Построение разверток тел вращения

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция.
Потребность в составлении сложных развёрток, как правило, возникает при моделировании, работе с бумагой и металлом, в слесарном деле. Написанная ниже статья, объясняет принципы построения развёрток тел вращения (цилиндр, конус) и их частных случаев (сечение конуса, конус с переходом с круга на квадрат).


Основы и инструмент[править]

  • Все нижеописанные действия выполняются на бумаге, при помощи линейки, карандаша и циркуля. Рекомендуется комплект лекал, для повышения точности и качества развёрток.
  • При изготовлении развёрток на металле используется метровая линейка, чертилка, циркуль по металлу, комплект лекал, молоток и керно, для отметки узловых точек.
  • Длина окружности считается по формуле:


или

Где:
радиус окружности,
диаметр окружности,
длина окружности,
— Число Пи (Pi),
Как правило, для вычисления используется значение (Pi) до второго знака (3,14), но в некоторых случаях, этого может быть недостаточно.

  • Усечённый конус с доступной вершиной: Конус, при построении которого можно определить положение вершины.
  • Усечённый конус с недоступной вершиной: Конус, при построении которого положение вершины определить затруднительно, в виду её удалённости.
  • Триангуляция: способ построения разверток поверхностей неразвертывающихся, конических, общего вида и с ребром возврата.
  • Восстановление размера: Многие размеры трёхмерного объекта, при проецировании в двумерную плоскость, оказываются мнимыми, поэтому их приходится восстанавливать по правилу треугольника: «Если известны две стороны — то можно получить третью». В этих случаях применяется прямая, с вертикалью, верхняя точка вертикали соответствует высоте объекта. Если из точки пересечения (на нижеследующих чертежах — точка O) отложить на прямой размер снятый с вида сверху — то размер из полученной из точки до вершины вертикали (на нижеследующих чертежах — точка O1) - является истинным.
  • Следует помнить: Независимо от того, является рассматриваемая поверхность развертываемой или неразвертываемой, графически может быть построена только приближенная развертка. Это объясняется тем, что в процессе снятия и откладывания размеров и выполнения других графических операций неизбежны погрешности, обусловливаемые конструктивными особенностями чертежных инструментов, физическими возможностями глаза и погрешностями от замены дуг хордами и углов на поверхности плоскими углами. Приближенные развертки кривых не-развертывающихся поверхностей, кроме графических погрешностей, содержат погрешности, полученные за счет несовпадения элементов таких поверхностей с плоскими аппроксимирующими элементами. Поэтому для получения поверхности из такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение и сжатие отдельных ее участков. Приближенные развертки при тщательном выполнении обладают точностью, достаточной для практических целей.

Представленный в статье материал, подразумевает, что вы имеете представление об основах черчения, умеете делить окружность, находить центр отрезка при помощи циркуля, снимать/переносить размеры циркулем, пользоваться лекалами, и соответствующим справочным материалом. Потому, объяснение многих моментов в статье опущено.

Построение развёртки цилиндра[править]

Цилиндр[править]

Цилиндр

Тело вращения с наиболее простой развёрткой, имеющей форму прямоугольника, где две параллельные стороны соответствуют высоте цилиндра, а две другие параллельные стороны — длине окружности оснований цилиндра.

Усечённый цилиндр (рыбина)[править]

Усечённый цилиндр

Подготовка:

  • Для создания развёртки, начертим четырёхугольник ACDE в натуральную величину (см.чертёж).
  • Проведём перпендикуляр BD, из плоскости AC в точку D, отсекая от построения прямую часть цилиндра ABDE, которую можно достроить по мере надобности.
  • Из центра плоскости CD (точка O) проведём дугу, радиусом в половину плоскости CD, и разделим её на 6 частей. Из получившихся точек O, проведём перпендикулярные прямые к плоскости CD. Из точек на плоскости CD, проведём прямые, перпендикулярные к плоскости BD.

