Физика в конспектах

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта книга пишется как полноценный и самозавершённый курс физики. Лекции в основном составлены по статьям Cвободной энциклопедии, а также на материалах лекций лицея 1511 при МИФИ (за 10 класс). Цель данной книги — помочь ученикам школ и студентам вузов.

Фи́зика (от греч. φύσις — природа) — область естествознания, наука, изучающая наиболее общие и фундаментальные закономерности, определяющие структуру и эволюцию материального мира.

Предмет физики[править]

Физика — это наука о природе в самом общем смысле. Она изучает вещество (материю) и энергию, а также фундаментальные взаимодействия природы, управляющие движением материи.

Некоторые свойства являются общими для всех материальных систем, например, сохранение энергии — такие свойства называют физическими законами. Физику иногда называют «фундаментальной наукой», поскольку другие естественные науки (биология, геология, химия и др.) описывают только некоторый класс материальных систем, подчиняющихся законам физики. Например, химия изучает молекулы и образованные из них химические вещества. Химические же свойства вещества однозначно определяются физическими свойствами атомов и молекул, которых описываются в таких разделах физики, как термодинамика, электромагнетизм и квантовая физика.

Физика тесно связана с математикой — математика предоставляет аппарат, с помощью которого физические законы могут быть точно сформулированы. Физические теории почти всегда формулируются в виде математических выражений, причём используются более сложные разделы математики, чем обычно в других науках. И наоборот, развитие многих областей математики стимулировалось потребностями физических теорий (см. математическая физика).

Механика[править]

Меха́ника (из греческого μηχανική, от μηχανή — «машина, прибор») — это раздел физики, изучающий механическое движение, то есть движение тел в пространстве и времени. Механика Ньютона изучает не слишком быстрое движение макроскопических тел, то есть скорости много меньше скорости света и тел, больших размера атома.

Векторы[править]

Вектор — это математический объект, характеризующийся величиной, направлением и складывающийся по правилу параллелограмма. Вектор можно переносить параллельно себе в любую точку пространства.

Операции над векторами[править]

Сложение векторов[править]

Сложение двух векторов происходит по правилу параллелограмма (треугольника). Пусть вектор и . Тогда называют суммой векторов:

Умножение вектора на число[править]

Пусть дан не нулевой вектор и действительное не равное нулю число . Произведением называют такой вектор , что

  1. модуль вектора , если и , если
  2. вектора коллинеарны ( — лежат на параллельных прямых);
  3. вектора сонаправлены, если и противоположно направлены , если .

Скалярное произведение[править]

Скалярным произведением или ненулевых векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Если модуль хотя бы одного вектора в скалярном произведении равен нулю, все произведение равно нулю.

Если для двух векторов a и b определены декартовые прямоугольные координаты

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, то есть

Векторное произведение[править]

Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор , такой что модуль этого вектора равен произведению модулей векторов на синус угла между ними:

где  — угол между векторами и . Если модуль хотябы одного вектора в векторном произведении равен нулю, модуль всего произведения равен нулю. Это важное дополнение, так как угол между нулевым и ненулевым вектором мы определить не можем.

Направление вектора выбирается или по правилу правого винта или через правую тройку векторов.

Правило правого винта[править]

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые вектора, и направлен от нас, если вращение от первого вектора ко второму по кратчайшему растоянию происходит по часовой стрелке, и направлен на нас, если вращение происходит против часовой стрелки. Таким образом:

Правая тройка векторов[править]

Три вектора называются упорядоченной тройкой (правой или левой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Если известны координаты векторов в ортогональной системе координат, то векторное произведение можно найти из определителя третьего порядка.

Определитель[править]

Если два вектора и определены своими прямоугольными координатами:

то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя :

Кинематика[править]

Кинема́тика (от греч. κινέω «двигаю») — это раздел механики, изучающий механическое движение без анализа причин его вызывающих.

Основная задача кинематики: получение зависимости от времени координат (радиус-векторов) всех материальных точек исходя из того, что определены их начальные условия и ускорения в любой момент времени .

Механи́ческое движе́ние — простейшая форма движения тел, заключающаяся в изменении с течением времени положения одних тел относительно других, либо положения частей тела друг относительно друга. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

Основные понятия[править]

Тело отсчета —
это тело, относительно которого рассматривается движение исследуемого тела,
Система отсчета —
это тело отсчета, связанная с ним система координат и синхронизированные между собой часы,
Радиус-вектор —
это вектор, соединяющий начало координат с точкой расположения тела в данный момент времени,

Радиус-вектор и его производные[править]

Радиус-вектор материальной точки указывает на её положение по отношению к точке, связанной с телом отсчета, которая обычно называется началом координат, и обозначается . Итак, радиусом-вектором называется вектор , соединяющий начало координат с телом. В общем случае, материальная точка движется, поэтому является функцией от времени (то есть ). Скорость изменения положения со временем, определяется так:

Ускорение, или скорость изменения скорости, это:

Вектор ускорения может меняться за счет изменения его направления, величины, или и того и другого. Если скорость уменьшается, иногда пользуются термином «замедление», но вообще, термин «ускорение» относится к любому изменению скорости.

Нам понадобятся еще несколько определений:

Траектория —
это линия, которую описывает тело (центр масс) в процессе своего движения,
Физическая величина —
это величина, допускающая количественное описание. Физические величины бывают векторные и скалярные,
Путь —
это скалярная физическая величина, равная длине траектории, описываемой телом за рассматриваемый промежуток времени. Чаще всего обозначается как , и в системе СИ измеряется в метрах,
Перемещение —
это векторная физическая величина, соединяющая начальное и конечное положение тела за рассматриваемый промежуток времени. Модуль перемещения меньше или равен длине пути,

Скорость[править]

Скорость —
это векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка.

Заметим, что вовсе не должно быть бесконечно малым.

Средняя путевая скорость —
это скалярная физическая величина, равная отношению пути, пройденного телом за рассматриваемый интервал времени к величине этого интервала. Здесь скорость считается уже от пройденного пути, а не от перемещения.
Мгновенная скорость —
это векторная физическая величина, равная пределу средней скорости при неограниченном уменьшении рассматриваемого интервала времени.

Мгновенная скорость — первая производная от радиуса-вектора по времени, она всегда направлена по касательной к траектории движения тела в данной точке.

Скорость в координатном представлении:

Ускорение[править]

Ускорение —
это векторная физическая величина, равная отношению приращения скорости тела за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка.
Мгновенное ускорение —
это векторная физическая величина, равная пределу среднего ускорения при неограниченном уменьшении рассматриваемого интервала времени.

Мгновенное ускорение — это вторая производная от радиуса-вектора по времени.

Ускорение в координатном представлении:

Преобразования Галилея[править]

Преобразования Галилея — в классической механике (механике Ньютона)это преобразования координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой.

Где:

  •  — средняя скорость тела A относительно системы k' ;
  •  — средняя скорость тела А относительно системы k;
  •  — средняя скорость системы k' относительно системы k.

Если то средние скорости совпадают с мгновенными:

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую:

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, те то ускорение тела относительно обеих систем отсчета одинаково, — принцип относительности Галилея.

Прямолинейное, равноускоренное и равномерное движение[править]

Пусть движение некоторого тела описывается функцией радиус-вектора от времени, меняющейся по следующему закону:

При неограниченном уменьшении промежутка времени средняя скорость , которую мы нашли, совпадает с мгновенной скоростью:

Таким образом, рассмотренная зависимость радиус-вектора соответствует механическому движению с постоянным ускорением, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени получают равные приращения. Такое движение называется равноускоренным и описывается в общем виде следующей системой уравнений.

Где  — начальные условия.

Криволинейное движение[править]

Для описания криволинейного движения введем дополнительный единичный вектор , сонаправленный скорости. Тогда скорость в момент :

Отсюда,

Причем  — все тот же единичный вектор.

Отсюда следует:


Делим на

При последний элемент уравнения и тогда все уравнение принимает вид:

Где:

  •  — нормальное ускорение (перпендикулярно скорости)
  •  — тангенциальное ускорение (параллельно скорости)

Тогда:

Нормальное ускорение[править]

Теперь давайте найдем формулу для нормального ускорения, то есть ускорения при движении по кругу.

Динамика[править]

Дина́мика (от греч. δύναμις «сила») — раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения. Динамика оперирует такими понятиями, как масса, сила, импульс, энергия.

