← Методы интегрирования | Интегрирование полиномиальных и рациональных функций
Содержание этой главы предполагает, что читатель знаком с основными результатами теории рациональных функций и знаком с методам разложения рациональной функции на простые дроби. Более подробно об этом можно прочитать в Дополнении.
Интегрирование многочленов[править]
Многочленом, или полиномом, от одной переменной
называется выражение вида:
(6.1)
где
— некоторые вещественные или комплексные постоянные. Число
— максимальная из степеней его одночленов — называется степенью многочлена.
Вычисление интеграла от многочлена
основано на свойстве линейности интеграла:
(6.2)
-

Пример 6.1. Найти интеграл
(6.3)
Решение. Используя свойства линейности интеграла, получим:
(6.4)
Пример 6.2. Найти интеграл
(6.5)
Решение. Раскроем скобки в подынтегральном выражении:
(6.6)
Теперь беря интегралы от каждого слагаемого, получим:
(6.7)
Пример 6.3. Найти интеграл
(6.8)
Решение. Здесь можно было поступить также, как и в примере 6.2, но проще сделать замену
, тогда
и выражение
преобразуется к виду
. Получаем:
(6.9)
Разобьём на два интеграла и проинтегрируем каждое слагаемое:
(6.10)
Возвращаясь к переменной
, у нас получается:
(6.11)
Интегрирование рациональных функций[править]
Вводные замечания[править]
Рациональной функцией от переменной
называется отношение двух полиномов:
(6.12)
где предполагается, что
. Многочлен
называется числителем дроби, а
— знаменателем. Можно считать, что многочлены
и
взаимно просты, в противном случае их можно сократить на их наибольший общий делитель (НОД).
Из теории рациональных функций известно, что если
, то рациональную функцию можно разбить на многочлен степени
и дробь, знаменатель которой равен знаменателю исходной дроби, а в числители стоит многочлен степени, меньшей
:
(6.13)
Далее, известно, что любой полином с комплексными коэффициентами на множестве комплексных чисел может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов:
(6.14)
где
— корень многочлена
-ой степени кратности (
);
;
— коэффициент при старшей степени
.
Поэтому в случае, если
, дробь
на множестве комплексных чисел можно представить в виде:
(6.15)
-

-

где
— некоторые в общем случае комплексные постоянные, которые можно найти, например, методом неопределённых коэффициентов или из других соображений.
В данном учебнике нас больше интересуют многочлены с действительными коэффициентами и действительными корнями. На множестве
разложение многочлена на неприводимые множители будет иметь несколько иной вид:
(6.16)
где
— действительные корни;
. Квадратные трёхчлены
не имеют действительных корней.
Если рассматривать разложение дроби на простейшие на
, то мы придём к следующей формуле:
(6.17)
-

-

-

где все коэффициенты
— действительные числа.
Рассмотрим пример на разложение дроби.
Пример 6.4 Разложить на простые дроби:
(6.18)
Решение. Как мы видим, степень числителя превосходит степень знаменателя, значит у дроби можно выделить целую часть, а затем получившуюся правильную дробь можно разложить на простые дроби. Но мы воспользуемся методом неопределённых коэффициентов и сразу получим интересующее нас разложение. Решая уравнение четвёртой степени методом подбора (можно воспользоваться методом Феррари), найдём корни знаменателя и разложим многочлен на неприводимые множители:
(6.19)
следовательно дробь (6.18) согласно (6.13) и (6.17) можно представить в виде:
(6.20)
Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим следующую систему относительно неизвестных коэффициентов
:
(6.21)
Решая систему линейных уравнений, найдём:
(6.22)
Подставим найденные коэффициенты в формулу (6.20):
(6.23)
Пример 6.5 Разложить на простые дроби:
(6.24)
Решение. Случай, когда
или
, нас не интересует, так как при этом двучлен будет неприводимым на множестве действительных чисел
. Рассмотрим случай, когда
.
Найдём корни уравнения
, переписав в виде
и воспользовавшись формулой Муавра для извлечения корня:
(6.25)
где
и
— действительные числа.
На множестве действительных чисел у многочлена с действительными коэффициентами помимо комплексного корня
имеется и его сопряжённый
, значит в разложении многочлена
на неприводимые можно выделить квадратичные трёхчлены вида:
(6.26)
(доказательство этого факта см. в Дополнении).
Если воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, получим, что
(6.27)
Известно, что у многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами имеется по крайней мере один действительный корень (в данном случае
), следовательно:
(6.28)
Значит выражение (6.24) имеет следующее разложение на простые дроби:
(6.29)
где

