Последовательности/Арифметико-геометрическая прогрессия

Арифметико-геометрическая прогрессия — последовательность чисел $u_{n}$, задаваемая рекуррентным соотношением $u_{n+1}=qu_{n}+d$, где $q$ и $d$ — константы. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при $q=1$) и геометрическая прогрессия (при $d=0$).

Формула для общего члена

Рассмотрим исходное соотношение: $u_{n+1}=qu_{n}+d$ при $n=1,2,...$

Пусть в этом соотношении $q\neq 1$ и $d\neq 0$. Прибавив к обеим частям выражение ${\frac {d}{q-1}}$, получаем

$u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

$u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

$\ldots$

$u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

$u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)$

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

$u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\frac {d}{q-1}})-{\frac {d}{q-1}}$

Свойства

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

$u_{n+1}=(q+1)u_{n}-qu_{n-1}$

• Разность $d$ арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

$d={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}$

• Последовательность $a_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q$.

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

$S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2}$

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.