Интегрирование полиномиальных и рациональных функций
Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.
Интегрирование многочленов
[править]
Многочленом, или полиномом, от одной переменной
называется выражение вида:
(6.1)
где
— некоторые вещественные или комплексные постоянные. Число
— максимальная из степеней его одночленов — называется степенью многочлена.
Вычисление интеграла от многочлена
основано на свойстве линейности интеграла:
(6.2)
-

Пример 6.1. Найти интеграл
(6.3)
Решение. Используя свойства линейности интеграла, получим:
(6.4)
Пример 6.2. Найти интеграл
(6.5)
Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении:
(6.6)
Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим:
(6.7)
Пример 6.3. Найти интеграл
(6.8)
Решение. Здесь можно было поступить также, как и в примере 6.2, но проще сделать замену
, тогда
и выражение
преобразуется к виду
. Получаем:
(6.9)
Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое:
(6.10)
Возвращаясь к переменной
, у нас получается:
(6.11)
Интегрирование рациональных функций
[править]
Рациональной функцией от переменной
называется отношение двух полиномов:
(6.12)
где предполагается, что
. Многочлен
называется числителем дроби, а
— знаменателем. Можно считать, что многочлены
и
взаимно просты, в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).
Из теории рациональных функций известно, что если
, то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени
и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей
:
(6.13)
Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов:
(6.14)
где
— корень многочлена
-ой степени кратности (
);
;
— коэффициент при старшей степени
.
Поэтому в случае, если
, дробь
на множестве комплексных чисел можно представить в виде:
(6.15)
-

-

где
— некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.
В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве
разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:
(6.16)
где
— действительные корни;
. Квадратные трёхчлены
не имеют действительных корней.
Если рассматривать разложение дроби на простейшие на
, то мы придём к следующей формуле:
(6.17)
-

-

-

где все коэффициенты
— действительные числа.
Рассмотрим пример на разложение дроби.
Пример 6.4 Разложить на простые дроби:
(6.18)
Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:
(6.19)
следовательно дробь (6.18) согласно (6.13) и (6.17) можно представить в виде:
(6.20)
Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов
:
(6.21)
Решая систему линейных уравнений, найдём:
(6.22)
Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20):
(6.23)
Пример 6.5 Разложить на простые дроби:
(6.24)
Решение. Случай, когда
или
, нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел
. Рассмотрим случай, когда
.
Найдём корни уравнения
, переписав в виде
и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня:
(6.25)
где
и
— действительные числа.
На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня
имеется и его сопряжённый
, значит в разложении многочлена
на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:
(6.26)
(доказательство этого факта см. в Дополнении).
Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что
(6.27)
Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае
), следовательно:
(6.28)
Значит выражение (6.24) имеет следующее разложение на простые дроби:
(6.29)
где

Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти
,
и
.
Например, для
по формуле (6.29) в общем виде получаем:
(6.30)
После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:
(6.31)
Для
:
(6.32)
или после соответствующих манипуляций:
(6.33)
Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.
Пример 6.6 Найти интеграл
(6.34)
Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на
), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:
(6.35)
-

Пример 6.7 Найти интеграл
(6.36)
Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:
(6.37)
Сократим дробь:
(6.38)
Теперь вычислить интеграл не составит труда:
(6.39)
Интегрирование простых дробей
[править]
Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:
и
(6.40)
а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов» этой главы).
Возьмём интеграл от дроби первого типа:
(6.41)
Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:
(6.42)
где
;
, иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.
Постоянную
можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:
(6.43)
где
.
Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:
(6.44)
Исследуем выражение в зависимости от знака
. Если
, то можно написать, что
и интеграл (6.44) запишется в виде:
(6.45)
или возвращаясь к
:
(6.46)
Допустим теперь, что
, тогда
:
(6.47)
-

Если же
, то
(6.48)
Подведём итог:
(6.49)
Хочется отметить, что в случае
, дробь (6.42) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41)], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.
Пример 6.8. Решить интеграл
(6.50)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.51)
Теперь можно взять интеграл:
(6.52)
Рассмотрим теперь интеграл вида:
(6.53)
где
.
Как и в случае интеграла (6.42) выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.53)
-

Будем считать, что
, иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену
и обозначим
, тогда выражение (6.53) преобразуется к виду:
(6.54)
В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от
. Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54) следующим образом:
(6.55)
В первом слагаемом после сокращения на
получается исходный интеграл только степени
; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:
(6.56)
-

Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55):
(6.57)
Приведём подобные:
(6.58)
Вернёмся снова к переменной
и коэффициентам
:
(6.59)
-

Проведя упрощения, окончательно получим:
(6.60)
Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:
(6.61)
где знаменатель не приводим на
.
Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:
(6.62)
Сделаем подстановку
. Так как
, введём обозначение
. Получаем:
(6.63)
Разобьём сумму на два интеграла:
(6.64)
Вычислим первый интеграл:
(6.65)
Второй интеграл табличный:
(6.66)
Подставляя два последних выражения в (6.64) и возвращаясь к переменной
и постоянным
и
, для интеграла (6.61) будем иметь следующее общее решение:
(6.67)
Рассмотрим интеграл вида:
(6.68)
где
.
Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку
, как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:
(6.69)
Для первого интеграла получаем:
(6.70)
Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58):
(6.71)
После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:
(6.72)
Пример 6.9. Решить интеграл
(6.73)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.74)
Применим подстановку
:
(6.75)
Вычислим интеграл в первом слагаемом:
(6.76)
Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:
(6.77)
-

Первый интеграл в сумме является табличным:
(6.78)
Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:
(6.79)
-

Подставим найденные интегралы в (6.75):
(6.80)
-

Вернёмся к исходной переменной:
(6.81)
-

Как мы видели, при интегрировании дробей
исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал.
Итак, преобразуем интеграл (6.68):
(6.82)
-

Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя
может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда
— рациональное число, главное чтобы интеграл
при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.
Пример 6.10. Решить интеграл
(6.83)
Решение. Преобразуем интеграл к виду (6.82):
(6.84)
Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда:
(6.85)
Во втором слагаемом выделим полный квадрат:
(6.86)
-

В итоге имеем следующий ответ:
(6.87)
Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.
Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые[1], то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса).
Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.
Доказательство теоремы 6.1
Как уже известно, любой многочлен на

может быть представлен в виде
[2]:
(6.89)
где
— действительный корень кратности
(
);
(
) — неприводимый на множестве действительных чисел квадратный трёхчлен. Он представляет собой произведение двух комплексно сопряжённых корней многочлена
кратности
(
);

В разложении
на простые дроби каждому действительному корню
кратности
будут соответствовать слагаемые:
(6.90)
а каждой паре комплексно сопряжённых корней (соответственно, неприводимому квадратному трёхчлену) — слагаемые:
(6.91)
где все
— действительные постоянные.
При интегрировании от первых слагаемых в (6.90) и (6.91) согласно (6.41) (случай
) и (6.49) (при
) является трансцендентной функцией. Интегралы от каждой из всех последующих слагаемых (6.90) — правильная дробь, степень знаменателя которой на единицу меньше степени этой же дроби. Интеграл от каждого слагаемого, начиная со второго, в выражении (6.91) представляет собой сумму правильной рациональной дроби и арктангенса.
Объединим рациональные части интегралов от (6.90) и (6.91), в результате получим правильную рациональную дробь
(
), знаменатель которой
(6.92)
является многочленом степени
, где
.
Как уже сказано выше, трансцендентную часть интеграла от дроби
можно представить как алгебраическую сумму дробей вида:
и
,(6.93)
где
— константы.
Приведя эту сумму к общему знаменателю, получим правильную рациональную дробь
(
) со знаменателем
(6.94)
где
. Как мы видим, этот многочлен имеет только простые нули.
Из (6.92) и (6.94) следует, что
(6.95)
Таким образом мы доказали верность формулы (6.88).
Теперь покажем, что для нахождения

не обязательно знать нули знаменателя дроби

. По теореме о корнях производной многочлена (доказательство см. в Дополнении) следует, что

имеет те же корни, что и

, только их кратность на единицу меньше, а как мы видели из построения многочлена

, он и будет наибольшим общим делителем многочленов

и

, так как в него входят те же корни, что и в

, их степень на единицу меньше и при этом простые корни отсутствуют.
Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88). Многочлен
является наибольшим общим делителем многочленов
и
. Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида. Вычислить многочлен
также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены
и
. Для этого продифференцируем по
правую и левую части выражения (6.88):
(6.96)
Применим формулу производной от частного:
(6.97)
Разобьём дробь в правой части:
(6.98)
Домножим обе части равенства (6.98) на многочлен
:
(6.99)
Так как в первом слагаемом отношение
равно
, то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что
[это следует из равенства (6.95)]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение
равно
:
(6.100)
Продифференцируем теперь равенство (6.95):
(6.101)
Выразим из (6.101)
и подставим в (6.100):
(6.102)
Снова разобьём на две дроби:
(6.103)
Дробь
является многочленом, потому что
как наибольший общий делитель многочленов
и
делит последний нацело.
Обобщая исследование правой части (6.99), можно записать следующее выражение:
(6.104)
где
(6.105)
многочлен степени
[3].
Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для
и
. Интеграл
взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).
Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.
Пример 6.11. Найти интеграл:
(6.106)
Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем
,
. Найдём производную от знаменателя:
(6.107)
Теперь найдём НОД
и
. Для этого «столбиком» разделим
на
, получим
как целую часть и
в остатке. Поделим теперь
на первый остаток, получим целую часть —
и второй остаток —
. Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть —
и третий остаток —
. Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть —
, следовательно, по алгоритму Евклида многочлен
(6.108)
является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.
Поделив
на
, получим:
(6.109)
Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у
и
, причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе
можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.
Итак, согласно (6.88) мы имеем[4]:
(6.110)
В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами:
(6.111)
Продифференцируем равенство (6.111):
(6.112)
-

-

Теперь умножим на
, раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:
(6.112)
Решая это систему линейных уравнений, найдём:
(6.113)
Подставляя эти значения в (6.111), будем иметь:
(6.114)
-

Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами:
(6.115)
-

Окончательно получим[5]:
(6.116)
-

Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).
Пусть
(
) — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены
и
взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.
Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:
(6.117)
где
— корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).
Если перегруппировать в представлении (6.117) сомножители, то это выражение можно переписать так:
(6.118)
где
— многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел
эти многочлены могут содержать множители вида
, где
.
Значит дробь
можно представить в виде:
(6.119)
где многочлены
взаимно просты с
(
).
Докажем это.
Доказательство формулы (6.119)
Многочлены

и

взаимно просты, так как все они попарно взаимно просты, и произведение простых множителей также взаимно просто. Воспользуемся
соотношением Безу для этих полиномов. Так как полиномы взаимно просты, то имеет место следующее равенство:
(6.120)
где
— многочлены, степени которых меньше
и
соответственно. Для поиска этих многочленов можно использовать метод неопределённых коэффициентов.
Теперь поделим на
:
(6.121)
-

Многочлен
имеет степень, меньшую, чем у
, а
— меньшую, чем у
, при этом
и
взаимно просты, аналогично,
и
взаимно просты.
Применяя те же рассуждения к

и

, получим формулу (
6.119).
Из разложения (6.119) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:
(6.122)
где степень
меньше степени
и они взаимно просты. Так как у многочлена
все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты[6]. Если
, то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у
все корни простые. Исследуем случай, когда
.
Применим снова соотношение Безу к
и его производной
:
[7](6.123)
и подставим его в (6.122):
(6.124)
Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив
и
, тогда
, а
. Подставив эти выражения в (6.124), будем иметь:
(6.125)
Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим:
(6.126)
где
.
Если
, то к интегралу
можно снова применить описанный, выше метод. Продолжая дальше, мы в конечном итоге получим:
(6.127)
где
— рациональная функция,
— многочлен, степень которого меньше степени
, при этом он может быть и не взаимно простым с
. Интеграл в правой части вычислить уже легче, так как он содержит только простые корни.
Рассмотрим теперь пример.
Пример 6.12. Найти интеграл:
(6.128)
Решение. В соответствии с методом Эрмита представим знаменатель дроби в виде:
(6.129)
где
.
Значит, подынтегральное выражение можно разбить на две дроби:
(6.130)
Методом неопределённых коэффициентов найдём:
(6.131)
Итак, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух:
(6.132)
-
![{\displaystyle {\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{x-2}}-{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{5}-9x^{4}-326x^{3}+1\,458x^{2}-2\,179x+271}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c380cede270329bc185277c8b642b6a9b889f731)
Первое слагаемое легко интегрируется:
(6.133)
Для второго интеграла будем использовать метод Эрмита. Найдём производную многочлена
:
(6.134)
Подберём два таких многочлена, чтобы выполнялось соотношение Безу (6.123):
(6.135)

Так как степень многочлена, стоящего справа выше стоящего слева, то для определения неизвестных коэффициентов мы получаем переопределённую систему линейных уравнений, чтобы это исправить разделим многочлен
на произведение
, в результате получим, что
можно записать как:
(6.136)

Рассмотрим теперь новое соотношение:
(6.137)
где
— новые многочлен с неизвестными коэффициентами.
Таким образом, мы пришли к линейной системе, где количество неизвестных равно количеству уравнений, относительно этих неизвестных.
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему линейных уравнений:
(6.138)
Решением системы будут следующие коэффициенты:
(6.139)
Теперь нужно вернуться к выражению (6.135). Для этого сделаем замену
. Таким образом, получаем, что:
(6.140)
Итак, по методу Эрмита второй интеграл в правой части выражения (6.132) можно разбить на два интеграла следующим образом:
(6.141)
-
![{\displaystyle =-{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{2}-98x-214}{(x+1)(x^{2}-2x+5)}}\,dx-{\frac {1}{9}}\int {\frac {(30x^{2}-51x+447)(3x^{2}-2x+3)}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef6fd8b87bbce4b8483eb3e5fa48e1619552cf4)
Разбивая интеграл в первом слагаемом на части получим:
(6.142)
Беря интегралы, получаем:
(6.143)
Ко второму слагаемому в (6.141) применим интегрирование по частям:
(6.144)
-

Второе слагаемое можно разбить на простые дроби:
(6.145)
Вычислим интегралы:
(6.146)
Чтобы получить окончательный ответ, сложим результаты интегрирования отдельных слагаемых тем, самым получая:
(6.147)
-

Приведя подобные, получим окончательный ответ:
(6.148)
-

Интегрирование рациональных дробей специального вида
[править]
Рациональные дроби специального вида можно интегрировать, применяя методы, основанные на специфичности данного интеграла. Рассмотри некоторые из них.
Интегрирование дробей вида:
(6.149)
где
— многочлен (в общем случае, в его состав могут входить одночлены не только с натуральными показателями), проще проинтегрировать его как алгебраическую сумму после почленного деления:
(6.150)
где
— действительный коэффициент,
— показатель степени одночлена (в общем случае,
).
Очень часто при интегрировании таких выражений появляются члены вида
(
). Их раскрывают, используя формулу бинома Ньютона.
Пример 6.12. Найти интеграл
(6.151)
Решение. Произведя почленное деление под знаком интеграла, получим:
(6.152)
-
![{\displaystyle =-{\frac {1}{x}}+7\cdot {\frac {2}{7}}x^{-{\frac {7}{2}}}-10\cdot {\frac {3}{10}}x^{-{\frac {10}{3}}}+C=-{\frac {1}{x}}+{\frac {2}{\sqrt {x^{7}}}}-{\frac {3}{\sqrt[{3}]{x^{10}}}}+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee94d9de55b7e5eb3ba37e86163a49e2173e981f)
Интегралы вида:
(6.153)
где
— многочлен c натуральными показателями,
— действительные коэффициенты, не равные нулю;
сводятся к предыдущему случаю с использованием подстановки
. В этом случае мы имеем:
. Сделаем замену:
(6.154)
Этим интеграл преобразуется к интегралу (6.149).
Пример 6.13. Найти интеграл
(6.155)
Решение. Сделаем замену
, тогда
и
:
(6.156)
-

Вернувшись обратно к переменной
, найдём ответ:
(6.157)
Пример 6.14. Найти интеграл
(6.158)
Решение. Применим интегрирование по частям:
(6.159)
-

Подынтегральное выражение второго слагаемого разобьём на простые дроби. Так как
, то
(6.160)
Методом неопределённых коэффициентов устанавливаем, что
(6.161)
Таким образом, интеграл (6.158) можно представить как:
(6.162)
После взятия интегралов ответом будет служить следующее выражение:
(6.163)
Интегралы
(6.164)
где
— полином,
;
интегрируются следующим образом: сделаем подстановку
, тогда
:
(6.165)
Если сделать подстановку
(
), можно получить интеграл вида (6.149):
(6.166)
Пример 6.15. Найти интеграл
(6.167)
Решение. Вынесем в числителе
за скобку:
(6.168)
Сделаем подстановку
:
(6.169)
Сделаем ещё одну подстановку:
:
(6.170)
Раскрывая скобки в числителе и приводя подобные, получим:
(6.171)
Почленно поделим:
(6.172)
Вернёмся сначала к переменной
:
(6.173)
Окончательно получим:
(6.174)
где
.
Исследуем интеграл вида:
(6.175)
где
.
Если
, то линейные двучлены в числителе и знаменателе подобны, следовательно, можно вынести коэффициент подобия и сократить дробь. В этом случае мы получим интеграл
(6.176)
который берётся заведением под дифференциал.
Случай, когда
, более интересен. Сделаем подстановку
; интеграл преобразуется к виду (6.149):
(6.177)
Вычислим следующий интеграл:
(6.178)
Сделаем подстановку
, отсюда
(6.179)
Интеграл (6.178) примет вид:
(6.180)
Если
, то мы получаем интеграл вида (6.149).
Описанным выше способом можно брать интегралы вида
(6.181)
где
.
В этом случае квадратный трёхчлен обладает двумя различными вещественными корнями
и
. Полагая в интеграле (6.178)
и
, преобразуем интеграл (6.181) к виду:
(6.182)
Формула, в принципе действительна и при
, но при этом корни будут комплексными, но, так как они сопряжённые, то их разность
будет действительным числом. Если в разложении появится логарифм от комплексного числа, то его легко свести к арктангенсу.
Остановимся на интегралах вида
(6.183)
более подробно.
Вводя подстановку
, интеграл (6.183) можно представить как:
(6.184)
Рассмотрим несколько случаев значений показателей
и
и знака в знаменателе.
В знаменателе стоит знак «плюс».
Случай 1.
,
— чётный. При чётном
функция
имеет комплексно сопряжённые корни вида:
(6.185)
где
.
Следовательно, разложение имеет следующий вид:
(6.186)
где
— неизвестные коэффициенты.
Так как все корни (6.185) простые, то для нахождения коэффициентов
можно воспользоваться методом вычисления производной (см. Дополнение). По этому методу дробь
имеет разложение:
(6.187)
где все
— простые корни
.
Конкретно для нашего случая:
(6.188)
По формуле Муавра имеем:
(6.189)
Раскрывая скобки в аргументах тригонометрических функций и вычисляя их, получим:
(6.190)
Аналогично для
:
(6.191)
Таким образом,
(6.192)
-
![{\displaystyle +{\frac {1}{\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }}\cdot {\frac {1}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}{\Bigg ]}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471efc2e90948f45f0e4c025ada0f42d11c81204)
После несложных преобразований будем иметь следующее выражение:
(6.193)
В этом интеграле
, следовательно,
, значит можно воспользоваться формулой (6.67). Подставляя наши коэффициенты в эту формулу, после преобразований окончательно получаем, что при чётном
:
(6.194)
-

Случай 2.
— чётный,
. В этом случае формула (6.188) будет иметь вид:
(6.195)
Выполняя аналогичные преобразования, для коэффициентов
и
, в конечном итоге, будем иметь такие выражения:
(6.196)

Значит интеграл от дроби
будет иметь вид:
(6.197)
-

-

-
![{\displaystyle \times {\frac {1}{x-\left(\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi -i\sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi \right)}}{\Bigg ]}\,dx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d081f5f959a2ccdfcb3c6be08436ece4f1860c33)
-

-
![{\displaystyle -{\frac {2\sin {\dfrac {(2k+1)(m+1)}{n}}\pi \sin {\dfrac {2k+1}{n}}\pi }{x^{2}-2x\cos {\dfrac {2k+1}{n}}\pi +1}}{\Bigg ]}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2a1c8358dca6e649825016d8793f8fe70ab68f)
Теперь, если воспользоваться формулой (6.67), окончательно получим:
(6.198)
-

Как мы видим, формула (6.198) пригодна для
.
Случай 3.
,
— нечётный, тогда двучлен
имеет помимо комплексно сопряжённых корней ещё и действительный корень:
(6.199)
Разложение подынтегральной функции на простые дроби в этом случае будет:
(6.200)
где
— неизвестные коэффициенты.
Найдём коэффициенты:
(6.201)


Подставляя коэффициенты в (6.200) и интегрируя получившиеся дроби, получаем для нечётного
выражение, аналогичное (6.194):
(6.202)
-

Случай 4.
— нечётный,
. Производя уже известные преобразования, получаем следующую формулу:
(6.203)
-

Формулу (6.203) можно обобщить для
.
Теперь рассмотрим выражения (6.184), когда в знаменателе стоит знак «минус».
Случай 5.
— чётный,
. Двучлен
имеет следующий набор корней:
(6.204)
Разложение дроби
будет иметь вид:
(6.205)
где
— неизвестные коэффициенты, определяя которые и интегрируя после этого получившееся выражение, будет иметь:
(6.206)
-

Случай 6.
— нечётный,
. При нечётном
квадратуру интеграла легко получить из формулы (6.203), заменяя в ней
на
. В итоге получаем:
(6.207)
-

Фактически во всех этих случаях можно считать, что
, потому что при
интеграл берётся непосредственно:
(6.208)
Рассмотрим теперь интегралы вида:
(6.209)
где
.
Уже известная подстановка
позволяет перейти к интегралу вида:
(6.210)
Если
, получим интеграл:
(6.211)
Чтобы его вычислить, преобразуем его следующим образом:
(6.212)
Оба интеграла нам известны: первый — табличный, а второй мы можем найти по формуле (6.208):
(6.213)
Если
, то в интеграле (6.210) применим то же преобразование, что и в (6.212):
(6.214)
Интеграл в первом слагаемом равен:
(6.215)
Значит
(6.216)
Если
, то мы приходим к одному из интегралов вида (6.184); при
, последовательно применяя (6.216), снова приходим к случаю
или к интегралу (6.211).
Приступим теперь исследованию интегралов более общего вида, чем (6.183):
(6.217)
где
и
. Считаем, что
, в противном случае, имеем случай (6.183), описанный выше.
Интеграл (6.217) является частным случаем, так называемого, биномиального дифференциала (см. соответствующую главу). Этот интеграл обычно берётся интегрированием по частям, выбирая функции
и
таким образом, чтобы показатель
сводился к 1.
Если в выражении (6.217)
, то интеграл можно вычислить непосредственно занесением под дифференциал:
(6.218)
Если
, то применим интегрирование по частям, приняв, что
и
, тогда
, а
. Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям (4.42), получаем:
(6.219)
Повторяя эту процедуру для интеграла в правой части, в конечном итоге мы придём к интегралу вида:
(6.220)
который в зависимости от знака показателя
может иметь вид (6.183) или (6.209). Если
, то для интегралов вида (6.183) дополнительно потребуется выделить целую часть.
Если
, то мы имеем интеграл
(6.221)
где
и
. Тогда можно также воспользоваться следующим преобразованием. Найдём такое наименьшее натуральное число
, чтобы
и при этом, если
— чётное, тогда
, или, если
— нечётное, тогда
, делилось бы на
.
В первом случае мы можем применить следующее преобразование:
(6.222)
во втором:
(6.223)
Так как, по условию, мы подбирали
так, чтобы
или
делились на
нацело, то интегралы в первых слагаемых (6.222) и (6.223) будут интегралами от полиномов целых, положительных и отрицательных степеней
[случай (6.149)]. Вторые интегралы будут интегралами вида (6.183), так как
, а
— наименьшее число, удовлетворяющее этому условию, то, следовательно,
.
Пример 6.16. Найти интеграл:
(6.224)
Решение. Здесь мы имеем интеграл (6.217) при
. Воспользуемся формулой интегрирования по частям (6.219):
(6.225)
Для интеграла в правой части имеем
, подберём
, чтобы выполнялось неравенство
; наименьшим натуральным будет
. Это чётное число, следовательно имеет место преобразование (6.222):
(6.226)
Сократим в первом интеграле на
и почленно поделим на
:
(6.227)
Второй интеграл берётся заведением под дифференциал:
(6.228)
Объединяя найденные интегралы, получим ответ:
(6.229)
- ↑ Коэффициенты могут быть и рациональными, суть от этого не меняется, так как всегда можно домножить многочлен на некую постоянную величину, чтобы сделать его коэффициенты целочисленными.
- ↑ Не нарушая общности, можно считать, что коэффициент при старшей степени равен 1, потому что на него всегда можно поделить и учесть уже при интегрировании.
- ↑ Такая степень получается из того, что
имеет степень
; отношение
— степень
. Производная
также имеет степень
.
- ↑ Постоянный множитель
мы сделали частью неопределённых коэффициентов.
- ↑ Можно ещё объединить все логарифмы в один.
- ↑ По теореме о корнях производной многочлена производная
должна содержать те же корни, что и
, но меньшей кратности, а так как все корни
просты, то
и
вообще не будут содержать общих корней.
- ↑ Многочлены
и
имеют степень на единицу меньше, чем
и
соответственно, если степень многочлена
не превосходит суммарной степени
и
; в противном случае, эти степени могут быть равны или быть больше.