Теперь останется только методом неопределённых коэффициентов найти
,
и
.
Например, для
по формуле (6.29) в общем виде получаем:
(6.30)
После необходимых преобразований и решения системы относительно неизвестных коэффициентов будем иметь следующее разложение:
(6.31)
Для
:
(6.32)
или после соответствующих манипуляций:
(6.33)
Иногда при взятии интеграла от рациональной функции, нет нужды разбивать её на простейшие дроби, это, например, происходит, если числитель является производной знаменателя (или основания степенного выражения, стоящего в знаменателе) или если возможно сокращение числителя или знаменателя дроби.
Пример 6.6 Найти интеграл
(6.34)
Решение. Замечая, что числитель представляет собой производную основания степенного выражения, стоящего в знаменателе (только производная умножена на
), не разлагая на простейшие дроби, сразу же получаем:
(6.35)
-

Пример 6.7 Найти интеграл
(6.36)
Решение. Можно заметить, что числитель представляет собой куб разности:
(6.37)
Сократим дробь:
(6.38)
Теперь вычислить интеграл не составит труда:
(6.39)
Интегрирование простых дробей[править]
Как мы видели из предыдущего пункта, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию суммы простых дробей вида:
и
(6.40)
а в случае неправильной дроби ещё и к интегрированию многочлена (см. пункт «Интегрирование многочленов» этой главы).
Возьмём интеграл от дроби первого типа:
(6.41)
Исследуем интегралы от дробей второго типа. Сначала рассмотрим следующий интеграл:
(6.42)
где
;
, иначе мы бы имели в знаменателе линейный двучлен, интеграл от которого рассмотрен выше.
Постоянную
можно вынести за знак интеграла и получить в знаменателе приведённый квадратный трёхчлен:
(6.43)
где
.
Выделим в квадратном трёхчлена полный квадрат:
(6.44)
Исследуем выражение в зависимости от знака
. Если
, то можно написать, что
и интеграл (6.44) запишется в виде:
(6.45)
или возвращаясь к
:
(6.46)
Допустим теперь, что
, тогда
:
(6.47)
-

Если же
, то
(6.48)
Подведём итог:
(6.49)
Хочется отметить, что в случае
, дробь (6.42) не считается простой [так как может быть разложена на дроби вида (6.41)], но в образовательных целях здесь приведён её полный анализ.
Пример 6.8. Решить интеграл
(6.50)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.51)
Теперь можно взять интеграл:
(6.52)
Рассмотрим теперь интеграл вида:
(6.53)
где
.
Как и в случае интеграла (6.42) выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.53)
-

Будем считать, что
, иначе мы могли бы разложить дробь на простые. Сделаем замену
и обозначим
, тогда выражение (6.53) преобразуется к виду:
(6.54)
В примере 5.9 нами уже была получена рекуррентная формула для нахождения интеграла в зависимости от
. Покажем ещё один способ. Преобразуем правый интеграл в выражении (6.54) следующим образом:
(6.55)
В первом слагаемом после сокращения на
получается исходный интеграл только степени
; второе слагаемое можно вычислить взятием по частям:
(6.56)
-

Здесь мы снова пришли к интересующему нас интегралу, но в меньшей степени. Подставим найденные выражения в (6.55):
(6.57)
Приведём подобные:
(6.58)
Вернёмся снова к переменной
и коэффициентам
:
(6.59)
-

Проведя упрощения, окончательно получим:
(6.60)
Сейчас приступим непосредственно к рассмотрению интегралов вида:
(6.61)
где знаменатель не приводим на
.
Как и прежде дополним квадратный трёхчлен в знаменателе до полного квадрата:
(6.62)
Сделаем подстановку
. Так как
, введём обозначение
. Получаем:
(6.63)
Разобьём сумму на два интеграла:
(6.64)
Вычислим первый интеграл:
(6.65)
Второй интеграл табличный:
(6.66)
Подставляя два последних выражения в (6.64) и возвращаясь к переменной
и постоянным
и
, для интеграла (6.61) будем иметь следующее общее решение:
(6.67)
Рассмотрим интеграл вида:
(6.68)
где
.
Дополняя до полного квадрата и применяя подстановку
, как и в случае, описанном выше, интеграл можно разбить на два:
(6.69)
Для первого интеграла получаем:
(6.70)
Ко второму интегралу можно применить формулу приведения (6.58):
(6.71)
После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим следующую формулу:
(6.72)
Пример 6.9. Решить интеграл
(6.73)
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
(6.74)
Применим подстановку
:
(6.75)
Вычислим интеграл в первом слагаемом:
(6.76)
Для нахождения интеграла во втором слагаемом преобразуем его:
(6.77)
-

