]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле , то есть к формуле суммы первых чисел натурального ряда.

См. также

[править]

Ссылки

[править]

Примечания

[править]

Литература

[править]