Scilab/Практикум. Часть 1

В данном разделе будут представлены конкретные примеры и способы их решения в среде Scilab. Целью данного раздела является закрепление уже накопленных вами знаний, а также попутное изучение возможностей среды.

Практически для всех тривиальных задач в системе заготовлены стандартные функции. Перед тем, как мы начнем их разбирать, возьмите за правило:

Если в системе существует функция, которая реализует по крайней мере часть задачи, которую вы решаете, всегда используйте эту функцию и не прибегайте к программированию.

Дело в том, что все функции, входящие в стандартную комплектацию, тестируются разработчиками и оптимизированы под среду. В этом случае любой ваш программируемый алгоритм будет всегда менее эффективен по скорости, чем уже готовый. Хотя возможно это и не всегда так, но поверьте, что затраты времени на «придумывание велосипеда» в большинстве случаев не окупаются.

Простые выражения

Для начала попробуем повычислять простые выражения.

Пример 1
Вычислить

$\sin {\left({\frac {5\cdot 6{\sqrt {94-56}}+6{\sqrt {291+2}}}{6\cdot 41,25^{2}\cdot {\sqrt {25\cdot 26+1}}}}\right)}^{\lg {36,25}+\ln {34,25}}.$

Данное выражение является сложным и требует предварительного разбора. Конечно, можно ввести данное выражение одной строкой в командное окно, но в данном примере мы вычислим его по частям для лучшего понимания материала.

Для начала необходимо определиться с очередностью выполняемых действий. При несложном разборе очередность такова:

1. Рассчитать числитель дроби функции синуса;
2. Рассчитать знаменатель дроби функции синуса;
3. Числитель поделить на знаменатель;
4. Найти синус от результата 3;
5. Рассчитать выражение степени;
6. Возвести результат 4 в степень результата 5.

Описанный алгоритм отражает следующий листинг

-->5*6*sqrt(94-56)+6*sqrt(291+2); // Вычисляем числитель
-->ans/(6*41.25^2*sqrt(25*26+1)); //Вычисляем знаменатель
-->sin(ans); // Вычисляем синус
-->ans^(log10(36.25)+log(34.25)) // Возводим в степень
 ans  =
    8.715D-16

Обратите внимание на то, что мы используем для хранения промежуточных результатов переменную ans. В этом примере исходный алгоритм немного облегчен, так, в 4 строке листинга мы объединили пункты 4 и 5.

В этом примере мы использовали две новые функции:

• log10() — вычисляет десятичный логарифм;
• log() — вычисляет натуральный логарифм.

В среде нет функции, которая реализует логарифм по произвольному основанию, но это не является проблемой. По свойству логарифма

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}},$

тогда, например, логарифм 4 по основанию 2 можно вычислить так

-->log10(4)/log10(2) // через десятичный логарифм
 ans  =
    2.  
-->log(4)/log(2) // через натуральный логарифм
 ans  =
    2.

Стоит упомянуть, что в среде есть также встроенная функция для вычисления логарифмов по основанию 2 — log2().

Пример 2<br\> Вычислить<br\>

${\frac {log_{6}4+log_{7}9}{log_{4^{-1}}32\cdot log_{5}500}}.$

В примере мы вновь возвращаемся к проблеме вычисления логарифма по произвольному основанию, однако применение свойства в данном случае напрямую серьезно усложнит само выражение. В данном случае рациональнее всего объявить собственную функцию, которая бы вычисляла логарифмы при любом основании.

Воспользуемся свойством логарифма и объявим функцию logn().

-->deff('out=logn(m,n)','out=log10(m)/log10(n)')
// Имея теперь функцию, легко записать исходное выражение
-->(logn(4,6)+logn(9,7))/(logn(32,4^-1)*logn(500,5))
 ans  =
  - 0.1971180

Алгебра

В рамках данного раздела мы рассмотрим способы решения самых распространенных задач алгебры.

Решение алгебраических уравнений

Найти корни уравнения

$2x^{3}-8x^{2}-7x+21=0.$

Ранее мы решали подобную задачу. Напомним, что для решения линейных уравнений в среде имеется функция roots(), которая принимает в качестве аргумента объект полином. Практически все действия выполняет за вас среда, необходимо только объявить полином. Напомним, что полином объявляется функцией poly(). В нашем случае полином составляется из коэффициентов, которые нужно переписать в обратном порядке.

-->p=poly([21 -7 -8 2],'x','c')
 p  =
                2    3  
    21 - 7x - 8x + 2x   
-->roots(p)
 ans  =
    4.2415355  
  - 1.6987739  
    1.4572384

Функция roots() имеет флаг, определеяющий используемый алгоритм:

• 'f' — расчет по алгоритму Дженкинса-Трауба (RPOLY-алгоритм); используется по умолчанию;
• 'e' — расчет через собственные вектора сопровождающих матриц.

RPOLY-алгоритм используется главным образом для поиска действительных и комплексных корней с порядком полинома, не превышающем 100. Второй алгоритм существует как альтернатива ему. В большинстве случаев RPOLY-алгоритма достаточно для решения многих задач, поэтому пользоваться флагом приходится редко.

Для примера, найдем корни следующего полинома по второму алгоритму

$x^{3}+0,4x^{2}+0,6x-1=0.$

-->roots(poly([-1 0.6 0.4 1],'x','c'),'e')
 ans  =
  - 0.5576818 + 1.0425361i  
  - 0.5576818 - 1.0425361i  
    0.7153636

Решение трансцендентных уравнений

Трансцендентные уравнения решаются преимущественно численными методами. Обычно этот процесс заключается в выборе интервала, в который попадает по крайней мере один корень уравнения, а затем производится численное приближение к этому корню.

В Scilab определена всего одна функция для решения трансцендентных уравнений fsolve(). Если возможности этой функции по какой-либо причине не устраивают, то обычно пишут собственную функцию, реализующую некоторый численный метод.

Найти корни

$e^{x}/10-2(x-1)^{2}-{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=0.$

// Объявляем функцию
-->deff('y=f(x)','y=exp(x)/10-2*(x-1)^2-x^(2/3)')
//Вызываем функцию
-->fsolve(6,f)
 ans  =
    6.4401965

Для решения трансцендентных уравнений необходимо правильно выбирать приближение, для чего требуется представлять левую часть уравнения как функцию и строить график. Если начальное приближение очень далеко от корня, то нет гарантии, что функция fsolve() найдет решение.