Первый интеграл в сумме является табличным:
(6.78)
Ко второму слагаемому применим интегрирование по частям:
(6.79)
-

Подставим найденные интегралы в (6.75):
(6.80)
-

Вернёмся к исходной переменной:
(6.81)
-

Как мы видели, при интегрировании дробей
исходный интеграл разбивался на два: содержащий переменную интегрирования в числителе и не содержащий. В методе, изложенном выше, это достигалось за счёт применения соответствующей подстановки. Укажем другой способ разбиения на слагаемые. Выражение, стоящее в числителе дроби, лишь значением коэффициентов отличается от производной трёхчлена в знаменателе. Этот факт является предпосылкой сведения выражения к такому виду, чтобы можно было воспользоваться методом заведения под дифференциал.
Итак, преобразуем интеграл (6.68):
(6.82)
-

Интегралом первого слагаемого в зависимости от показателя
может являться либо степенная функция, либо натуральный логарифм. Для второго слагаемого применимы методы, описанные при исследовании интеграла (6.53). Этим способом преобразования можно пользоваться и в том случае, когда
— рациональное число, главное чтобы интеграл
при данном показателе был интегрируем в квадратурах. Какой способ преобразований выбирать — дело вкуса, потому что всё равно в интегралах в конечном счёте приходится выделять полный квадрат.
Пример 6.10. Решить интеграл
(6.83)
Решение. Преобразуем интеграл к виду (6.82):
(6.84)
Теперь найти интеграл от первого слагаемого не составит труда:
(6.85)
Во втором слагаемом выделим полный квадрат:
(6.86)
-

В итоге имеем следующий ответ:
(6.87)
Метод Остроградского[править]
Как мы видели из предыдущих пунктов, результатом интегрирования любой рациональной функции может быть другая рациональная функция, логарифм или арктангенс, то есть может представлять собой линейную комбинацию алгебраической и трансцендентной функций. При этом из рассмотрения методов интегрирования простых дробей можно сделать вывод, что одни трансцендентные функции (логарифм и арктангенс) появляются только в том случае, когда знаменатель дроби имеет только простые нули, в противном случае, при наличие кратных нулей появляется ещё и алгебраическая часть.
Так как по теореме Абеля — Руффини уравнение со степенью, выше четвёртой, не разрешимо в радикалах, то разложение знаменателя на неприводимые множители сопряжено со значительными трудностями. Если все коэффициенты многочлена, стоящего в знаменатели дроби, целые[1], то существуют алгоритмы нахождения корней методом перебора делителей старшего и свободного члена. Этот процесс трудоёмкий, особенно если делителей очень много. Позднее появился так называемый полиномиальный LLL-алгоритм (алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса).
Из-за вычислительных трудностей хотелось бы иметь некий метод, позволяющий сразу получить разбиение исходной дроби на алгебраическую часть и трансцендентную без нахождения нулей знаменателя. Таким метод стал метод, предложенный М. В. Остроградским. В 1844 году он доказал следующую теорему.
Доказательство теоремы 6.1
Как уже известно, любой многочлен на

может быть представлен в виде
[2]:
(6.89)
где
— действительный корень кратности
(
);
(
) — неприводимый на множестве действительных чисел квадратный трёхчлен. Он представляет собой произведение двух комплексно сопряжённых корней многочлена
кратности
(
);

В разложении
на простые дроби каждому действительному корню
кратности
будут соответствовать слагаемые:
(6.90)
а каждой паре комплексно сопряжённых корней (соответственно, неприводимому квадратному трёхчлену) — слагаемые:
(6.91)
где все
— действительные постоянные.
При интегрировании от первых слагаемых в (6.90) и (6.91) согласно (6.41) (случай
) и (6.49) (при
) является трансцендентной функцией. Интегралы от каждой из всех последующих слагаемых (6.90) — правильная дробь, степень знаменателя которой на единицу меньше степени этой же дроби. Интеграл от каждого слагаемого, начиная со второго, в выражении (6.91) представляет собой сумму правильной рациональной дроби и арктангенса.
Объединим рациональные части интегралов от (6.90) и (6.91), в результате получим правильную рациональную дробь
(
), знаменатель которой
(6.92)
является многочленом степени
, где
.
Как уже сказано выше, трансцендентную часть интеграла от дроби
можно представить как алгебраическую сумму дробей вида:
и
,(6.93)
где
— константы.
Приведя эту сумму к общему знаменателю, получим правильную рациональную дробь
(
) со знаменателем
(6.94)
где
. Как мы видим, этот многочлен имеет только простые нули.
Из (6.92) и (6.94) следует, что
(6.95)
Таким образом мы доказали верность формулы (6.88).
Теперь покажем, что для нахождения

не обязательно знать нули знаменателя дроби

. По теореме о корнях производной многочлена (доказательство см. в Дополнении) следует, что

имеет те же корни, что и

, только их кратность на единицу меньше, а как мы видели из построения многочлена

, он и будет наибольшим общим делителем многочленов

и

, так как в него входят те же корни, что и в

, их степень на единицу меньше и при этом простые корни отсутствуют.
Итак, мы установили, что имеет место тождество (6.88). Многочлен
является наибольшим общим делителем многочленов
и
. Его можно получить, используя алгоритм последовательного деления, или алгоритм Евклида. Вычислить многочлен
также не составит труда. Значит остаётся только получить многочлены
и
. Для этого продифференцируем по
правую и левую части выражения (6.88):
(6.96)
Применим формулу производной от частного:
(6.97)
Разобьём дробь в правой части:
(6.98)
Домножим обе части равенства (6.98) на многочлен
:
(6.99)
Так как в первом слагаемом отношение
равно
, то первое слагаемое представляет собой многочлен. В последнем слагаемом мы также имеем многочлен, потому что
[это следует из равенства (6.95)]. Исследуем теперь второе слагаемое. Отношение
равно
:
(6.100)
Продифференцируем теперь равенство (6.95):
(6.101)
Выразим из (6.101)
и подставим в (6.100):
(6.102)
Снова разобьём на две дроби:
(6.103)
Дробь
является многочленом, потому что
как наибольший общий делитель многочленов
и
делит последний нацело.
Обобщая исследование правой части (6.99), можно записать следующее выражение:
(6.104)
где
(6.105)
многочлен степени
[3].
Теперь, воспользовавшись методом неопределённых коэффициентов, можно получить выражения для
и
. Интеграл
взять уже гораздо проще: в знаменателе будут только простые корни и, следовательно, можно воспользоваться специальным методом разложения, упрощающим вычисления (подробности см. в Дополнении).
Рассмотрим пример на применение метода Остроградского.
Пример 6.11. Найти интеграл:
(6.106)
Решение. Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом Остроградского. Здесь мы имеем
,
. Найдём производную от знаменателя:
(6.107)
Теперь найдём НОД
и
. Для этого «столбиком» разделим
на
, получим
как целую часть и
в остатке. Поделим теперь
на первый остаток, получим целую часть —
и второй остаток —
. Теперь поделим первый остаток на второй: целая часть —
и третий остаток —
. Поделив второй остаток на третий, получим только целую часть —
, следовательно, по алгоритму Евклида многочлен
(6.108)
является кубическим многочленом. Значит в трансцендентную часть входят логарифмы и арктангенс.
Поделив
на
, получим:
(6.109)
Таким образом, мы имеем всё, что нужно для определения коэффициентов у
и
, причём из-за того, что в трансцендентной части легко получить разложение на простые дроби, то в принципе
можно не искать, а сразу определять коэффициенты при простых дробях.
Итак, согласно (6.88) мы имеем[4]:
(6.110)
В свою очереди интеграл от трансцендентной части можно разбить на простые дроби с неизвестными коэффициентами:
(6.111)
Продифференцируем равенство (6.111):
(6.112)
-

-

Теперь умножим на
, раскроем скобки и приведём подобные. После этого приравняем коэффициенты при равных степенях, получим систему линейных уравнений относительно интересующих нас коэффициентов:
(6.112)
Решая это систему линейных уравнений, найдём:
(6.113)
Подставляя эти значения в (6.111), будем иметь:
(6.114)
-

Теперь можно взять интегралы в правой части известными методами:
(6.115)
-

Окончательно получим[5]:
(6.116)
-

Приведём теперь описание ещё одного метода выделения алгебраической части интеграла от правильной рациональной дроби. Этот метод был предложен Ш. Эрмитом (1822—1901).
Пусть
(
) — правильная рациональная дробь. Считаем, что дробь несократимая, то есть многочлены
и
взаимно простые. Также положим, что коэффициенты при старших степенях равны единице.
Вновь рассмотрим представление вещественного многочлена в виде произведения линейных полиномов:
(6.117)
где
— корень многочлена (если он кратный, то считаем его несколько раз).
Если перегруппировать в представлении (6.117) сомножители, то это выражение можно переписать так:
(6.118)
где
— многочлены, содержащие линейные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей. На множестве действительных чисел
эти многочлены могут содержать множители вида
, где
.
Значит дробь
можно представить в виде:
(6.119)
где многочлены
взаимно просты с
(
).
Докажем это.
Доказательство формулы (6.119)
Многочлены

и

взаимно просты, так как все они попарно взаимно просты, и произведение простых множителей также взаимно просто. Воспользуемся
соотношением Безу для этих полиномов. Так как полиномы взаимно просты, то имеет место следующее равенство:
(6.120)
где
— многочлены, степени которых меньше
и
соответственно. Для поиска этих многочленов можно использовать метод неопределённых коэффициентов.
Теперь поделим на
:
(6.121)
-

Многочлен
имеет степень, меньшую, чем у
, а
— меньшую, чем у
, при этом
и
взаимно просты, аналогично,
и
взаимно просты.
Применяя те же рассуждения к

и

, получим формулу (
6.119).
Из разложения (6.119) следует, что нам нужно научиться выделять рациональную часть у интегралов вида:
(6.122)
где степень
меньше степени
и они взаимно просты. Так как у многочлена
все корни различны, то он и его производная будут взаимно просты[6]. Если
, то интеграл берётся непосредственно разложением на простые дроби. Это легко сделать, потому что у
все корни простые. Исследуем случай, когда
.
Применим снова соотношение Безу к
и его производной
:
[7](6.123)
и подставим его в (6.122):
(6.124)
Проинтегрируем по частям для второе слагаемое, положив
и
, тогда
, а
. Подставив эти выражения в (6.124), будем иметь:
(6.125)
Объединяя первое и третье слагаемое в один интеграл, получим:
(6.126)
где
.
Если
, то к интегралу
можно снова применить описанный, выше метод. Продолжая дальше, мы в конечном итоге получим:
(6.127)
где
— рациональная функция,
— многочлен, степень которого меньше степени
, при этом он может быть и не взаимно простым с
. Интеграл в правой части вычислить уже легче, так как он содержит только простые корни.
Рассмотрим теперь пример.
Пример 6.12. Найти интеграл:
(6.128)
Решение. В соответствии с методом Эрмита представим знаменатель дроби в виде:
(6.129)
где
.
Значит, подынтегральное выражение можно разбить на две дроби:
(6.130)
Методом неопределённых коэффициентов найдём:
(6.131)
Итак, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух:
(6.132)
-
![{\displaystyle {\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{x-2}}-{\frac {1}{9}}\int {\frac {x^{5}-9x^{4}-326x^{3}+1\,458x^{2}-2\,179x+271}{[(x+1)(x^{2}-2x+5)]^{2}}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c380cede270329bc185277c8b642b6a9b889f731)
Первое слагаемое легко интегрируется:
(6.133)
Для второго интеграла будем использовать метод Эрмита. Найдём производную многочлена
:
(6.134)
Подберём два таких многочлена, чтобы выполнялось соотношение Безу (6.123):
(6.135)

Так как степень многочлена, стоящего справа выше стоящего слева, то для определения неизвестных коэффициентов мы получаем переопределённую систему линейных уравнений, чтобы это исправить разделим многочлен
на произведение
, в результате получим, что
можно записать как:
(6.136)

Рассмотрим теперь новое соотношение:
(6.137)
где
— новые многочлен с неизвестными коэффициентами.
Таким образом, мы пришли к линейной системе, где количество неизвестных равно количеству уравнений, относительно этих неизвестных.
Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующую систему линейных уравнений:
(6.138)
Решением системы будут следующие коэффициенты: