Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - свойства

  Этот текст надо викифицировать. Пожалуйста, отформатируйте его согласно рекомендациям.

Мы видели, что можно построить музыкальный звукоряд различными способами. В дальнейшем мы будем пользоваться темперированным рядом. Однако большая часть определений и свойств переносимы на любой звукоряд, иногда надо учитывать погрешности определения отдельных ступеней.

Итак, наш звукоряд содержит 12 ступеней, которые мы пронумеруем от 0 до 11. Для звуков из других октав можно поступить двояко. Можно применять тот же номер ступени с указанием октавы (см. Приложение X – наименования октав). А можно нумеровать звуки последовательно и дальше – 13, 14, 15, ... . При этом будет разумно взять за 0 самый низкий звук. Однако, поскольку все звуки звукоряда по построению могут быть перенесены в одну и ту же октаву, интересно рассмотреть не все звуки сами по себе, а классы эквивалентности звуков.

Причислим к одному классу эквивалентности звуки, номера которых дают один и тот же остаток при делении на 12 (математически – номера звуков являются одинаковыми вычетами по модулю 12). Тогда в один класс эквивалентности попадут звуки, переходящие один в другой октавным переносом. Будем обозначать такие классы через [k], где k – номер звука любого представителя класса, и называть супертоном. Очевидно, что [k] = [k + 12i], где i – любое целое число. Исходя из этого равенства, будем обычно использовать числа от 0 до 11 для обозначения классов: [0],...,[11] (т.е. использовать систему наименьших положительных вычетов). Множество всех классов вычетов по модулю 12, $T=Z_{12}=\{[0],[1],...,[11]\}$, назовем тональным множеством.

Отношения сравнения на тональном множестве заданы как обычные отношения на множестве целых чисел при том, что в качестве представителя каждого супертона мы выбираем наименьший положительный вычет. Расстоянием между [x] и [y] является $(y-x)mod12$.

В темперированном звукоряде можно по номеру звука непосредственно вычислить его частоту: $h_{0}\cdot \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{k}$, где k – номер звука, а $h_{0}$ – частота базового звука.

Расстояние между двумя соседними ступенями звукоряда называется полутоном. В темперированном ряду полутон между любыми двумя ступенями действительно принимает одно и то же значение - ${\sqrt[{12}]{2}}=1,059463$. В других рядах значение полутона колеблется. Однако внутри выбранного звукового ряда этим можно пренебречь и использовать полутон как самостоятельную единицу измерения (считать в полутонах). Интервал в два полутона называется целым тоном. В темперированном ряду тон это $({\sqrt[{12}]{2}})^{2}=1,122462$.

Теперь мы можем измерять расстояния между ступенями звукоряда не только абсолютно, как соотношение частот, но и в полутонах (или в тонах). Например, расстояние между 2 и 9 ступенью звукоряда равно 7 полутонам. В темперированном ряду это в точности темперированная квинта $(({\sqrt[{12}]{2}})^{9}:({\sqrt[{12}]{2}})^{2}=({\sqrt[{12}]{2}})^{7})$.

Свойства интервалов переформулируются внутри звукоряда следующим образом. Простым интервалом называется интервал, не превосходящий 12 (полутонов), составным – превосходящий 12. Обращением интервала x называется интервал 12-x. Сумма интервала и его обращения равна октаве. Октавой называется интервал длины 12, примой – 0, квинтой – 7, квартой – 5. Введем унарные операции на тональном множестве:

#[x] = [x + 1] — повышение на полтона — диез
*[x] = [x + 2] — повышение на тон – дубль-диез
@[x] = [x − 1] — понижение на полтона — бемоль
@@[x] = [x − 2] — понижение на тон – дубль-бемоль

к содержанию