Участник:Arbnos/Основы алгебры/Уравнения, сводящиеся к линейным

Здесь представлены уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям хотя бы одним путём решения. Ниже приведены несколько примеров в действительных числах и без поддержки квадратных уравнений.

Уравнения, содержащие один модуль или любое число равных подмодульных выражений

$a|x|+b=0$.

2 пути решения:

1) Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим $at+b=0$.

Получим:

$t=-b:(a)\to |x|=-b:(a)\to x=\pm -b:(a)$

Ответ

$x=\pm -b:(a)$, если $-b:(a)\geqslant 0$ или решений нет иначе.

2)$a|x|+b=0$

$a|x|=-b$

$|x|=-b:(a)$

По определению модуля:

Ответ

$x=\pm -b:(a)$, если $-b:(a)\geqslant 0$ или решений нет иначе.

Пример О.1

$2|x|-3=0$.

2 путя решения:

1) Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим $2t-3=0$.

Получим:

$t=1.5\to |x|=1.5\to x=\pm 1.5$

Ответ

$x=\pm 1.5$

2) Отправляем 3 в правую сторону уравнения, для того, чтобы можно было возвести в квадрат обе части уравнения.

Получим $2|x|=3$.

$4x^{2}=9$

Уравнение при таком пути решения сводится к квадратному.

Ответ

При ограничении линейными уранениями, решений нет.

Пример О.2

$2|x|-3|x+1|=0$

Согласно опрелению модуля : $\ |x|=x,x\geqslant 0$ и одновременно $\ |x|=-x,x<0$

Поэтому нужно разобрать по определению каждый модуль уравнения: 1)Разбор первого модуля

а)Ограничение $x\geqslant 0$. Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.

$2x-3|x+1|=0$

Согласно опрелению модуля : $\ |x|=x,x\geqslant 0$ и одновременно $\ |x|=-x,x<0$

Поэтому нужно разобрать по определению модуль уравнения:

I)Ограничение $x\geqslant 0$. Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.

$2x-3x-1=0$

$-x-1=0$

$-x=1$

$x=-1$

x < 0, в пункте решений нет.

II)Ограничение x < 0 Это означает, что, если $x\geqslant 0$, то в пункте а решений нет.

$2x+3x-1=0$

$5x=1$

$x=0.2$

$x\geqslant 0$, в пункте решений нет.

Получим $2|x|=3|x+1|$. Возведём в квадрат

$4x^{2}=9(x^{2}+2x+1)$

$4x^{2}=9x^{2}+18x+9$

$5x^{2}+18x+9=0$

Вычислим дискриминант:

$D=18^{2}-4\cdot 5\cdot 9=324-180=144$

$x_{1,2}={\frac {(-18)\pm {\sqrt {D}}}{2\cdot 5}}={\frac {(-18)\pm 12}{10}}=-3;-0.6$

Уравнения с неизвестным в знаменателе

Пример О.2

${\frac {3+x}{x-4}}=0$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение х ≠ 4.

Домножаем обе части уравнения на $x-4$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $3+x=0$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$x=-3$

Ограничение х ≠ 4 не срабатывает.

Ответ

$x=-3$

Пример О.3

${\frac {3+x}{3+x}}=1$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение х ≠ −3.

Домножаем обе части уравнения на $3+x$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $3+x=3+x$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$0\cdot x=0$

В этом случае тоже нельзя разделить обе части на ноль, так как это запрещено. Но подставив на место икса любое число, мы получим верное равенство. Значит, любое число является решением этого уравнения. Таким образом, у этого уравнения бесконечно много решений. Но так как есть ограничение х ≠ −3, то оно срабатывает.

Ответ

х ≠ −3

Пример О.4

${\frac {3+x}{x-4}}=1$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение х ≠ 4.

Домножаем обе части уравнения на $x-4$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $3+x=x-4$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$0\cdot x=-7$

Какой бы $x$ мы ни взяли, это уравнение не превратится в верное равенство. Значит, это уравнение не имеет решений. Ограничение х ≠ 4 поглощается более расширенным.

Ответ

Решений нет.

Уравнения, содержащие одинаковое подмодульное выражение с неизвестным в знаменателе

Решение ниже для уравнений, представимых в форме ${\frac {a+|x|}{|x|-b}}=0$.

${\frac {a+|x|}{|x|-b}}=0$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ b, то есть x ≠ $\pm b$.

Здесь мы можем сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$ (согласно свойству модуля).

Получим ${\frac {a+t}{t-b}}=0$.

Домножаем обе части уравнения на $t-b$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $a+t=0$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$t=-a$

Ограничение $t\geqslant 0$ срабатывает.

$-a\geqslant 0$ - ограничение на a.

Получим $|x|=-a\to x=\pm -a$.

Ответ

$x=\pm -a$, если $-a\geqslant 0$ и x ≠ $\pm b$ или решений нет иначе.

Пример О.6

${\frac {3+|x|}{|x|-4}}=0$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ 4, то есть x ≠ $\pm 4$.

Здесь мы можем сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$ (согласно свойству модуля).

Получим ${\frac {3+t}{t-4}}=0$.

Домножаем обе части уравнения на $t-4$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $3+t=0$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$t=-3$

Ограничение $t\geqslant 0$ срабатывает.

Ответ

Решений нет

Уравнения, содержащие только одно неизвестное под квадратным корнем и больше никаких неизестных

Вариант с только с неизвестной под корнем

$a{\sqrt {x}}+b=0$

${\sqrt {x}}=-b:a$

По свойствам квадратного корня: $x\geqslant 0$ и, одновременно, $-b:a\geqslant 0$ Это означает, что нарушение любого из этих условий приводит к тому, что решений у уравнения нет.

$x=(-b:a)^{2}$

$(-b:a)^{2}\geqslant 0$. Это условие срабатывает при любых a и b

Ответ:$x=(-b:a)^{2}$, кроме случаев, когда $-b:a<0$ в них решений нет

Пример О.1

${\sqrt {x}}=0$

По свойствам квадратного корня: $x\geqslant 0$ и, одновременно, $-b:a\geqslant 0$ Это означает, что нарушение любого из этих условий приводит к тому, что решений у уравнения нет.

У нас: $x\geqslant 0$ и 0=0 Решение продолжается.

$x=0$ Условие не нарушается

Ответ

$x=0$

Пример О.2

${\sqrt {x}}-4=0$, где a = 0, b = -4

По свойствам квадратного корня: $x\geqslant 0$ и, одновременно, $-b:a\geqslant 0$ Это означает, что нарушение любого из этих условий приводит к тому, что решений у уравнения нет.

У нас: $x\geqslant 0$ и $4>0$ Решение продолжается.

$x=16$ Условие не нарушается

Ответ

$x=16$

Вариант с неизвестной и параметром под корнем

$a{\sqrt {bx}}+c=0$

${\sqrt {bx}}=-c:a$

По свойствам квадратного корня: $bx\geqslant 0$ и, одновременно, $-c:a\geqslant 0$ Это означает, что нарушение любого из этих условий приводит к тому, что решений у уравнения нет.

$bx=(-c:a)^{2}$

$x=((-c:a)^{2}):b$

Ответ:$x=((-c:a)^{2}):b$, кроме случаев, когда $-c:a<0$ или $bx<0$ в них решений нет

Пример О.1

$2{\sqrt {-3x}}+4=0$

${\sqrt {-3x}}=-2$

По свойствам квадратного корня: $-3x\geqslant 0$ и, одновременно, $-2\geqslant 0$ Это означает, что нарушение любого из этих условий приводит к тому, что решений у уравнения нет.

Ответ: Решений нет