Язык Си в примерах/Треугольник Паскаля

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к: навигация, поиск

Язык Си в примерах


  1. Компиляция программ
  2. Простейшая программа «Hello World»
  3. Учимся складывать
  4. Максимум
  5. Таблица умножения
  6. ASCII коды символов
  7. Верхний регистр
  8. Скобочки
  9. Факториал
  10. Степень числа
  11. Треугольник Паскаля
  12. Корень уравнения
  13. Система счисления
  14. Сортировка
  15. Библиотека complex
  16. Сортировка на основе qsort
  17. RPN калькулятор
  18. RPN калькулятор на Bison
  19. Простая грамматика
  20. Задача «Расчёт сопротивления схемы»
  21. Простая реализация конечного автомата
  22. Использование аргументов командной строки
  23. Чтение и печать без использования stdio
  24. Декодирование звукозаписи в формате ADX

Всем известны простые формулы

А как находить коэффициенты в разложении ?

Рассмотрим следующую таблицу:

Pascal.png

То, что нарисовано справа, называется треугольником Паскаля — в n-й строчке этого треугольника находятся коэффициенты для разложения .

Число номер в n-й строчке называется биномиальным коэффициентом .

Например,

Стороны треугольника Паскаля состоят из единичек. Каждое число внутри треугольника Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним справа и слева в предыдущей строчке:

Эти числа возникают в задаче о числе сочетаний:  — это число способов выбрать k элементов из n различных. Например, число байт, в которых ровно 3 единицы — это число  — число способов выбрать три бита, в которых будут стоять единицы, из восьми бит байта.

Докажите, что

Рассмотрим две программы, которые решают следующие задачи:

  1. Запрограммировать функцию .
  2. Вывести на экран n строчек треугольника Паскаля.
/*
   Вычисление биномиальных коэффициентов.
 */
#include <stdio.h>

long
C (long n, long k)
{
  if (k == 0 || n == k)
    return 1;
  return C (n - 1, k - 1) + C (n - 1, k);
}

int
main ()
{
  long n, k;
  scanf ("%ld%ld", &n, &k);
  printf ("%ld ", C (n, k));
  return 0;
}
  • Сколько раз вызовется функция C(., .) при вычислении С(n, k)?
  • Докажите, что время вычисления по приведенному алгоритму пропорционально .
  • Оцените ассимптотику , а именно, напишите программу, которая вычисляет для и нарисуйте график

от .

/*
    Вычисление n-й строки треугольника Паскаля.
*/
#include <stdio.h>
#define N 1000

int
main ()
{
  long c[N];
  long n, i, j;
  scanf ("%ld", &n);
  for (i = 1; i <= n; i++)
    c[i] = 0;
  c[0] = 1;
  for (j = 1; j <= n; j++)
    for (i = j; i >= 1; i--)
      c[i] = c[i - 1] + c[i];
  for (i = 0; i <= n; i++)
    printf ("%ld ", c[i]);
  return 0;
}
  • Докажите, что указанный алгоритм вычисления n-й строчки треугольника Паскаля

работает быстрее, чем алгоритм вычисления из предыдущей программы, а именно время работы пропорционально .

  • Начиная с какого n самое большое число из n-й строчки треугольника Паскаля не умещается в тип long?

Еще один вариант реализации вычисления Биномиального коэффициента из общей формулы (без рекурсии):

/*
  Вычисление биномиальных коэффициентов
*/
#include <assert.h>
#include <stdio.h>

int
binomial (int row, int pos)
{
  int koef = 1;
  int i;
  for (i = pos + 1; i <= row; i++)
    koef = koef * i;
  for (i = 1; i < (row - pos + 1); i++)
    koef = koef / i;
  return koef;
}

int
main (void)
{
  int row, pos;
  int r = scanf ("%i%i", &row, &pos);
  assert (r == 2);
  printf ("%i", binomial (row, pos));
  return 0;
}

Если посмотреть на Треугольник Паскаля, то можно заметить симметрию. Если исходить из нее и общей формулы , то можно еще немного улучшить алгоритм (уменьшив число проходов) из кода выше сокращая числитель на больщий элемент знаменателя:

/*
  Вычисление биномиальных коэффициентов
*/
#include <assert.h>
#include <stdio.h>

int
binomial (int row, int pos)
{
  int koef = 1;
  int i;
  if (row - pos > pos)
    pos = row - pos;
  for (i = pos + 1; i <= row; i++)
    koef = koef * i;
  for (i = 1; i < (row - pos + 1); i++)
    koef = koef / i;
  return koef;
}

int
main (void)
{
  int row, pos;
  int r = scanf ("%i%i", &row, &pos);
  assert (r == 2);
  printf ("%i", binomial (row, pos));
  return 0;
}

Стоит учитывать, что в реализованных примерах нет защиты от дурака (переполнение значения переменной).