Доказательство от противного

Доказательство «от противного» (Шаблон:Lang-lat), или апагогическое косвенное доказательство, — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому.

Схема доказательства

Схемой доказательства от противного называют схему:

${\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B}}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {A}}}.$

Она формализует метод доказательства от противного.

Доказательство утверждения ${\mathcal {A}}$ проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение ${\mathcal {A}}$ неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение ${\mathcal {B}}$, которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если ${\mathcal {B}}$ ложно, то формула ${\mathcal {\neg A\Rightarrow B}}$ истинна тогда и только тогда, когда ${\mathcal {\neg A}}$ ложно, следовательно утверждение ${\mathcal {A}}$ истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение ${\mathcal {\neg \neg A}}$, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению ${\mathcal {A}}$.

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего.

Замечание. Данная схема похожа на другую — на схему доказательства приведением к нелепости. В связи с этим их часто путают. Однако несмотря на некоторое сходство, они имеют разную форму. Причём различаются они не только по форме, но и по существу, и различие это носит принципиальный характер.

Сопоставление методов доказательства от противного и приведением к нелепости

Идея необходимости различать эти методы в преподавании математики принадлежит Феликсу Александровичу Кабакову (1927–2008), который проводил эту идею в жизнь на протяжении сорока лет работы на математическом факультете МПГУ.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Перейдём к сопоставлению соответствующих методов доказательств.

Метод доказательства от противного принято считать известным методом доказательства, однако часто термин «доказательство от противного» используется в разных смыслах и применительно к разным методам доказательства. Чаще всего метод доказательства от противного путают с методом доказательства приведением к нелепости.

Буквами ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ будем обозначать произвольные предложения, а буквой ${\text{Г}}$ — произвольные конечные множества предложений. Будем использовать запись ${\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}$ для обозначения того факта, что предложение ${\mathcal {A}}$ обосновано (доказано), исходя из предложений ${\text{Г}}$, или ${\mathcal {A}}$ логически следует из ${\text{Г}}$. Отношение $\Rightarrow$ между множествами предложений и предложениями будем называть отношением логического следования.

Метод доказательства от противного заключается в следующем. Пусть требуется доказать предложение ${\mathcal {A}}$, исходя из некоторых предложений ${\text{Г}}$ (это могут быть ранее доказанные теоремы, аксиомы или допущения). Допускаем, что ${\mathcal {A}}$ неверно, т. е. допускаем ${\mathcal {\neg A}}$, и путём рассуждений, исходя из ${\text{Г}}$ и ${\mathcal {\neg A}}$, выводим противоречие, т. е. предложение ${\mathcal {B}}$ и его отрицание ${\mathcal {\neg B}}$. После этого мы заключаем, что допущение неверно, а значит, верно предложение ${\mathcal {A}}$. Наше рассуждение можно описать с помощью следующей неформальной схемы рассуждений:

${\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}}}.$

Именно эту схему следует называть схемой доказательства от противного.

Ситуация меняется, когда нужно опровергнуть предложение ${\mathcal {A}}$, другими словами, когда предложение, которое требуется доказать, имеет вид ${\mathcal {\neg A}}$ (не ${\mathcal {A}}$), т. е. является отрицательным предложением.

Например, такой вид имеет предложение: «Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2». Доказывается оно выведением противоречия из допущения, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2.

Итак, для того чтобы доказать отрицательное утверждение ${\mathcal {\neg A}}$, допускаем, что имеет место ${\mathcal {A}}$, и выводим из этого некоторое противоречие: ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {\neg B}}$. Неформальная схема, описывающая такой ход рассуждений, выглядит так:

${\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {\neg A}}}}.$

Эту неформальную схему рассуждений принято называть схемой доказательства приведением к нелепости или приведением к абсурду (от лат. reductio ad absurdum).

К сожалению, обычно в практике преподавания не различают эти две схемы, два способа доказательства, чаще всего называя и тот и другой доказательством от противного.

Остановимся на причинах того, почему всё же следует различать эти схемы.

Во-первых, очевидно, что эти схемы отличаются чисто графически, а значит, рассуждения по этим схемам различаются по форме. Различия такого же характера, т. е. по крайней мере по форме, имеются между предложениями ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {\neg {\neg A}}}$ (или между предложениями ${\mathcal {A\rightarrow B}}$ и ${\mathcal {\neg A}}\vee {\mathcal {B}}$). Даже если, находясь на классических позициях, мы считаем, что эти утверждения равносильны, то всё равно факт различия по форме является очевидным.

Однако такое различие может кому-то показаться недостаточным, неубедительным для того, чтобы затевать весь этот разговор. Естественно, возникают вопросы: не равносильны ли эти схемы; в чём выражается различие между ними в практике математических доказательств; это различие лишь по форме или также по существу?

Ответить на первый вопрос: «Равносильны ли схемы contradictio in contrarium и reductio ad absurdum?» можно на неформальном уровне, не переходя на путь построения формальной логической системы. Связь между данными схемами устанавливается следующим утверждением.

❗УТВЕРЖДЕНИЕ. Схема доказательства от противного

${\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}}}$

равносильна совокупности двух систем:

доказательства приведением к нелепости ${\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {\neg A}}}}$

и снятия двойного отрицания ${\mathcal {\neg {\neg {A}}}}\Rightarrow {\mathcal {A}}.$

Доказательство этого утверждения можно найти в книге .

Доказывая методом от противного, мы используем более сильные логические средства, чем когда доказываем приведением к нелепости. Это вызвано тем, что доказательство от противного существенно опирается на правило снятия двойного отрицания, а доказательство приведением к нелепости — нет. Именно благодаря этому обстоятельству различие между схемами contradictio in contrarium и reductio ad absurdum — это различие не только по форме, но и по существу. Более того, это различие тесно связано с некоторыми проблемами оснований математики.

