Пусть — произвольная интерпретация. Можно взять и произвольную оценку , однако формула замкнута, поэтому оценка неважна.
Докажем напрямую, что формула истинна.
Метод доказательства разбором случаев.
. Для доказательства достаточно в каждом случае указать такой элемент из , что высказывание истинно.
- а) Допустим, что посылка в формуле
истинна, т. е. . В этом случае имеется такой элемент из , который находится в отношении с каждым элементом . Тогда в качестве такого можно взять любой элемент . Действительно, пусть — какой-нибудь элемент . Высказывание истинно, поскольку истинна как его посылка, так и заключение. Таким образом, высказывание истинно.
- б) Допустим, что
. А этот случай говорит о том, что студенты в группе не все пьяницы. Пусть — такой элемент из , что . Тогда в качестве искомого можно взять как раз элемент . Действительно, высказывание истинно, поскольку его посылка ложна. Таким образом, и в этом случае высказывание истинно.
. Запишем прочтение данной формулы в интерпретации : У нас всё также два варианта.
- а) Напишем символьно:
![{\displaystyle \left|\,{\widetilde {P}}{\left(x\right)}\,\right|\equiv {\text{И}}\,{\overset {\text{равносильное}}{\underset {\text{преобразование}}{\longleftrightarrow }}}\,\left|\,{\widetilde {P}}{\left(y\right)}\,\right|\equiv {\text{И}}\,{\overset {\text{основные}}{\underset {\text{расшифровки}}{\longleftrightarrow }}}\,\left|\,\left(y\right)\,{\widetilde {P}}{\left(y\right)}\,\right|={\text{И}}\,\longleftrightarrow \,\left|\,\left({\mathsf {E}}\,x\right)\left({\widetilde {P}}{\left(x\right)}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\text{И}}\right)\,\right|={\text{И}}\rightarrow \left|\,{\widetilde {F}}\,\right|={\text{И}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28690c141a73eaa992da010af27ba352c1a0a304)
Это тривиальный случай ведь в интерпретации «студенты-пьяницы» вполне может оказаться, что все студенты как раз пьяницы — тогда вопросов бы не было и утверждение автоматически становится истиной.
- б) Аналогично предыдущему пункту проведём рассуждения словесно-символьно:
![{\displaystyle {\overset {\text{основные}}{\underset {\text{расшифровки}}{\longleftrightarrow }}}\,\left({\mathsf {E}}\,{x}\right)\left(\left|\,{{\widetilde {P}}{\left(x\right)}}\,\right|={\text{Л}}\,{\text{ и }}\left|\left(y\right)\,{\widetilde {P}}{\left(y\right)}\,\right|={\text{Л}}\right)\longleftrightarrow \,\left({\mathsf {E}}\,{x}\right)\left(\left|\,{\underbrace {{\widetilde {P}}{\left(x\right)}} _{=\;{\text{И}}}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\left(y\right)\,{{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}}\,\right|={\text{И}}\right)\longleftrightarrow \,\left|\left({\mathsf {E}}\,x\right)\left({\widetilde {P}}{\left(x\right)}\;{\overset {\circ }{\supset }}\;{\left(y\right)\,{{\widetilde {P}}{\left(y\right)}}}\right)\,\right|={\text{И}}\rightarrow \left|\,{\widetilde {F}}\,\right|={\text{И}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce4c044a06f3962102c7b9601fa7fa1acdb9bdf)
Итак, разбором случаев мы доказали, что высказывание истинно в произвольной интерпретации . Следовательно, формула общезначима.
Докажем другим методом.
Метод доказательства от противного.
Допустим, что не общезначимая формула. Следовательно, найдётся такая интерпретация , что формула в ней обращается в ложь, то есть . Имеем
В предложении: , раз для любого , то и для . Ещё раз перепишем:
Следовательно, мы получили противоречие; другими словами, не существует такой интерпретации , в которой данная формула была ложна, то есть можно логически заключить, что она всегда истинна в любой интерпретации. Значит, наше предположение: " не общезначимая формула", является неверным, поэтому — общезначима, что собственно и требовалось доказать.
|