Управление техническими системами

Глава 1

Предмет ведения ТАУ ТС.Управление. Классификация САУ. Дифференциальные уравнения в мат. описании САУ. Изучаемые теории САУ их уравнения.

Данный курс называется полностью "теория автоматического управления в технических системах" (ТАУ ТС), в дальнейшем будет использоваться название "Управление техническими системами" и сокращение УТС. Тем , кто не является инженером или не обучается на него для понимания предмета курса не лишним будет уточнить следующие термины

Автоматика - отрасль науки и техники, охватывающая совокупность методов и технических средств , освобождающих человека от непосредственного выполнения операций по контролю над производственными процессами и техническими устройствами.

Кибернетика - наука об общих закономерностях процессов управления в различных системах. Она может подразделяется на медицинскую, биологическую и техническую кибернетику.

Управление - переведение системы из состояния А в состояние Б путём управляющего воздействия. Как правило данное воздействие осуществляется малыми массами и энергиями на объект большой массы и энергии.

Автоматизация - замена умственной деятельности человека работой автоматов ( Для сравнения - механизация заменяет мускульную силу человека) .

Техническое устройство - совокупность машин и механизмов, выполняющих определённую функцию по преобразованию энергии и совершению полезной работы.

Обобщённая схема управления имеет следующий вид:

Хорошим примером такой системы является цепочка Разведка-Командир-Воинское подразделения, в которой командир на основании разведки вырабатывает управляющее воздействие для своих подчинённых. Если взять пример из техники, то в роли "разведки" может выступать например датчик углового перемещения в инерциальном пространстве(гироскоп), исполнительным устройством будет двигатель, который выставит платформу в соответствии с показаниями гироскопа, а "командиром" будет передающее звено, определяющее коэффициент усиления системы.

Частный случай управления - регулирование = выдерживание какого-либо параметра в соответствии с задающим сигналом. Наглядный пример- действия подчинённого, которому приказали при попытке атаки противника стрелять из пулемёта. Как видим число атакующих является параметром, которое надо выдерживать, с другой стороны это число влияет на поведение подчинённого. У нас таким образом замкнутая система регулирования. Графически она представляется так:

Где

g(t)-Задающее воздействие (Комманда коммандира)

x(t) - Регулируемая величина (Число атакующих)

e(t) - Ошибка регулирования =g(t)-x(t) (Число тех, кого надо застрелить из пулёмёта, чтобы выполнить приказ коммандира)

На основании g(t) Регулятором формируется регулирующее воздействие u(t) ( Огонь из пулёмёта). Также у нас есть возмущающее воздействие f(t), которое приводит к появлению e(t) ( Например кто-то из атакующих стал передвигаться ползком) . Есть возмущающие воздействия , которые поддаются измерению, а есть неподдающаяся.

Классификация САУ

• I. По виду задающего воздействия

1. g=const -систематическая стабилизация.
2. g(t) = переменная - следящая стабилизация
3. g(t) = переменная, нет обратной связи - система программного регулирования.

• II По наличию/ отсутствию ОС.

• Отсутствует ОС (разомкнутая система)
• Присутствует ОС (замкнутая система)

• III По виду энергии.

• Механическая
• Электрическая

• IV. По принципу регулирования

1. Регулирование по отклонению (e(t) )
2. Регулирование по возмущению (f(t))
3. Комбинированная система.

Системы бывают одномерными и многомерными. У многомерных систем есть несколько задающих воздействий и регулируемых величин.Имеются также адаптивные системы (будут подробно рассмотрены позже) . Они делятся на ( от самой "тупой" до самой "интеллектуальной" )

• Самонастраивающиеся
• Самоорганизующиеся
• Саморегулирующиеся.

Системы автоматического управления (САУ) описываются с помощью математической модели. Решение данной модели позволяет прогнозировать её свойства и реакцию на те или иные действия. При описании матмодели чаще всего используются дифференциальные уравнения. Напомним, что дифференциальные уравнения , это уравнения, состоящие помимо самой переменной x, из производных этой переменной различного порядка , н. dx/dt (первая производная) $d^{2}x/dt^{2}$ (вторая производная).

Если в уравнениях используются только первые степени x и их производных, то это линейные дифуравнения. Они решаются чаще всего методом подстановки $x=e^{lt}$ c последующим нахождением l . Мы в данном курсе будем чаще всего их решать с помощью S-преобразования в алгебраические уравнения.

В данном учебнике будут изучаться теории

• Линейных САУ (основная часть курса)
• Нелинейных САУ
• Дискретно-непрерывных САУ
• Теория стохастических САУ.

Линейные системы описываются линейными дифуравнениями вида:

$a_{n}*d^{n}x/dt^{n}+...a_{1}dx/dt+a_{o}x=b_{m}d^{m}u/dt^{m}+b_{1}du/dt+b_{o}u$

Если $a_{i}=const$ , то это стационарная система, а если зависит от t, то нестационарная. Нелинейные системы соответственно записываются нелинейными дифуравненими:

$d^{n}x/dt^{n}=f(x,dx/dt,..d^{n-1}x/dt^{n-1},u,du/dt...,d^{m}u/dt^{m}$

У дискретно-непрерывных систем будут уравнения:

$a_{n}x[n+k]+a_{n-1}x[n+k-1]+...+a_{0}x[n]=b_{m}x[m+k]+b_{m-1}x[m+k-1]+...+b_{0}x[m]$

В стохастических САУ используют процессы вероятностного характера.

Глава 2

Обобщённая схема САР. Элементы автоматики. Типовые виды воздействий .Математическое описание САР.

Обобщённая функциональная схема САР имеет такой вид: Элементы 1-3, 9,10 составляют датчик , а 4-8 - севромеханизм. Расшифровка элементов.

1. Измерительные элементы входного сигнала. Преобразует его к форме, удобной для последующего сравнения.

2.Сравнение - вырабатывает сигнал ошибки , сравнивая истинный сигнал с сигналом на выходе.

3.Преобразователь сигнала ошибки - преобразует сигнал в форму, удобную для последующего усиления.

4. Последовательное корректирующее устройство. Исполнительное устройство чаще всего имеет фиксированную зависимость выходного сигнала от входного, не совпадающей с требуемой - для реализации требуемой функции необходимо преобразовать входной сигнал так, чтобы, будучи отработан исполнительным устройством, он бы давал нужную нам зависимость между выходом и входом.

5. Сравнение - местная обратная связь.

7. Исполнительное устройство - непосредственно воздействует на объект регулирования.

8. Параллельные корректирующие устройства для местной ОС - для той же цели , что 4, но тут соответствующим образом изменяется не входная информация, а информация от ОС.

9. Измерительное устройство истинного значения регулируемой величины.

10. Преобразователь главной обратной связи. Позволяет преобразовать сигнал измерителя к форме , удобной для сравнения.

Элементы автоматики подразделяются на

-Измерительные

-Промежуточные

-Исполнительные

Промежуточные делятся на

-Усилительные

-Преобразовательные

-Вычислительные.

При изучении свойств САР были установлены некоторые типовые воздействия ,реакция на которые достаточно полно характеризует эти свойства. Наиболее частым воздействием является ступенчатое воздействие. Ступенчатое воздействие означает , что входной сигнал скачком изменил своё значение с А на Б. Для линейных систем реакцию на любое такое воздействие можно понять, зная реакцию на единичное воздействие (А=0, Б=1). Закон , мгновенно вступающий в силу с такого то времени является таким ступенчатым воздействием. Реакция на сие воздействие - переходная функция системы. Реже используется импульсное воздействие. В идеале это воздействие с бесконечной амплитудой за бесконечно малый промежуток времени. Реакция на них - импульсная переходная функция. Ещё реже используется прямоугольная волна ( ступенчатое воздействие от А до Б , через период T/2 от Б до А, через период Т всё повторяется), синусоидальное воздействие и т.д. Ещё есть дискретное воздействие заключающаяся в подаче импульсов разной амплитуды через определённые промежутки времени.

Математическая модель системы может строиться на априорной информации ( до опыта, из теоретических соображений) и на экспериментальной информации. Чаще всего в технике (при разработке системы) используют априорную информацию. Перед построением мат модели часто полезно построить схему той или иной системы. Так как исторически наиболее хорошо проработанными являются схемы электрические , то про построении схем механических и других процессов используют метод электроаналогии, когда процесс, имеющий то же математическое описание, что и электрический обозначают тем же электрическим элементом. Чтобы продемонстрировать этот метод распишем электрические обозначения и их аналоги в механике( наиболее часто используемая аналогия) и в производящей системе.

Электрический знак	Расшифровка	Механическая аналогия
	Источник ЭДС (E).ЭДС «расходуется» на различных элементах, на которых падает напряжение u	Источник движения со скоростью(V)
	Источник тока (i)	Тяга, создающая силу F
	Резистор ( с сопротивлением R) u=iR	Демпфер, сопротивляющийся с силой F=V/d
	Индуктивность (L) u=L*di/dt	Пружина F=kx или V=(dF/dt)/k
	Коденсатор (C) i=C*du/dt	Обычное тело F=ma=m*dv/dt

Глава 3

Преобразование Хевисайда. Преобразование Лапласа. Устойчивость системы. Условие устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица и Льенара-Шипара. Общая постановка задачи устойчивости.

Как уже говорилось, линейные системы описываются с помощью дифференциальных уравнений. Ввиду их относительной сложности сведение их к уравнениям алгебраическим сильно упростит задачу их решения. Методика такого сведения была впервые предложена Хевисайдом. Суть её в том, чтобы заменять взятие производной умножением на оператор p. Таким образом уравнение

$a_{n}*d^{n}x/dt^{n}+...a_{1}dx/dt+a_{o}x=b_{m}d^{m}u/dt^{m}+b_{1}du/dt+b_{o}u$ (3.1)

примет вид

$a_{n}*p^{n}x+...a_{1}px+a_{o}x=b_{p}^{m}u+b_{1}pu+b_{0}u$ (3.2)

Метод широко применяется в электротехнике. Его недостаток - то, что не учитываются начальные условия- значение x , u и их производных при t=0.

Этого недостатка лишено более строгое математическое преобразование - преобразование Лапласа. Суть этого преобразования заключается в записи вместо х(t) некоего x(s) причём

$\int _{0}^{\infty }x(t)*e^{-st}dt$ (3.3)

На деле преобразование проводится по таблицам.Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{X(s)\}$	Частотная область $X(s)={\mathcal {L}}\{x(t)\}$	Область сходимости для причинных систем
1	идеальное запаздывание	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	единичный импульс	$\delta (t)\$	$1\$	$\forall s\$
2	запаздывание $n$-го порядка с частотным сдвигом	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot H(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$s>0\,$
3	экспоненциальное приближение	$(1-e^{-\alpha t})\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$s>0\$
4	синус	$\sin(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$s>0\$
5	косинус	$\cos(\omega t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$s>0\$
6	гиперболический синус	$\mathrm {sh} \,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2}}}$	$s>|\alpha |\$
7	гиперболический косинус	$\mathrm {ch} \,(\alpha t)\cdot H(t)\$	${\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2}}}$	$s>|\alpha |\$

После решения системы производится обратное преобразование. Уравнение в операторной форме имеет вид

$a_{n}*s^{n}x+...a_{1}sx+a_{o}x=b_{s}^{m}u+b_{1}su+s_{0}u$ или

$(a_{n}*s^{n}+...a_{1}s+a_{o})x=(b_{s}^{m}+b_{1}s+s_{0})u$или

A(s)*x(s)=B(s)*u(s) (3.4) где A(s), B(s) - полиномы из степеней s.

В такой форме записи существует такое понятие, как передаточная функция W(s).

W(s)=x(s)/u(s)=B(s)/A(s).

Очень часто W(s) можно разложить на несколько множителей, среди которых типовые множители ( звенья ) такие:

Wi(s)=const -усиливающее звено.

Wi(s)=1/(Ts+1)- апериодическое звено.

Wi(s)=$1/(Ts^{2}+2\xi Ts+1)$- колебательное звено.

Wi(s)=1/s- интегрирующее звено.

Wi(s)=Ts- дифференцирующее звено.

Wi(s)=Ts+1- дифференцирующее звено 1-го порядка.

Wi(s)=$Ts^{2}+2\xi Ts+1$ - дифференцирующее звено 2-го порядка.

Как уже упоминалось, решение дифференциального уравнения делится на общее однородное и частное неоднородное.

$x(t)=x_{oo}(t)+x_{chn}(t)$ (3.4)

Если система при устремление t к бесконечности решение будет приближаться к частному неоднородному, что система устойчива. Если разница при устремлении t к бесконечности $x_{oo}(t)$ не будет стремится к 0, а будет стремится к бесконечности, то система неустойчива. Если не будет стремления ни к 0 не к бесконечности, то перед нами пограничный случай.Ясно, что неустойчивая система ведёт к непредсказуемым результатам, выходящим за рамки возможностей любой реальной системы, что приведёт или к её поломке и/или к неполучению нужного результата. Поэтому задача анализа системы на устойчивость является принципиальной при работе с системами. Уже отмечалось, что решение дифференциального уравнения первого порядка производится методом подстановки $x_{oo}(t)=e^{\lambda t}$ . Для уравнения n-го порядка решение будет иметь вид:

$x_{oo}(t)=C_{1}e^{\lambda _{1}t}+...+C_{n}e^{\lambda _{n}t}$ (3.5)

В общем случае все коэффициенты $\lambda _{1}...+\lambda _{n}$ комплексные и равны $\lambda _{i}=\alpha _{i}+i\beta _{i}$ Совершенно очевидно, что решения будет устойчиво только в том случае, если все $\alpha _{i}<0$ , иначе система будет неустойчива (Экспонента с положительным показателем стремится к бесконечности). Не всегда, однако система является линейной и её так просто решить и проверить на устойчивость. В этом случае на помощь приходят теоремы Ляпунова, которые позволяют определить устойчивость только лишь линеаризованной части системы и на этом основании сделать вывод о всей системе.

1-я теорема Ляпунова. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы находятся в отрицательной действительной части комплексной плоскости (т.е. $\alpha _{i}<0$), то исходная нелинейная система устойчива.

2-я теорема Ляпунова. Если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной системы находятся в положительной действительной части комплексной плоскости (т.е. $\alpha _{i}>0$), то исходная нелинейная система неустойчива.

Если линейная система получилось нейтральной, то по ней нельзя судить об устойчивости и надо рассматривать нелинейную систему. Такой случай называется критическим. Также для решения систем используют запись уравнений в отклонениях от положения равновесия. Поясним: Пусть у нас есть уравнение $dy_{i}/dt=Y_{i}(y_{1},y_{2},...y_{n})$ Пусть у нас есть точка равновесия при $t=\infty$ со значениями $y_{1}^{*}...y_{n}^{*}$ . Тогда записав $y_{i}=x_{i}+y_{i}^{*}$ помещают точку равновесия в 0, решая уравнения $dx_{i}/dt=X_{i}(x_{1},x_{2},...x_{n})$. Видно, что запись в такой форме не влияет на путь сходимости, а только её точку.

Одним из наиболее распространённым способом определения устойчивости системы является метод Гурвица. Пусть у нас есть уравнение, записанное в операторной форме.

$a_{0}*s^{n}x+...a_{n-1}sx+a_{n}x=0$ (3.6)

Тогда , если $a_{0}>0$ и матрица формы имеет вид:

$H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}^{1}&a_{3}^{1}&\dots &a_{n}^{1}&&\\a_{0}^{2}&a_{2}^{2}&\dots &a_{n}^{2}&&\\&a_{1}^{1}&a_{3}^{1}&\dots &a_{n}^{1}&\\&a_{0}^{2}&a_{2}^{2}&\dots &a_{n}^{2}&\\&\vdots &&&\vdots &\\&&&&\dots &a_{n}^{1}\end{pmatrix}}$ (3.7) -Матрица Гурвица

Если все диагональные миноры этой матрицы положительны, то система устойчива. Это критерий устойчивости Гурвица. Напомним:

Диагональные миноры- это миноры, включающие в себя n первых диагональных элементов, если размерность минора n*n.

Минор - определитель квадратной матрицы, полученная путём "взятие" из основной матрицы n любых строк и столбцов. (Т.е. сначала выбираем из матрицы n строк, потом в этих строках n столбцов. Получится матрица размером n*n). Под положительностью минора понимают положительность его определителя.

Определитель - для матрицы 2*2 вида

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Для матрицы 3х3 это сумма элементов 3-й стоки , умноженных на миноры, не содержащие той же строки и того же столбца, что и эти элементы. Аналогично для матриц более высокого порядка. Было доказано, что необязательно вычислять все диагональные миноры, а можно вычислить только чётные или нечётные и если они положительны, то система устойчива. Это- критерий устойчивости Льенара-Шипара.

Глава 4

Описание САР в терминах пространства состояния. Управляемость и наблюдаемость САР. Методы анализа САР.

Уравнения, которые описывают САР могут быть достаточно большого порядка. Как известно, уравнения выше 5-го порядка являются неразрешимыми, поэтому лучше описывать САР в таких переменных, которые давали бы уравнения не выше 1-го порядка. Такие переменные - переменные состояния. Совокупность переменных, описывающих систему называется пространством состояний. В терминах пространства состояний любую систему, которая на входной сигнал u даёт сигнал x описать уравнением:

${\dot {\vec {x}}}=\mathbf {A} {\vec {x}}+\mathbf {B} {\vec {u}}$ (4.1)

${\vec {x}}$ - вектор состояний

${\vec {u}}$ -вектор управляющих переменных ( управления)

$\mathbf {A}$ - матрица состояний

$\mathbf {B}$ - матрица управления.

Напомним, что умножение матрица размерностью nxm на вектор m происходит таким образом: 1. Записываем шаблон для вектора результата с местом для n элементов. 2. В первую строку результирующего вектора записываем сумму произведений элементов первой строки матрицы на столбец вектора. 3. Во вторую строку результирующего вектора записываем сумму произведений элементов второй строки матрицы на столбец вектора. И т.д.

Никакая САР невозможна без измерения своих сигналов -иначе мы просто не будем знать, выполняет ли она заданную функцию или нет. Существует специальное обозначение ${\vec {y}}$ - вектор измерений. Мы можем измерять как любую переменную состояния системы, так и любое управляющее воздействие, а также любую их комбинацию. Поэтому вектор наблюдаемых переменных как правило не идентичен вектору состояний. В самой общей форме уравнения измерения будет иметь вид:

${\vec {y}}=\mathbf {C} {\vec {x}}+\mathbf {D} {\vec {u}}$, где С -матрица измерений, D - матрица прямой передачи

Поясним на примере составление уравнения в переменных состояния. Пусть у нас есть уравнение

$T^{2}*d^{2}x/dt^{2}+2eTdx/dt+x=ku$ (4.3)

Введём обозначение

$x_{1}=x$ (4.4.1)

$x_{2}=dx/dt$ (4.4.2)

Тогда имеем

$dx_{1}/dt=dx_{2}$ (4.5.1)

$dx_{2}/dt=-2e/T*x_{2}-x_{1}/T^{2}+ku/T^{2}$ (4.5.2)

или

${\begin{vmatrix}dx_{1}/dt\\dx_{2}/dt\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&1\\-1/T^{2}&-2e/T*x_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0\\k/T^{2}\end{vmatrix}}*U$ (4.6)

Если систему за конечное время можно перевести из состояния $x_{1}$ в состояние $x_{2}$путём сигнала u, то система является управляемой по входу. Если тоже можно сделать для y, то система является управляемой по выходу.

Для определения управляемости есть критерий Калмана. Его вывод входит в курс вариационного исчисления, посему мы здесь приводить его не будем , а ограничимся лишь его написанием: Пусть у нас есть матрица: $[BABA^{2}BA^{3}B........]$ если её определитель не равен 0, то система управляемая. Видно, что при больших размерностях А и В проверка по данному критерию возможна лишь на вычислительных устройствах. Система считается наблюдаемой , если все переменные состояния в любой момент времени можно определить по значениям ${\vec {y}}$(t) . Критерий наблюдаемости - если у матрицы:

${\begin{vmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\...\end{vmatrix}}$ определитель не равен 0, то система наблюдаема.

Существует несколько методов анализа САР. Большинство из них основаны на том, что любую функцию x(t) возможно разложить в ряд Фурье представив их как сумму функций вида:

$A\cos \omega t=A(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})/2$(4.7)

Производная n-го порядка будет иметь вид $(j\omega )^{n}A(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})/2$ Как видно $(j\omega )$ в этом случае будет обратным преобразованием оператора s. Поэтому заменив s на $j\omega$ в передаточной функции W(S) мы можем провести анализ системы на различных частотах.

Например, построив W$(j\omega )$ на комплексной плоскости, в зависимости от всех частот $\omega$ мы получим амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или годограф). С помощью неё можно получить много информации о системе. Часто , однако строят отдельно зависимость амплитуды и фазы W$(j\omega )$ в зависимости от частоты. Причём частоту и амплитуду обычно строят в логарифмическом масштабе (делениями 1, 10 и т.д.) Получаются логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и ФЧХ.

Глава 5

Типовые динамические звенья, их переходные процессы и АЧХ.

1. $W_{i}(s)=const$ -Усиливающее звено Оно не имеет переходного процесса, после его включения в цепь сигнал усиливается в k раз т.е. $x_{2}$=kx

$W(j\omega )=A(\omega )e^{\phi \omega }$

Приближённая ЛАХ и ФЧХ имеют вид:

Эквивалентная электрическая схема этого звена имеет вид:

Изображённый на схеме элемент - операционный усилитель, у которого параметры обратной связи подобраны так, чтобы он усиливал в k раз.

2. $W_{i}(s)=1/(TS+1)$ -апериодическое звено.

$x_{2}=x(1-e^{-1/T*t})$

$W(j\omega )={\frac {1}{\sqrt {Tj\omega +1}}}*e^{-\arctan j\omega }$

Приближённая ЛАХ и ФЧХ имеют вид:

Эквивалентная электрическая схема этого звена имеет вид:

3. $W_{i}(s)=1/(TS^{2}+2*T\xi S+1)$- колебательное звено.

$x_{2}=x(1-{\frac {e^{-\xi /T*t}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}})*\sin({\frac {\sqrt {1-\xi ^{2}}}{T}}t+\arctan {\frac {\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\xi }})$

$W(j\omega )={\frac {1}{\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4T^{2}\xi ^{2}\omega ^{2}}}}*e^{-\arctan {\frac {2\xi T\omega }{1-T^{2}\omega ^{2}}}}$

Приближённая ЛАХ и ФЧХ имеют вид:

Эквивалентная электрическая схема этого звена имеет вид:

4. $W_{i}(s)=1/s$ - интегрирующее звено.

$dx_{2}/dt=x$

$W(j\omega )=k/\omega *e^{-j\pi /2}$

Приближённая ЛАХ и ФЧХ имеют вид:

Эквивалентная электрическая схема этого звена имеет вид:

5. $W_{i}(s)=Ts$ - дифференцирующее звено

$x_{2}=dx_{1}/dt$- т.е при единичном воздействии будет переходной процесс в виде импульса бесконечной амплитуды на бесконечно малом промежутке времени.

$W(j\omega )=k/\omega *e^{j\pi /2}$

6.$W_{i}(s)=TS+1$ - дифференцирующее звено 1-го порядка.

$x_{2}=Tdx_{1}/dt+x_{1}$-

$W(j\omega )={\sqrt {Tj\omega +1}}*e^{\arctan j\omega }$

7. $W_{i}(s)=(TS)^{2}+2*T\xi S+1$-дифференцирующее звено 2-го порядка.

$x_{2}=T^{2}d^{2}x/dt^{2}+2T\xi dx/dt+x$

$W(j\omega )={\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4T^{2}\xi ^{2}\omega ^{2}}}*e^{\arctan {\frac {2\xi T\omega }{1-T^{2}\omega ^{2}}}}$

8. $W_{i}(s)=e^{-\tau s}$- Звено чистого запаздывания.

$x_{2}(t)=x(t-\tau )$

$W(j\omega )=e^{j\omega \tau }$

Задание для самостоятельной работы к главе - построить ЛАХ, ФЧХ и эквивалентную электрическую схему для остальных элементов.

Глава 6

Cтруктурные преобразования САР.Принцип агрумента. Критерий Михайлова.

Рассмотрим основные преобразования САР по замене многих элементов одним или по их перенесению, так, чтобы передаточная функция оставалась неизменной.

Литература

• Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами
• Под ред. Пупкова К.А. , Егупова Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления