Основы теоретической физики/Четырёхмерные тензоры

2.3.2. Четырёхмерные тензоры

В релятивистской механике активно используются понятия и правила тензорной алгебры. Тензоры — это расширенное, за счет определения «ранга», понятие скаляров, векторов и матриц. Скалярную величину можно назвать – «тензором нулевого ранга»; произвольный вектор – это «тензор первого ранга»; любая двумерная матрица – это «тензор второго ранга»; также можно математически определить и работать с тензорами третьего и более высоких рангов.

Определение: «4-тензором второго ранга» называется совокупность шестнадцати величин A^ik, которые при преобразовании четырехмерных координат преобразуются как произведения компонент 4-векторов. Компоненты 4-тензора второго ранга могут быть представлены в трех видах: как контрвариантные A^ik= AⁱA^k , как ковариантные A_ik = A_iA_k или как смешанные A_i^k, Aⁱ_k. В общем случае для смешанных компонент важно соблюдать порядок следования, то есть $A_{{\text{ }}{\text{ }}k}^{i}\neq A_{k}^{{\text{ }}{\text{ }}i}$

Из определения компонент 4-тензора следует несколько правил.

Правило 1: поднятие или опускание временного индекса не меняет, а поднятие или опускание пространственного – меняет знак компоненты тензора. Для демонстрации этого правила можно привести следующие примеры:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.8)

Правило 2: Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные (сверху или снизу) свободные индексы. Свободные индексы в тензорном равенстве можно перемещать вверх или вниз, но обязательно одновременно во всех частях уравнения. В качестве простого примера здесь можно привести следующие тензорные выражения:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.9)

Тензор A^ik называется «симметричным тензором» если для его компонент выполняется равенство:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.10)

Тензор A^ik называется «антисимметричным тензором» если для его компонент выполняется равенство:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.11)

Из определения  (2.3.11)  очевидно, что у антисимметричного тензора все диагональные элементы равны нулю. У симметричного тензора смешанные компоненты совпадают, поэтому для них не важен порядок следования:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.12)

В некоторых случаях, шестнадцать компонент 4-тензора второго ранга бывает удобно рассматривать, как несколько отдельных частей.

Девять из шестнадцати компонент 4-тензора являются чисто пространственными компонентами, из которых можно составить трехмерный тензор второго ранга:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.13)

Шесть компонент 4-тензора которые содержат и временную и пространственную составляющую, можно рассматривать как два трехмерных вектора или как два тензора первого ранга:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.14)

Чисто временную компоненту A⁰⁰ можно рассматривать как скаляр или как тензор нулевого ранга.

Ранг любого тензора можно понижать с помощью операции, которая называется «сверткой» или «упрощением» тензора. Например, из компонент 4-тензора второго ранга можно образовать скаляр (тензор нулевого ранга) с помощью следующей операции:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.15)

Сумма  (2.3.15)  называется «следом тензора». Для произвольного тензора любого ранга существует правило: каждое свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на два. Можно рассмотреть несколько примеров:

${\text{ - }}$тензор второго ранга

${\text{ - }}$тензор первого ранга (4-вектор)

${\text{ - }}$тензор нулевого ранга (скаляр)

Определение: единичным 4-тензором второго ранга называется тензор $\delta _{i}^{k}$, для которого при любом векторе Aⁱ справедливо равенство:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.16)

Нетрудно догадаться, что компоненты единичного 4-тензора находятся по формуле:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.17)

След тензора $\delta _{i}^{k}$ равен:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.18)

Также из  (2.3.17)  видно, что тензор $\delta _{i}^{k}$ является симметричным, а его ковариантные компоненты равны контрвариантным:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.19)

Ковариантные и контрвариантные компоненты единичного 4-тензора второго ранга, принято называть «метрическим тензором» и использовать для них специальное обозначение:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.20)

Из  (2.3.20)  следует, что домножение произвольного 4-вектора на метрический тензор, позволяет поднимать или опускать индексы компонент 4-вектора:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.21)

Важным свойством также является коммутативность произведения метрического тензора на произвольный 4-вектор:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.22)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление