Интегральное исчисление/Интегрирование полиномиальных и рациональных функций

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску
← Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций


Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.

Интегрирование многочленов[править]

Многочленом, или полиномом, от одной переменной называется выражение вида:

(6.1)

где — некоторые вещественные или комплексные постоянные. Число — максимальная из степеней его одночленов — называется степенью многочлена.

Вычисление интеграла от многочлена основано на свойстве линейности интеграла:

(6.2)
        

Пример 6.1. Найти интеграл

(6.3)

Решение. Используя свойства линейности интеграла, получим:

(6.4)

Пример 6.2. Найти интеграл

(6.5)

Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

(6.6)

Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим:

(6.7)

Пример 6.3. Найти интеграл

(6.8)

Решение. Здесь можно было поступить также, как и в примере 6.2, но проще сделать замену , тогда и выражение преобразуется к виду . Получаем:

(6.9)

Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое:

(6.10)

Возвращаясь к переменной , у нас получается:

(6.11)

Интегрирование рациональных функций[править]

Вводные замечания[править]

Рациональной функцией от переменной называется отношение двух полиномов:

(6.12)

где предполагается, что . Многочлен называется числителем дроби, а знаменателем. Можно считать, что многочлены и взаимно просты, в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).

Из теории рациональных функций известно, что если , то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей :

(6.13)

Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов:

(6.14)

где корень многочлена -ой степени кратности (); ;

— коэффициент при старшей степени .

Поэтому в случае, если , дробь на множестве комплексных чисел можно представить в виде:

(6.15)
        
        

где — некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.

В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:

(6.16)

где — действительные корни; . Квадратные трёхчлены не имеют действительных корней.

Если рассматривать разложение дроби на простейшие на , то мы придём к следующей формуле:

(6.17)
        
        
        

где все коэффициенты — действительные числа.

Рассмотрим пример на разложение дроби.

Пример 6.4 Разложить на простые дроби:

(6.18)

Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:

(6.19)

следовательно дробь (6.18) согласно (6.13) и (6.17) можно представить в виде:

(6.20)

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов :

(6.21)

Решая систему линейных уравнений, найдём:

(6.22)

Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20):

(6.23)

Пример 6.5 Разложить на простые дроби:

(6.24)

Решение. Случай, когда или , нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел . Рассмотрим случай, когда .

Найдём корни уравнения , переписав в виде и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня:

(6.25)

где и — действительные числа.

На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня имеется и его сопряжённый , значит в разложении многочлена на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:

(6.26)

(доказательство этого факта см. в Дополнении).

Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что

(6.27)

Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае ), следовательно:

(6.28)

Значит выражение (6.24) имеет следующее разложение на простые дроби:

(6.29)

где

Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти , и .

Например, для по формуле (6.29) в общем виде получаем:

(6.30)

После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:

(6.31)

Для :

(6.32)

или после соответствующих манипуляций:

(6.33)

Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.

Пример 6.6 Найти интеграл

(6.34)

Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на ), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:

(6.35)
        

Пример 6.7 Найти интеграл

(6.36)

Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:

(6.37)

Сократим дробь:

(6.38)

Теперь вычислить интеграл не составит труда:

(6.39)

Интегрирование простых дробей[править]

Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:

и (6.40)

а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов» этой главы).

Возьмём интеграл от дроби первого типа:

(6.41)

Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:

(6.42)

где ; , иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.

Постоянную можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:

(6.43)

где .

Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:

(6.44)

Исследуем выражение в зависимости от знака . Если , то можно написать, что и интеграл (6.44) запишется в виде:

(6.45)

или возвращаясь к :

(6.46)

Допустим теперь, что , тогда :

(6.47)
        

Если же , то

(6.48)

Подведём итог:

(6.49)

Хочется отметить, что в случае , дробь (6.42) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41)], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.

Пример 6.8. Решить интеграл

(6.50)

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

(6.51)

Теперь можно взять интеграл:

(6.52)

Рассмотрим теперь интеграл вида:

(6.53)

где .

Как и в случае интеграла (6.42) выделим в знаменателе полный квадрат:

(6.53)
        

Будем считать, что , иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену и обозначим , тогда выражение (6.53) преобразуется к виду:

(6.54)

В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от . Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54) следующим образом:

(6.55)

В первом слагаемом после сокращения на получается исходный интеграл только степени ; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:

(6.56)
        

Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55):

(6.57)

Приведём подобные:

(6.58)

Вернёмся снова к переменной и коэффициентам :

(6.59)
        

Проведя упрощения, окончательно получим:

(6.60)

Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:

(6.61)

где знаменатель не приводим на .

Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:

(6.62)

Сделаем подстановку . Так как , введём обозначение . Получаем:

(6.63)

Разобьём сумму на два интеграла:

(6.64)

Вычислим первый интеграл:

(6.65)

Второй интеграл табличный:

(6.66)

Подставляя два последних выражения в (6.64) и возвращаясь к переменной и постоянным и , для интеграла (6.61) будем иметь следующее общее решение:

(6.67)

Рассмотрим интеграл вида:

(6.68)

где .

Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку , как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:

(6.69)

Для первого интеграла получаем:

(6.70)

Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58):

(6.71)

После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:

(6.72)

Пример 6.9. Решить интеграл

(6.73)

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:

(6.74)

Применим подстановку :

(6.75)

Вычислим интеграл в первом слагаемом:

(6.76)

Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:

(6.77)
        

Первый интеграл в сумме является табличным:

(6.78)

Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:

(6.79)
        

Подставим найденные интегралы в (6.75):

(6.80)
        

Вернёмся к исходной переменной:

(6.81)
        

Как мы видели, при интегрировании дробей исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал.

Итак, преобразуем интеграл (6.68):

(6.82)
        

Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда — рациональное число, главное чтобы интеграл при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.

Пример 6.10. Решить интеграл

(6.83)

Решение. Преобразуем интеграл к виду (6.82):

(6.84)

Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда:

(6.85)

Во втором слагаемом выделим полный квадрат:

(6.86)
        

В итоге имеем следующий ответ:

(6.87)

Метод Остроградского[править]

Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.

Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые[1], то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса).

Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.

Теорема 6.1.  Если и () — многочлены с действительными коэффициентами, не имеющие общих корней, тогда интеграл от правильной дроби можно представить в виде суммы рациональной и трансцендентной частей:

(6.88)

где — наибольший общий делитель многочлена и его производной ;

и — многочлены с неопределёнными коэффициентами ().

Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88). Многочлен является наибольшим общим делителем многочленов и . Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида. Вычислить многочлен также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены и . Для этого продифференцируем по правую и левую части выражения (6.88):

(6.96)

Применим формулу производной от частного:

(6.97)

Разобьём дробь в правой части:

(6.98)

Домножим обе части равенства (6.98) на многочлен :

(6.99)

Так как в первом слагаемом отношение равно , то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что [это следует из равенства (6.95)]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение равно :

(6.100)

Продифференцируем теперь равенство (6.95):

(6.101)

Выразим из (6.101) и подставим в (6.100):

(6.102)

Снова разобьём на две дроби:

(6.103)

Дробь является многочленом, потому что как наибольший общий делитель многочленов и делит последний нацело.

Обобщая исследование правой части (6.99), можно записать следующее выражение:

(6.104)

где

(6.105)

многочлен степени [3].

Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для и . Интеграл взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).

Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.

Пример 6.11. Найти интеграл:

(6.106)

Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем , . Найдём производную от знаменателя:

(6.107)

Теперь найдём НОД и . Для этого «столбиком» разделим на , получим как целую часть и в остатке. Поделим теперь на первый остаток, получим целую часть — и второй остаток — . Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть — и третий остаток — . Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть — , следовательно, по алгоритму Евклида многочлен

(6.108)

является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.

Поделив на , получим:

(6.109)

Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у и , причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.

Итак, согласно (6.88) мы имеем[4]:

(6.110)

В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами:

(6.111)

Продифференцируем равенство (6.111):

(6.112)
        
        

Теперь умножим на , раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:

(6.112)

Решая это систему линейных уравнений, найдём:

(6.113)

Подставляя эти значения в (6.111), будем иметь:

(6.114)
        

Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами:

(6.115)
        

Окончательно получим[5]:

(6.116)
        

Метод Эрмита[править]

Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).

Пусть () — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены и взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.

Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:

(6.117)

где — корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).

Если перегруппировать в представлении (6.117) сомножители, то это выражение можно переписать так:

(6.118)

где — многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел эти многочлены могут содержать множители вида , где .

Значит дробь можно представить в виде:

(6.119)

где многочлены взаимно просты с ().

Докажем это.

Из разложения (6.119) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:

(6.122)

где степень меньше степени и они взаимно просты. Так как у многочлена все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты[6]. Если , то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у все корни простые. Исследуем случай, когда .

Применим снова соотношение Безу к и его производной :

[7](6.123)

и подставим его в (6.122):

(6.124)

Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив и , тогда , а . Подставив эти выражения в (6.124), будем иметь:

(6.125)

Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим:

(6.126)

где .

Если , то к интегралу можно снова применить описанный, выше метод. Продолжая дальше, мы в конечном итоге получим:

(6.127)

где — рациональная функция, — многочлен, степень которого меньше степени , при этом он может быть и не взаимно простым с . Интеграл в правой части вычислить уже легче, так как он содержит только простые корни.

Рассмотрим теперь пример.

Пример 6.12. Найти интеграл:

(6.128)

Решение. В соответствии с методом Эрмита представим знаменатель дроби в виде:

(6.129)

где .

Значит, подынтегральное выражение можно разбить на две дроби:

(6.130)

Методом неопределённых коэффициентов найдём:

(6.131)

Итак, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух:

(6.132)
        

Первое слагаемое легко интегрируется:

(6.133)

Для второго интеграла будем использовать метод Эрмита. Найдём производную многочлена :

(6.134)

Подберём два таких многочлена, чтобы выполнялось соотношение Безу (6.123):

(6.135)

Так как степень многочлена, стоящего справа выше стоящего слева, то для определения неизвестных коэффициентов мы получаем переопределённую систему линейных уравнений, чтобы это исправить разделим многочлен на произведение , в результате получим, что можно записать как:

(6.136)

Рассмотрим теперь новое соотношение:

(6.137)

где — новые многочлен с неизвестными коэффициентами.

Таким образом, мы пришли к линейной системе, где количество неизвестных равно количеству уравнений, относительно этих неизвестных.

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему линейных уравнений:

(6.138)

Решением системы будут следующие коэффициенты:

(6.139)

Теперь нужно вернуться к выражению (6.135). Для этого сделаем замену . Таким образом, получаем, что:

(6.140)

Итак, по методу Эрмита второй интеграл в правой части выражения (6.132) можно разбить на два интеграла следующим образом:

(6.141)
        

Разбивая интеграл в первом слагаемом на части получим:

(6.142)

Беря интегралы, получаем:

(6.143)

Ко второму слагаемому в (6.141) применим интегрирование по частям:

(6.144)
        

Второе слагаемое можно разбить на простые дроби:

(6.145)

Вычислим интегралы:

(6.146)

Чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты интегрирования отдельных слагаемых тем, самым получая:

(6.147)