Ма́сса —
скалярная физическая величина, являющаяся количественной мерой инертности тела, а также характеризующая количество вещества,
Си́ла —
векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия тел и приводящая к появлению у тела ускорения или к деформации тела. Сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения,
Линия действия силы —
это линия, вдоль которой действуют силы. Если тело является абсолютно твердым, то точку приложения силы можно перемещать вдоль линии действия силы в пределах тела.
Импульс —
векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: ,
Энергия —
характеристика движения и взаимодействия тел, их способность совершать изменения во внешнем мире. Часто можно встретить упрощённое определение энергии как способности тела совершать работу. Будучи удобным в классической механике, такое определение, тем не менее, не вполне точно, так как не всегда всю энергию можно перевести в механическую работу (см. второе начало термодинамики),

Масса[править]

Под массой в динамике понимают два различных свойства вещества:

  • инертная масса, которая характеризует меру инертности тел и участвует во втором законе Ньютона,
  • гравитационная масса, которая определяет, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями (пассивная гравитационная масса) и какое гравитационное поле создаёт само это тело (активная гравитационная масса).

Как установлено экспериментально, эти две массы пропорциональны друг другу. Не было обнаружено никаких отклонений от этого закона, поэтому коэффициент пропорциональности обычно выбирают равным единице и говорят о равенстве инертной и гравитационной масс. Равенство инертной и гравитационной масс составляет содержание слабого принципа эквивалентности — составной части Эйнштейновского принципа эквивалентности, который является одним из основных положений общей теории относительности.

На равенство инертной и гравитационной масс обратил внимание ещё Ньютон, он же впервые проверил этот закон с точностью порядка 10−3. С другой стороны, можно сказать, что первая проверка принципа эквивалентности была выполнена ещё Галилеем, который открыл универсальность свободного падения — как стало понятно позже, независимость ускорения свободного падения от материала, из которого состоит тело, является следствием равенства инертной и гравитационной масс. На сегодняшний день слабый принцип эквивалентности экспериментально проверен с очень высокой степенью точности (3×10−13).

Масса обладает следующими свойствами:

  • Масса положительна;
  • Аддитивность — масса системы тел равна сумме масс каждого из тел, входящих в систему;
  • Инвариантность — Масса не зависит от характера и скорости движения тела;
  • Масса замкнутой системы тел сохраняется;

Энергия[править]

Энергия в физике встречается в разных видах:

Законы Ньютона[править]

Первый закон Ньютона гласит, что замкнутая система продолжает оставаться в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения. По сути, этот закон постулирует инертность тел. Это может казаться очевидным сейчас, но это не было очевидно на заре исследований природы. Так, например, Аристотель утверждал, что причиной всякого движения является сила, то есть у него не было движения по инерции.

Второй закон Ньютона диктует, на что на самом деле влияет сила: сила, действующая на систему извне, приводит к ускорению системы. Заметим, что если система замкнута, то на неё не действует никаких сил, следовательно, по второму закону Ньютона, её ускорение нуль, а значит, она может двигаться только с постоянной скоростью. Таким образом, первый закон Ньютона является частным случаем второго.

Третий закон Ньютона объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой силой , а второе — на первое с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным системам, а потому вовсе не компенсируются.

Следствия[править]

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, оказывается, что многие силы вокруг нас (в частности, поле сил гравитации) обладают свойством потенциальности: работа внешних сил по переносу тела из одной точки в другую не зависит от конкретного пути (на языке математики: ротор силового поля тождественно равен нулю). В этом случае силу (векторную величину) можно представить как градиент некоторой скалярной величины — потенциала. Для того, чтобы третий закон Ньютона автоматически выполнялся, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел U(|r1-r2|). Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

Силы инерции[править]

Законы Ньютона, строго говоря, справедливы только в инерциальных системах отсчета. Если мы честно запишем уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета, то оно будет по виду отличаться от второго закона Ньютона. Однако часто, для упрощения рассмотрения, вводят некую фиктивную «силу инерции», и тогда эти уравнения движения переписываются в виде, очень похожем на второй закон Ньютона. Математически здесь все корректно, но с точки зрения физики новую фиктивную силу нельзя рассматривать как нечто реальное, как результат некоторого реального взаимодействия. Ещё раз подчеркнем: «сила инерции» — это лишь удобная параметризация того, как отличаются законы движения в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Комментарии ко второму закону Ньютона[править]

Уравнение F = ma (то есть второй закон Ньютона) является дифференциальным уравнением второго порядка, поскольку ускорение есть вторая производная от координаты по времени. Это значит, что эволюцию механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости. Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления как инерция, колебания, волны.

Специальная теория относительности[править]

Специа́льная тео́рия относи́тельности (СТО), ча́стная тео́рия относи́тельности — теория, заменившая механику Ньютона при описании движения тел со скоростями, близкими к скорости света. При малых скоростях различия между результатами СТО и ньютоновской механикой становятся несущественными.

Создание СТО[править]

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна. Вопрос приоритета в создании СТО имеет дискуссионный характер: основные положения и полный математический аппарат теории, включая групповые свойства преобразований Лоренца, в абстрактной форме были впервые сформулированы А. Пуанкаре в работе «О динамике электрона» на основе предшествующих результатов Г. А. Лоренца, а явный абстрактный вывод базиса теории — преобразований Лоренца, из минимума исходных постулатов был дан А. Эйнштейном в практически одновременной работе «К электродинамике движущихся сред». По этому поводу в англоязычной Википедии есть отдельная статья.

Постулаты Эйнштейна[править]

СТО полностью выводится на физическом уровне строгости из двух постулатов (предположений):

  1. Справедлив принцип относительности Эйнштейна — расширение принципа относительности Галилея.
  2. Скорость света не зависит от скорости движения источника во всех инерциальных системах отсчёта.

Формулировка второго постулата может быть шире: «Скорость света постоянна во всех инерциальных системах отсчёта», но для вывода СТО достаточно его исходной формулировки Эйнштейном, записанной выше. Приписывание постулатов Эйнштейну правомерно в той степени, что до его работы эти уже сформулированные отдельно друг от друга (в частности, А. Пуанкаре) утверждения в совокупности явным образом никем не рассматривались.

Иногда в постулаты СТО также добавляют условие синхронизации часов по А. Эйнштейну, но принципиального значения оно не имеет: при других условиях синхронизации лишь усложняется математическое описание экспериментальной ситуации без изменения предсказываемых и измеряемых эффектов.

Экспериментальная проверка постулатов СТО в известной степени затруднена проблемами философского плана: возможностью записи уравнений любой теории в инвариантной форме безотносительно к её физическому содержанию, и сложности интерпретации понятий «длина», «время» и «инерциальная система отсчёта» в условиях релятивистских эффектов.

Тем не менее, опора на достижения экспериментальной физики позволяет утверждать, что в пределах своей области применимости — при пренебрежении эффектами гравитационного взаимодействия тел, СТО является справедливой с очень высокой степенью точности (до 10−12 и выше). По меткому замечанию Л. Пэйджа «В наш век электричества, вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать».

Сущность СТО[править]

Следствием постулатов СТО являются преобразования Лоренца, заменяющие собой преобразования Галилея для нерелятивистского, «классического» движения. Эти преобразования связывают между собой координаты и времена одних и тех же событий, наблюдаемых из различных инерциальных систем отсчёта.

Именно они описывают такие знаменитые эффекты, как замедление хода времени и сокращение длины быстродвижущихся тел, существование предельной скорости движения тела (коей является скорость света), относительность понятия одновременности (два события происходят одновременно по часам в одной системе отсчета, но в разные моменты времени по часам в другой системе отсчета).

При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются также и законы динамики. Так, можно вывести, что второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света. Кроме того, можно показать, что и выражение для импульса и кинетической энергии тела уже имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является безусловно верной теорией в своей области применимости. Специальная теория относительности перестает работать в масштабах всей Вселенной, а также в случаях сильных полей тяготения, где её заменяет более общая теория — общая теория относительности. Специальная теория относительности применима и в микромире, её синтезом с квантовой механикой является квантовая теория поля.

Символы[править]

Символы, которые вдруг могут понадобиться (для составления формул), чтобы не искать их по всей Википедии… Формулы подобраны и составлены так, чтобы наилучшим образом отразить правила их построения:

,

,

,