Построение:

  • Отрезок BC переносим, и превращаем в вертикаль. Из точки B, вертикали BC, проводим луч, перпендикулярный вертикали BC.
  • Циркулем снимаем размер C-O1, и откладываем на луче, из точки B, точку 1. Снимаем размер B1-C1, и откладываем перпендикуляр из точки 1.
  • Циркулем снимаем размер O1-O2, и откладываем на луче, из точки 1, точку 2. Снимаем размер B2-C2, и откладываем перпендикуляр из точки 2.
  • Повторять, пока не будет отложена точка D.
  • Получившиеся вертикали, из точки C, вертикали BC, до точки D — соединить лекальной кривой.
  • Вторая половина развёртки зеркальна.

Подобным образом строятся любые цилиндрические срезы.
Примечание: Почему "Рыбина" — если продолжить построение развёртки, при этом половину построить от точки D, а вторую в обратную сторону от вертикали BC, то получившийся рисунок, будет похож на рыбку, или рыбий хвост.

Построение развёртки конуса[править]

Конус[править]

Конус

Развёртка конуса может быть выполнена двумя способами. (См. чертёж)

  1. Если известен размер стороны конуса, из точки O, циркулем чертится дуга, радиусом равным стороне конуса. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.
  2. Строится конус в натуральную величину, из точки O, в точку A, ставится циркуль, и проводится дуга, проходящая через точки A и B. На дуге откладываются две точки (A1 и B1), на расстоянии равном длине окружности и соединяются с точкой О.

Для удобства, от можно откладывать половину длины окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.
Конус со смещёной вершиной строится так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями, по принципу триангуляции, с поочерёдным восстановлением высот от вида сверху.

Как отложить длину окружности на дуге:


  1. При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.
  2. При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.
  3. Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на дугу поочерёдно.
  4. Использую курвиметр.

Конус с квадратным (многогранным) основанием.[править]

Конуса с многогранным основанием
  1. В случае, если конус имеет ровное, радиальное, основание: (При построении окружности на виде с верху, путём установки циркуля в центр, и очерчивания окружности по произвольной вершине — все вершины основания укладываются на дугу окружности.) Построить конус, по аналогии с развёрткой обычного конуса (основание строить по окружности, от вида сверху). Отложить дугу из точки O. В произвольной части дуги поставить точку A1, и поочерёдно отложить все грани основания на дугу. Конечная точка последней грани будет B1.
  2. Во всех иных случаях конус строится по принципу триангуляции, с поочерёдным восстановлением высот от вида сверху.

Усечённый конус с доступной вершиной[править]

Усечённый конус

Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (См. чертёж).
Стороны AD и BC продолжить до появления точки пересечения O. Из точки пересечения O, провести дуги, с радиусом OB и OC.
На дуге OC, отложить длину окружности DC. На дуге OB, отложить длину окружности AB. Полученные точки соединить отрезками L1 и L2.
Для удобства, от можно откладывать половину длины окружности, в обе стороны от осевой линии конуса.

Как отложить длину окружности на дуге:

  1. При помощи нитки, длина которой равна длине окружности.
  2. При помощи металической линейки, которую следует изогнуть «по дуге», и поставить соответствующие риски.
  3. Построить окружность основания конуса в виде сверху, в натуральную величину. Разделить окружность на 12 или более равных частей, и отложить их на дуге поочерёдно.

Примечание: Совсем не обязательно, что отрезки L1 и L2, если их продолжить, будут сходится в точке O. Если быть до конца честным, то сойтись они должны, но с учётом поправок на погрешности инструмента, материала и глазомера — точка пересечения может оказаться чуть ниже или выше вершины, что не является ошибкой.

Усечённый конус с недоступной вершиной[править]

Строится так же, как усечённый конус со смещёнными основаниями.

Усечённый конус с переходом с круга на квадрат[править]

Конус с переходом с круга на квадрат

Подготовка:
Построить усечённый конус ABCD в натуральную величину (см. чертёж), построить вид сверху ABB1A1. Окружность поделить на равные части (в приведённом примере показано деление одной четверти). Точки AA1-AA4 соединить отрезками с точкой A. Провести ось O, из центра которой провести перпендикуляр O-O1, высотой равной высоте конуса.
Ниже, первичные размеры снимаются с вида сверху.
Построение:

  • Снять размер AD и построить произвольную вертикаль AA0-AA1. Снять размер AA0-A, и поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA1, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O1. Сделать отмашку циркулем из точки AA1, до предполагаемой точки A. Соединить отрезками точки AA0-A-AA1.
  • Снять размер AA1-AA2, из точки AA1 поставить «примерную точку», сделав отмашку циркулем. Снять размер A-AA2, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O1. Сделать отмашку циркулем из точки A, до предполагаемой точки AA2. Провести отрезок A-AA2. Повторить, пока не будет отложен отрезок A-AA4.
  • Снять размер A-AA5, из точки A поставить «примерную точку» AA5. Снять размер AA4-AA5, и на оси O, из точки O, отложить отрезок, снять размер из полученной точки до точки O1. Сделать отмашку циркулем из точки AA4, до предполагаемой точки AA5. Провести отрезок AA4-AA5.

Подобным образом построить остальные сегменты.
Примечание: Если конус имеет доступную вершину, и КВАДРАТНОЕ основание - то построение можно провести по принципу усечённого конуса с доступной вершиной, а основание — конуса с прямоугольным (многогранным) основанием. Точность будет ниже, но построение существенно проще.

Усечённый конус с непараллельными основаниями[править]

Усечённый конус с не параллельными основаниями

Усечённый конус со смещёнными основаниями[править]

Усечённый конус со смещёнными основаниями
Усечённый конус со смещёнными основаниями в векторном представлении

Подготовка:
Построить усечённый конус ABCD в виде сбоку, в натуральную величину. Построить вид сверху (см.чертёж). Поделить верхнее и нижнее основание на равные части A0-6 и B0-6, соединив соответствующие точки отрезками. Построить вспомогательные диагонали (на чертеже выделены синим цветом). Провести ось O, из центра которой провести перпендикуляр O-O1, высотой равной высоте конуса.
Ниже, первичные размеры снимаются с вида сверху.
Построение:

  • Построить вертикаль A0-B0. (В рассматриваемом случае, верхняя плоскость смещена влево так, что точки A и D находятся на одной вертикали. Поэтому размер AD, соответствующий размеру A0-B0 снимается с вида с боку. В иных случаях он получается восстановлением размера на оси O.)
  • Снять размер A0-A1. Из точки A0, вертикали A0-B0, сделать примерную отмашку циркулем. Снять размер B0-B1. Из точки B0, вертикали A0-B0, сделать примерную отмашку циркулем. Снять размер вспомогательной диагонали A0-B1, из точки O, сделать отмашку циркулем на ось, из полученной точки снять размер до точки O1, полученным размером сделать отмашку из точки A0, для получения точки B1.
  • Снять размер A1-B1, из точки O, сделать отмашку циркулем на ось, из полученной точки снять размер до точки O1, полученным размером сделать отмашку из точки B1, для получения точки A1.
  • Соединить отрезками точки A0-B0-B1-A1.

Аналогичным образом продолжить построение до получения половины, либо цельной развёртки.

Обобщения и замечания[править]

  • Используя вышеприведённую технику, можно построить развёртку практически любого объекта со сложной топографией.
  • При этом следует иметь в виду, что при работе с металлом следует брать внутренние размеры детали, т.к. при гибке и/или закатке, внешняя поверхность металла тянется, а внутренняя остаётся неизменной. (Верно при использовании современного гибочного оборудования. На устаревшем оборудовании, следует вводить поправки на износ поверхностей, и точность работы станка.)
  • При работе с металлом, толщиной свыше 6 мм, в зависимости от типа, марки металла и используемого гибочного оборудования - размеры следует брать не по внутренней стороне, а по «средней линии», которая проходит на половине толщины металла. Либо считать места сгибов не как прямые углы, а как дуги.
  • При изготовлении из металла, линии разметки (прямые, а не вспомогательные диагонали) могут использоваться как линии гиба, с последующей доводкой контура молотком/киянкой на вспомогательной поверхности.

См. также[править]

  1. ГОСТ 2.301-68* Форматы. (размеры форматов и их обозначение)
  2. Начертательная геометрия и черчение.Книга начертательная геометрия и машиностроительное черчение. Под редакцией Чекмарева А.А.
  3. Справочное руководство по черчению. Под редакцией Е.И. Годик и А.М. Хаскин. Москва "МАШИНОСТРОЕНИЕ" 1974г.
  4. ЧЕРЧЕНИЕ. Под редакцией Боголюбова С.К. Учебник для средних специальных учебных заведений (2-е изд.)