Основы теоретической физики/Четырёхмерные векторы

2.3.1. Четырёхмерные векторы

Совокупность координат произвольного события (ct,x,y,z) - можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора в четырехмерном пространстве. Компоненты четырехмерного радиус-вектора принято обозначать индексами от нуля до трех: $X^{0}=ct;X^{1}=x;X^{2}=y;X^{3}=z$. В этих обозначениях интервал будет равен:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.1)

Чтобы интервал  (2.3.1)  оставался постоянным во всех системах отсчета, компоненты вектора должны подчиняться преобразованиям Лоренца.

В общем случае, кроме четырехмерных радиус-векторов, можно определить пространство произвольных четырехмерных векторов, длина которых сохраняется при переходе из одной системы отсчета в другую. По определению: «четырехмерным вектором (4-вектором) Aⁱ» - называется совокупность четырех величин A⁰;A¹;A²;A³, которые при преобразованиях четырехмерной системы координат, преобразуются как компоненты четырехмерного радиус-вектора Xⁱ, то есть удовлетворяют преобразованиям Лоренца:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.2)

Для удобства записи некоторых формул, определяют два «сорта» компонент 4-векторов. У одних компонент индексы пишут сверху, а у других – снизу. Эти компоненты связаны соотношениями:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.3)

По определению, «контрвариантными» называют компоненты 4-вектора, индексы у которых пишутся сверху. Компоненты, индексы у которых пишутся снизу, называются «ковариантными».

С помощью определений ковариантных и контрвариантных компонент, квадрат 4-вектора можно записать в виде:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.4)

Для сокращения записи формул знак суммы в выражениях можно не писать, если договориться о некоторых правилах.

Правило 1: по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается.

Правило 2: в каждой паре одинаковых индексов, один должен стоять вверху, а второй – внизу.

Повторяющиеся индексы в выражениях называют «немые индексы». Не немые индексы, которые могут встречаться в выражениях без соответствующей пары, называются «свободные индексы».

В качестве примера скалярное произведение 4-векторов можно записать формулой:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.5)

При этом легко заметить, что скалярное произведение, определяемое формулой  (2.3.5) , обладает свойством:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.6)

По очевидным причинам, компоненту с нулевым индексом принято называть «временной компонентой», а остальные – «пространственными компонентами» 4-вектора.

Иногда бывает удобно записывать 4-вектора выделяя временную компоненту как обычный скаляр, а пространственные как обычный трехмерный вектор:

$Undefined~formula$ формулы (2.3.7)

В дальнейшем будем записывать 4-вектора заглавными буквами, а обычные трехмерные – строчными. Компоненты 4-векторов будем нумеровать латинскими буквами из середины алфавита: i, j, k, l, …, а компоненты трехмерных векторов принято нумеровать греческими буквами α, β, γ, δ, …

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление