Размер и размерность

Исходный вариант статьи (М. Г. Иванов, «Размер и размерность») опубликован в августовском номере 2006 года журнала «Потенциал».

Под микроскопом он открыл, что на блохе
Живёт, блоху кусающая блошка;
На блошке той блошинка-крошка,
В блошинку же вонзает зуб сердито
Блошиночка, и так ad infinitum.

Джонатан Свифт

Чем отличаются друг от друга длина, площадь и объём?

Все мы знаем, что складывать между собой величины, измеренные в разных единицах нельзя. Не все, впрочем, понимают почему. Вроде бы и длина, и площадь, и объём измеряются в метрах, вот только в одном случае метр линейный, в другом квадратный, а в третьем кубический. А какая нам собственно разница?

Разница проявляется, если мы захотим перейти от метров к сантиметрам.

1 м = 100 см = 100¹ см¹,

1 кв. м. = 1 м² = 1 м × 1 м = 100 см × 100 см = 10 000 см × см = 100² см²,

1 куб. м. = 1 м³ = 1 м × 1 м × 1 м = 100 см × 100 см × 100 см = 1 000 000 см × см × см = 100³ см³.

Если мы сложим квадратные метры с линейными, то будет не ясно, в чём будет измеряться результат, а значит, будет не ясно на какое число умножать ответ при переходе от метров к сантиметрам. Значит, складывать длину и площадь нельзя.

Не обязательно изменять единицу длины именно в сто раз.

При изменении единицы длины в 3 раза единица площади изменится в $3^{2}=3\cdot 3=9$ раз, а единица объёма в $3^{3}=3\cdot 3\cdot 3=27$ раз. Таким образом, мы можем «разобрать» большой отрезок на $3^{1}$ отрезков в 3 раза меньшей длины, большой квадрат на $3^{2}$ квадратов в 3 раза меньших по линейным размерам, большой куб на $3^{3}$ кубиков в 3 раза меньших по линейным размерам. Во всех перечисленных случаях мы «разбираем» фигуру на набор равных между собой по размеру меньших фигурок, подобных большой фигуре. Степень, в которую возводится изменение линейного масштаба, называется размерностью. Таким образом, отрезок — одномерен, квадрат — двумерен, куб — трёхмерен.

Уже не длина, но ещё не площадь

Существуют ли фигуры, размерность которых не является целой, то есть может ли оказаться, что большая фигура разбирается на $n$ одинаковых фигурок поменьше, каждая их которых подобна исходной и отличается от неё по линейным размерам в $k$ раз, причём $n=k^{d}$ , где число $d$ не является целым? Оказывается, что такие фигуры существуют и называются самоподобными фракталами.

Например, следующую фигуру мы можем «разобрать» на 8 подобных, каждая из которых меньше по линейным размерам в 3 раза. Эта фигура называется «салфетка Серпинского».

Таким образом, $8=3^{d}$ , или (вспомнив определение логарифма) $d=\log _{3}8={\frac {\ln 8}{\ln 3}}\approx 1{,}89\dots$

Как строится такая салфетка Серпинского? Квадрат разбивается на 9 маленьких квадратиков, после чего выкидывается средний квадратик, потом аналогичная процедура проделывается для каждого из 8 оставшихся квадратиков (в 3 раза меньших размеров), потом для каждого из 64 квадратиков (в 9 раз меньших размеров) и так далее (бесконечное число раз).

На каждом шаге площадь фигуры уменьшается на ${\frac {1}{9}}$ , то есть, если мы начали с единичного квадрата, площадь фигуры на шаге номер $N$ равна $S=\left({\frac {8}{9}}\right)^{N}$ . А площадь получающегося в результате фрактала равна $S={\frac {8}{9}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots {\frac {8}{9}}\cdots =0$ . Может быть, там вовсе нет никакой фигуры, раз площадь оказалась нулевой? Нет, мы можем доказать, что выкинуты оказались не все точки квадрата (докажите это в качестве упражнения, при этом удобно использовать троичную систему счисления, для записи координат точек квадрата). Для такой фигуры нетривиальное (конечное) значение будет иметь не длина периметра (бесконечная), и не площадь (нулевая), а некая мера («мера Минковского»), измеряющееся в единицах 1 см^d Если принять, что мера Минковского для квадрата $a\cdot a$ равна $a^{d}$ , то мера салфетки Серпинского оказывается равна 1 (на шаге номер $N$ мы имеем $8^{N}$ квадратиков со стороной $\left({\frac {1}{3}}\right)^{N}$ и мера $S_{\mathrm {Mink.} \ N}=8^{N}\left(\left({\frac {1}{3}}\right)^{N}\right)^{d}=1$ ).

По некоторому размышлению полезно обобщить приведённое выше определение самоподобного фрактала и позволить ему иметь целые размерности, например процедура, изображённая на следующей серии рисунков, приводит к построению фигуры с размерностью 1 (Почему?), но естественно считать эту фигуру фракталом (данный пример принадлежит Магди Мохамеду). (Попутно во фракталы попадают и обычные отрезки, квадраты, треугольники.)