Дело в том, что такие логические законы, как закон исключённого третьего ${\mathcal {A\vee \neg A}}$, закон снятия двойного отрицания ${\mathcal {\neg \neg A\supset A}}$, схема

${\dfrac {{\text{Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ и Г}},{\mathcal {\neg A}}\Rightarrow {\mathcal {\neg B}}}{{\text{Г}}\Rightarrow {\mathcal {A}}}}$

доказательства от противного, приводят к неэффективным конструкциям и доказательствам в математике. В первую очередь это относится к доказательствам так называемых теорем существования, т. е. теорем вида: «Существует $x$ такой, что ${\mathcal {P}}\left(x\right)$»: $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$, где ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ — некоторое свойство ${\mathcal {P}}$, которое выполняется для $x$, причём $x$ пробегает некоторое множество известных объектов (чисел, формул, множеств формул, и т. п.).

Эффективным доказательством теоремы вида $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ называется построение объекта $x$ (или способа, позволяющего построить этот объект) и доказательство того, что этот объект действительно обладает требуемым свойством ${\mathcal {P}}$. Доказательство теоремы существования, не удовлетворяющее этим условиям, считают неэффективным.

Типичным неэффективным доказательством теоремы существования является доказательство методом от противного. Действительно, пусть требуется доказать утверждение вида $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ — «существует объект $x$, обладающий свойством ${\mathcal {P}}$». Допустим, что $\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}$. Путём рассуждений получаем некоторое противоречие: ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {\neg B}}$. Отсюда, в силу схемы reductio ad absurdum, делаем вывод, что допущение неверно, т. е. $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$. Далее, снимая двойное отрицание, получим $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ и считаем доказательство завершённым. Однако такое доказательство не завершается построением хотя бы одного объекта с требуемым свойством, оно нисколько не приближает нас к построению примера такого $x$, что ${\mathcal {P}}\left(x\right)$, т. е. является неэффективным доказательством.

Примерами доказательств такого вида служат доказательства теорем: теоремы об ограниченности непрерывной на отрезке функции (т. е. о существовании верней и нижней границ непрерывной на отрезке функции); теоремы о существовании наибольшего и наименьшего значений у непрерывной на отрезке функции. Традиционное доказательство этих теорем методом от противного не содержит конструкции, позволяющей построить объект, о существовании которого идёт речь в теореме.

Неэффективные доказательства теорем существования признаются не всеми математиками. Для математиков, стоящих на традиционных классических позициях, характерным является признание без всяких ограничений закона исключённого третьего ${\mathcal {A\vee \neg A}}$ и закона снятия двойного отрицания ${\mathcal {\neg \neg A\supset A}}$. Они пренебрегают различиями между утверждениями $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ и $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$. Математики, не придерживающиеся классических взглядов (интуиционисты и конструктивисты), отрицают универсальность этих законов. Различия между утверждениями $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ и $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$ такие математики признают весьма существенными, считая утверждение $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)}}$, вообще говоря, более слабым, чем $\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$. Доказательство от противного, с их точки зрения, также является неприемлемым, поскольку оно опирается на принцип снятия двойного отрицания.

Таким образом, различие между схемами contradictio in contrarium и reductio ad absurdum носит методологический характер, затрагивая проблему разного понимания утверждений о существовании в математике, а также связанные с эти другие проблемы оснований математики.

Рассмотрим доказательство, в котором используется метод доказательства от противного

Пусть прямая $p$ является касательной к окружности с центром $O$, $A$ — точка касания. Докажем, что касательная $p$ перпендикулярна радиусу $OA$.

▷ Допустим, что касательная $p$ не перпендикулярна радиусу $OA$. {Тогда радиус $OA$ является наклонной к прямой $p$. Так как перпендикуляр, проведённый из точки к прямой $p$, меньше наклонной $OA$, то расстояние от точки $O$ до прямой $p$ меньше радиуса окружности. Известно, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса этой окружности, то прямая и окружность имеют две различные общие точки. Отсюда получаем, что прямая $p$ и окружность имеют две различные общие точки. Следовательно, прямая $p$ не является касательной к окружности с центром $O$.} Получили противоречие с условием: $p$ является касательной к окружности с центром $O$. Тем самым доказано, что прямая $p$ перпендикулярна радиусу $OA$. ◀

Это доказательство построено в соответствии со схемой ${\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B}}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {A}}}$. В качестве ${\mathcal {A}}$ выступает предложение «Касательная $p$ к окружности с центром $O$ перпендикулярна радиусу $OA$, проведённому в точку касания $A$», в качестве ${\mathcal {B}}$ — «Прямая $p$ является касательной к окружности с центром $O$». Вспомогательное рассуждение ${\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B}}\end{matrix}}$ в этом доказательстве вырождается в одно предложение — предложение ${\mathcal {B}}$. Вспомогательное рассуждение ${\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}$ заключено в фигурные скобки.

Примеры

В математике

Доказательство иррациональности числа ${\sqrt {2}}$.

Допустим противное: число ${\sqrt {2}}$ рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби ${\frac {m}{n}}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ $\Rightarrow$ $2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}$, откуда $m^{2}=2n^{2}$.

Отсюда следует, что $m^{2}$ чётно, значит, чётно и $m$; следовательно, $m^{2}$ делится на 4, а значит, $n^{2}$ и $n$ тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби ${\frac {m}{n}}$. Значит, исходное предположение было неверным, и ${\sqrt {2}}$ — иррациональное число.

В повседневной жизни

Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа».

Литература

• Шаблон:Публикация

См. также

• Приведение к абсурду (апагогия)
• Метод бесконечного спуска