Принцип пьяницы

завершено на 50%
Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

На данной странице мы докажем строго математически так называемый парадокс пьяницы. Доказательство опирается на понятие общезначимой формулу.


Общезначимые формулы[править]

Среди всех формул языка логики высказываний (ЯЛВ) особый интерес представляют те формулы, которые принимают значение истина всюду, независимо от интерпретации [от лат. interpretatio 'истолкование'] и значений, придаваемых их свободным переменным.

Введём ряд важных понятий.

Формулировка парадокса[править]

Рассмотрим формулу . Обозначим её через , т. е. запишем как . Эта замкнутая формула [т. к. не содержит свободных переменных — каждая переменная ограничена своим квантором] имеет весьма забавные интерпретации. Например, в качестве поля можно взять множество всех людей, а в качестве  — свойство «быть пьяницей»[1]. Тогда формуле соответствует высказывание «существует такой человек, что если он пьёт, то пьют все».

Давайте возьмём в качестве группу студентов. И намеренно прочитаем данную формулу сначала неправильно: «Если в группе есть студент-пьяница, то все в группе пьяницы». Этому высказыванию соответствует совершенно другая формула: . Конкретно эта формула НЕ является общезначимой, т. е. обязательно найдётся такая интерпретация, в которой высказывание, соответствующее формуле , станет ложным. Это очень важно понимать. Правильное же прочтение формулы в интерпретации «студенты-пьяницы» будет следующим: «В группе есть такой студент, что если он пьяница, то все в группе пьяницы».

Можно придумать другое свойство  — свойство «быть умницей». Истинность утверждения не изменится.


На первый взгляд может показаться, что такого человека не существует, а значит, это высказывание ложно. Однако на самом деле, это высказывание истинно. Более того, рассматриваемая формула истинна в любой интерпретации, т. е. она общезначима [с позиции объективной математической логики это истина, т. е. ЗАКОН!]. Докажем это.

Доказательство общезначимости[править]

Иная интерпретация[править]

Придумаем другую интерпретацию, которая, возможно, не будет вводить в заблуждение. В формуле положим  — свойство «быть наполненным»,  — объём некоторого сосуда, а  — незаполненный объём этого же сосуда.

Тогда мы получим, что «В сосуде любого объёма найдётся такое объём, что если его заполнить, то весь сосуд будет заполненным».

Литература[править]

  • Тимофеева И. Л. Математическая логика. Курс лекций. — 2-е изд., перераб.. — М.: КДУ, 2007. — С. 168-169. — 304 с. — ISBN 978-5-98227-307-9

См. также[править]

  • Ссылки на другие учебники, страницы Википедии, прочие материалы по теме.

Примечания[править]

  1. . Эта забавная интерпретация была предложена в замечательной книге Р. Смаллиана с парадоксальным названием «Как же называется эта книга?» (М.: Мир, 1981), а сама формула названа «принципом пьяницей».