Основы теоретической физики/Ангармонические колебания с одной степенью свободы

1.5.8. Ангармонические колебания с одной степенью свободы

В качестве примера ангармонических колебаний, полезно рассмотреть колебания системы с одной степенью свободы. Функция Лагранжа   (1.5.54)    для такой системы в декартовых координатах примет вид:

$\begin{array}{cc}& U\approx \frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{3!}N{x}^3+\frac{1}{4!}L{x}^4\\ & T=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2\\ & L=T-U=\frac{1}{2}(m{\dot{x}}^2-k{x}^2)-\frac{1}{3!}N{x}^3-\frac{1}{4!}L{x}^4\end{array}$ (1.5.64)

Для одной степени свободы переход к нормальным координатам не сделает уравнения проще, поэтому будем дальше искать уравнение движения в декартовых координатах.

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\ddot{x}\\ & \frac{\partial L}{\partial x}=-kx-\frac{1}{2}N{x}^2-\frac{1}{6}L{x}^3\\ & m\ddot{x}+kx=-\frac{1}{2}N{x}^2-\frac{1}{6}L{x}^3\\ & \ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=-\underset{\alpha }{\underbrace{\frac{1}{2m}N}}{x}^2-\underset{\beta }{\underbrace{\frac{1}{6m}L}}{x}^3\\ & \ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=-\alpha x^2-\beta x^3\end{array}$ (1.5.65)

Будем решать уравнение   (1.5.65)    в виде ряда последовательных приближений.

Первое приближение:

Считаем равными нулю все члены второго и третьего порядка малости.

$\begin{array}{cc}& {\ddot{x}}^{(1)}+{\omega }_0^2{x}^{(1)}=0\\ & x^{(1)}=a\cos {\omega }_{0}t\end{array}$ (1.5.66)

Здесь и далее начальную фазу не учитываем, поскольку ее всегда можно свести к нулю надлежащим выбором начального момента времени.

Второе приближение:

В уравнении   (1.5.65)   , считаем равными нулю все члены выше первого порядка малости и воспользуемся решением, которое получилось в первом приближении.

$\begin{array}{cc}& x^{(1)}=a\cos \omega t\\ & \omega ={\omega }_0+{\omega }_1\\ & \ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=\underset{-\alpha a^2{\cos }^2\omega t}{\underbrace{-\alpha x^2}}-\underset{\approx 0}{\underbrace{\beta x^3}}\end{array}$ (1.5.67)

Подставим в левую часть уравнения   (1.5.67)    выражение:

$\begin{array}{cc}& x=\underset{\_}{x^{(1)}}+x^{(2)}=\underset{\_}{a\cos \left([{\omega }_0+{\omega }_1]t\right)}+x^{(2)}\\ & {\ddot{x}}^{(1)}=-a{({\omega }_0+{\omega }_1)}^2\cos \left([{\omega }_0+{\omega }_1]t\right)\end{array}$ (1.5.68)

После подстановки получим:

$\begin{array}{c}{\ddot{x}}^{(1)}+{\ddot{x}}^{(2)}+{\omega }_0^2{x}^{(1)}+{{\omega }_0}^2{x}^{(2)}=\\ =\underset{\approx -{\omega }_0^2{x}^{(1)}-2{\omega }_0{\omega }_1\cos (\omega t)}{\underbrace{-a{({\omega }_0+{\omega }_1)}^2\cos \left([{\omega }_0+{\omega }_1]t\right)}}+{{\omega }_0}^2{x}^{(1)}+{\ddot{x}}^{(2)}+{{\omega }_0}^2{x}^{(2)}\\ \Downarrow \\ {\ddot{x}}^{(2)}+{\omega }_0^2{x}^{(2)}=-\alpha a^2{\cos }^2\omega t+2{\omega }_0{\omega }_{1}a\cos \omega t\end{array}$ (1.5.69)

Во втором слагаемом правой части   (1.5.69)   , амплитуда колебаний получается зависимой от частоты.

Такие слагаемые называются «резонансными» и их нужно отбрасывать в методе последовательных приближений как не имеющие физического смысла. Отбросить резонансное слагаемое в   (1.5.69)    можно если полагать ${\omega }^{(1)}$. В итоге из   (1.5.69)    получаем уравнение:

${\ddot{x}}^{(2)}+{\omega }_0^2{x}^{(2)}=-\frac{\alpha a^2}{2}-\frac{\alpha a^2}{2}\cos 2\omega t$ (1.5.70)

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение   (1.5.70)    решается обычными методами и получается ответ:

$x^{(2)}=-\frac{\alpha a^2}{2{\omega }_0^2}-\frac{\alpha a^2}{6{\omega }_0^2}\cos 2\omega t$ (1.5.71)

Третье приближение:

В уравнении движения, считаем равными нулю все члены выше второго порядка малости и воспользуемся первым и вторым приближениями.

$\begin{array}{cc}& x^{(1)}=a\cos \omega t\\ & x^{(2)}=-\frac{\alpha a^2}{2{\omega }_0^2}-\frac{\alpha a^2}{6{\omega }_0^2}\cos 2\omega t\\ & \ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=-\alpha {(x^{(1)}+x^{(2)})}^2-\beta {(x^{(1)}+x^{(2)})}^3\\ & \ddot{x}+{\omega }_0^{2}x\approx -\alpha x^{(1)2}-2\alpha x^{(1)}{x}^{(2)}-\beta x^{(1)3}\end{array}$ (1.5.72)

Если теперь подставить в левую часть   (1.5.72)    выражения:

$\begin{array}{cc}& x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}\\ & \omega ={\omega }_0+\underset{=0}{\underbrace{{\omega }_1}}+{\omega }_2\end{array}$ (1.5.73)

После преобразований, аналогичных тем, которые делали для второго приближения приходим к следующему дифференциальному уравнению для третьего приближения:

${\ddot{x}}^{(3)}+{\omega }_0^2{x}^{(3)}=-2\alpha x^{(1)}{x}^{(2)}-\beta x^{(1)3}+2{\omega }_0{\omega }_2{x}^{(1)}$ (1.5.74)

Подставляя в правую часть   (1.5.74)    известные выражения $x_{(1)}$ и $x_{(2)}$, получаем следующее уравнение:

$\begin{array}{cc}& {\ddot{x}}^{(3)}+{\omega }_0^2{x}^{(3)}=-a^3[\frac{\beta }{4}+\frac{{\alpha }^2}{6{\omega }_0}]\cos 3\omega t+a[2{\omega }_0{\omega }_2+\frac{5a^2{\alpha }^2}{6{\omega }_0^2}-\frac{3}{4}{\alpha }^2\beta ]\cos \omega t\end{array}$ (1.5.75)

Во втором слагаемом правой части   (1.5.75)   , амплитуда колебаний получается зависящей от частоты. Это резонансные члены, которые должны быть нулевыми. Отсюда следует, что вторая поправка к основной частоте равна:

${\omega }_2=(\frac{2\beta }{8{\omega }_0}-\frac{5a^2}{12{\omega }_0^3})a^2$ (1.5.76)

Комбинационное колебание третьего порядка тогда опять найдется из решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$\begin{array}{c}{\ddot{x}}^{(3)}+{\omega }_0^2{x}^{(3)}=-a^3[\frac{\beta }{4}+\frac{{\alpha }^2}{6{\omega }_0}]\cos 3\omega t\\ \Downarrow \\ x^{(3)}=\frac{a^3}{16{\omega }_0^2}(\frac{{\alpha }^2}{3{\omega }_0^2}+\frac{\beta }{2})\cos 3\omega t\end{array}$ (1.5.77)

См. также

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление