Последовательности/Принцип отображения

'Внимание! Для дальнейшего изложения рекомендуется вспомнить понятие геометрической прогрессии, а также связанные с нею некоторые формулы.'

Автор: В. А. Муси́нов.

Вводные понятия и обозначения

Зададимся вопросами: можно ли формулы арифметической прогрессии каким-нибудь образом «перевести» в формулы-аналоги геометрической прогрессии? Если да, то как? И со всеми ли формулами такое можно проделать? А из формул геометрической прогрессии возможно получить с помощью некоторой трансформации формулу, которую мы знаем из теории арифметических прогрессий?

На все эти вопросы данный раздел даст ответы.

Введём термин «множество формул арифметической прогрессии». Множество формул арифметической прогрессии (МФАП) — это совокупность равенств, составленные из различных комбинаций следующих компонентов арифметической прогрессии: разность, члены АП, индексы, суммы, произведения и какие-либо константы.

Замечание. Говоря о равенствах АП, надо понимать, что все они делятся на 2 группы:

а) те, о которых можно говорить, верны они или нет [следовательно, их истинность можно доказать];

б) те, о которых нет смысла вовсе говорить, что они истинны или нет [доказательство не требуется].

Пример 1. Формулы $S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ и $S_{n+1}={\frac {a_{1}+a_{n+1}}{2}}\cdot (n+1)$ являются верными.

Любые формулы, которые являются верными, будем называть правильными.

Пример 2. Формулы $S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot (n+1)$ и $S_{n+1}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ неверны, поскольку существуют, скажем так, их «правильные аналоги» (см. пример выше).

Все формулы, которые являются неверными, называются неправильными.

Пример 3. Об истинности равенства $P_{<a_{1},a_{n}>}=a_{1}\cdot a_{n}$ не имеет смысла говорить, так как мы просто взяли и перемножили первый и $n$-й члены АП и обозначили это как $P_{<a_{1},a_{n}>}.$

Формулы, которые нельзя обосновать или опровергнуть, будем называть формулами общего вида.

Соберём все три множества воедино во множество — так называемое множество формул арифметической прогрессии и обозначим его как ${\mathfrak {M}}_{\div }$. Данное множество, очевидно, не пустое. Действительно, в силу определения АП мы получаем уже одну формулу $a_{n}=a_{n-1}+d$, которая является элементом ${\mathfrak {M}}_{\div }$ (принадлежит ему).

Из замечания можно представить множество формул АП в виде объединения множества формул правильных, неправильных и общего вида:

${\mathfrak {M}}_{\div }=\mathbb {A} _{\text{прав}}\cup \mathbb {A} _{\text{неправ}}\cup \mathbb {A} _{\text{общ}},$ где $\mathbb {A} _{\text{прав}},\mathbb {A} _{\text{неправ}},\mathbb {A} _{\text{общ}}$ — соответственно множества правильных, неправильных и общего вида формул.

Ясно, что $\mathbb {A} _{\text{прав}}=\left\{{\mathcal {F_{\text{прав}}}}\right\}\subset {\mathfrak {M}}_{\div },\mathbb {A} _{\text{неправ}}=\left\{{\mathcal {F_{\text{неправ}}}}\right\}\subset {\mathfrak {M}}_{\div },\mathbb {A} _{\text{общ}}=\left\{{\mathcal {F_{\text{общ}}}}\right\}\subset {\mathfrak {M}}_{\div }.$

Пояснение:

${\mathcal {F_{\text{прав}}}}$ — это условное обозначение произвольной правильной формулы (${\mathcal {F_{\text{прав}}}}\in \mathbb {A} _{\text{прав}}$), а

$\left\{{\mathcal {F}}_{\text{прав}}\right\}\equiv \mathbb {A} _{\text{прав}}$ — множество всевозможных (произвольных) правильных формул.

Всё то же самое можно написать и для остальных.

Пример 4. Формула ${\mathcal {F_{1}}}$: $a_{n}=a_{2}+(n-2)d$, где $n\in \mathbb {N}$, является правильной. Значит, ${\mathcal {F_{1}}}\in \mathbb {A} _{\text{прав}}.$

Пример 5. Формула ${\mathcal {F_{2}}}$: $S_{<a_{2},(n-2)d>}=a_{2}+(n-2)d$, где $n\in \mathbb {N}$, не может быть оценена как правильная или неправильная. Значит, ${\mathcal {F_{2}}}\notin \mathbb {A} _{\text{прав}}~\And ~{\mathcal {F_{2}}}\notin \mathbb {A} _{\text{неправ}}\mid \Rightarrow {\mathcal {F_{2}}}\in \mathbb {A} _{\text{общ}}.$

Любую формулу из ${\mathfrak {M}}_{\div }$ будем просто записывать как ${\mathcal {\div F}}.$

Теперь повторим всё вышесказанное для геометрической прогрессии. А именно:

1. Множество формул геометрической прогрессии (МФГП) — это совокупность равенств, составленные из различных комбинаций следующих компонентов геометрической прогрессии: знаменатель, члены ГП, индексы, суммы, произведения и какие-либо константы.
2. ${\mathfrak {M}}_{\divideontimes }$ — множество формул геометрической прогрессии.
3. Множество ${\mathfrak {M}}_{\divideontimes }\neq \varnothing$, так как формула $b_{n}=b_{n-1}\cdot q$ принадлежит данному множеству.
4. ${\mathfrak {M}}_{\divideontimes }=\mathbb {B} _{\text{прав}}\cup \mathbb {B} _{\text{неправ}}\cup \mathbb {B} _{\text{общ}},$ где $\mathbb {B} _{\text{прав}},\mathbb {B} _{\text{неправ}},\mathbb {B} _{\text{общ}}$ — соответственно множества правильных, неправильных и общего вида формул.
5. Любую формулу из ${\mathfrak {M}}_{\divideontimes }$ будем просто записывать как ${\mathcal {\divideontimes F}}.$

Принцип отображения

Из всего того, что было сказано теперь можно сформулировать следующее утверждение.

Но сначала дадим определение: два множества назовём сопряжёнными, если существует отображение одного множества на другое, что все элементы первого переходят покомпонентно во все элементы второго.

Пусть даны непустые сопряжённые подмножества $\mathbb {X} \subset {\mathfrak {M}}_{\div }$ и $\mathbb {Y} \subset {\mathfrak {M}}_{\divideontimes }$ такие, что $\mathbb {X} =\left\{{\mathcal {\div F}}\right\}$ и $\mathbb {Y} =\left\{{\mathcal {\divideontimes F}}\right\}.$ Установим отображение $\varphi :\mathbb {X} \longrightarrow \mathbb {Y} ,$ или в другой записи: $\varphi (\mathbb {X} )=\mathbb {Y} .$ Тогда при $\forall (i,j,n\in \mathbb {N} )$ выполняются условия:

1) $n\mapsto n$

2) $d\mapsto q$

3) $a_{i}+n\mapsto b_{i}\cdot n$ и $a_{i}-n\mapsto {\frac {b_{i}}{n}}$ $\mid \Rightarrow a_{i}\pm n\mapsto b_{i}\cdot {n^{\pm 1}}$

4) ${a_{i}}\cdot {n}\mapsto b_{i}^{n}$ и ${\frac {a_{i}}{n}}\mapsto {\sqrt[{n}]{b_{i}}}$ $\mid \Rightarrow a_{i}\cdot {n^{\pm 1}}\mapsto {b_{i}}^{n^{\pm 1}}$

5) $a_{i}+a_{j}\mapsto b_{i}\cdot b_{j}$ и $a_{i}-a_{j}\mapsto {\frac {b_{i}}{b_{j}}}$ $\mid \Rightarrow a_{i}\pm a_{j}\mapsto b_{i}\cdot {{b_{j}}^{\pm 1}}$

Замечание 1. Формулы 3) и 4) будут выполняться вместо $n$ и для разности $d$ и знаменателя $q$, где $\varphi (d)=q.$

Замечание 2. Первое условие не совсем корректно записано. Правильная запись: $n\mapsto {\widetilde {n}},$ где $n$ используется в качестве обозначения некоторого номера для АП, а ${\widetilde {n}}$ — ради того же самого для ГП. Но дабы не загромождать последующие выкладки этими нововведениями, мы будем придерживаться исходной записи, вкладывая в это, конечно, немного разные смыслы.

Замечание 3. Полное обоснование условий 1—5 будет дано позднее. Почему так? Да всё потому, что будет намного логичнее и понятнее.

Следствие 1. $0\mapsto 1$

Доказательство: $0\mapsto 1$
Это просто, ведь если верно условие 5 $a_{i}-a_{j}\mapsto {\frac {b_{i}}{b_{j}}}$, то оно же верно и при $i=j$. Поэтому $a_{i}-a_{i}\mapsto {\frac {b_{i}}{b_{i}}}\Longleftrightarrow 0\mapsto 1.$

Следствие 2. $a_{i}\mapsto b_{i}$

Доказательство: $a_{i}\mapsto b_{i}$
По условию 3 $a_{i}+n\mapsto b_{i}\cdot n$ при $n=0$ получаем, что $a_{i}+0\mapsto b_{i}\cdot 1\Longleftrightarrow a_{i}\mapsto b_{i}.$

Теорема 1: если ${\mathcal {\div F}}\in \mathbb {X}$ и $\varphi (\mathbb {X} )=\mathbb {Y} ,$ то $\varphi ({\mathcal {\div F}})\in \mathbb {Y} .$

Доказательство

Раз $\varphi (\mathbb {X} )=\mathbb {Y}$, то $\varphi (\mathbb {\left\{{\mathcal {\div F}}\right\}} )=\mathbb {Y}$. Но так как ${\mathcal {\div F}}\in \mathbb {X}$, или, что то же самое, ${\mathcal {\div F}}\in \mathbb {\mathbb {\left\{{\mathcal {\div F}}\right\}} }$; это означает, что $\varphi ({\mathcal {\div F}})\in \varphi (\mathbb {\mathbb {\left\{{\mathcal {\div F}}\right\}} } ).$ Подставляя вместо $\varphi (\mathbb {\left\{{\mathcal {\div F}}\right\}} )$ множество $\mathbb {Y} ,$ мы получим $\varphi ({\mathcal {\div F}})\in \mathbb {Y} ,$ что и требовалось доказать.

Другими словами, для любой формулы ${\mathcal {\div F}}\in \mathbb {X}$ найдётся такая формула ${\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {Y} ,$ что $\varphi ({\mathcal {\div F}})={\mathcal {\divideontimes F}}.$

Пример. Нетрудно видеть, что формула $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ из $\mathbb {X} \subset {\mathfrak {M}}_{\div }$ отображается во множество ${\displaystyle \mathbb {Y} \subset {\mathfrak {M}}_{\divideontimes }}$. Причём образом $\varphi (a_{n}=a_{1}+(n-1)d)$ будет $b_{n}=b_{1}\cdot {q}^{n-1}.$

Демонстрация того, как это получается, смотрите в задаче.

Решим следующую задачу.

Отобразить формулу $a_{n+1}=a_{n}+d$ из $\mathbb {X} \subset {\mathfrak {M}}_{\div }$ во множество ${\displaystyle \mathbb {Y} \subset {\mathfrak {M}}_{\divideontimes }}$, то есть найти образ $\varphi (a_{n+1}=a_{n}+d).$

Имеем $\varphi (a_{n+1}=a_{n}+d)\Longleftrightarrow \varphi (a_{n+1})=\varphi (a_{n}+d)\Longleftrightarrow b_{n+1}=\varphi (a_{n})\cdot \varphi (d)\Longleftrightarrow b_{n+1}=b_{n}\cdot q.$Формула $b_{n+1}=b_{n}\cdot q$, как мы знаем, находится во множестве ${\mathfrak {M}}_{\divideontimes },$ но раз $a_{n+1}=a_{n}+d$ из $\mathbb {X} ,$ то в силу доказанной теоремы $b_{n+1}=b_{n}\cdot q$ из $\mathbb {Y} .$ Ответ: $b_{n+1}=b_{n}\cdot q.$

Основываясь на задаче сверху, построим таблицу-«переводчика» (т. е. перевода формул из арифметической прогрессии в их аналоги из множества формул геометрической прогрессии).

Шаблон:По диагонали	Арифметическая	Геометрическая	Примечание
I. Формула $n$-го члена	$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ $a_{n}=a_{n-1}+d$ $a_{n}=a_{m}+(n-m)d$ $a_{n}=a_{x}+y\cdot d$	$b_{n}=b_{1}\cdot {q^{n-1}}$ $b_{n}=b_{n-1}\cdot q$ $b_{n}=b_{m}\cdot {q^{n-m}}$ $b_{n}=b_{x}\cdot {q^{y}}$	$\forall (n\in \mathbb {N} )$ $\forall (n\in \mathbb {N} )$ $\forall (n,m\in \mathbb {N} ):n>m\geqslant 2$ $n=x+y$
II. Признак прогрессии	$a_{n}=u\cdot n+v$	$b_{n}=u^{n}\cdot v$	$u$ и $v$ — заданные числа
III. Характеристическое свойство	$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$ $a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$	$b_{n}={\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}$ $b_{n}={\sqrt {b_{n-k}\cdot b_{n+k}}}$	$n\geqslant 2$ $n>k\geqslant 2$
IV. Лемма	$a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ $a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=...=a_{k}+a_{n-k+1}$	$b_{n}\cdot b_{m}=b_{k}\cdot b_{l}$ $b_{1}\cdot b_{n}=b_{2}\cdot b_{n-1}=...=b_{k}\cdot b_{n-k+1}$	$\forall (n,m,k,l)\in \mathbb {N} :n+m=k+l$ $n>k\geqslant 2$
V. Тождество	$(k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0$	${b_{m}}^{k-l}\cdot {b_{l}}^{m-k}\cdot {b_{k}}^{l-m}=1$	$\forall (k,l,m)\in \mathbb {N}$
VI. Сумма / Произведение первых $n$ членов	$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ $S_{n}={\frac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n$	$P_{n}=\left({b_{1}\cdot b_{n}}\right)^{\frac {n}{2}}$ $P_{n}=\left({{b_{1}}^{2}\cdot q}\right)^{\frac {n(n-1)}{2}}$	$n>1$
VII. Следствие	$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$	$b_{n}={\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}$	$n>1$
VIII. Сумма / Произведение членов начиная с $k$-го члена, и заканчивая $n$-м членом	$S_{k,n}={S_{n}}-{S_{k-1}}$	$P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}$	$n>k\geqslant 2$
IX. Интересный факт	$S_{2n}=S_{n}+{\frac {1}{3}}S_{3n}$	$P_{2n}=P_{n}\cdot {\sqrt[{3}]{P_{3n}}}$	$S_{k}$ — сумма $k$ первых членов АП, а $P_{m}$ — произведение $m$ первых членов ГП

Замечание. Легко видеть, что сумма АП "перетекает" в произведение ГП: $S_{n}\mapsto P_{n}$. Причём самой суммы геометрической прогрессии в таблице нет. Напоминаю, что формулы (основные), находящиеся во второй графе, мы брали из свойств арифметической прогрессии; затем эти формулы "переделывали" в их аналоги из геометрической прогрессии.

Покажем ещё раз, как получаются формулы ГП в таблице, на двух примерах.

Докажем строчку VI

Нам нужно "перевести" две формулы из арифметической прогрессии в две формулы геометрической. Для этого достаточно проделать с первой строчкой данное действие. Имеем $\varphi (S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n)\Longleftrightarrow \varphi (S_{n})=\varphi ({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n)\Longleftrightarrow \varphi (S_{n})=\varphi ({a_{1}}\cdot {\frac {n}{2}}+{a_{n}}\cdot {\frac {n}{2}})\Longleftrightarrow \varphi (S_{n})=\varphi ({a_{1}}\cdot {\frac {n}{2}})\cdot \varphi ({a_{n}}\cdot {\frac {n}{2}})\Longleftrightarrow \varphi (S_{n})=({\varphi ({a_{1}})}^{\frac {n}{2}})\cdot ({\varphi ({a_{n}})}^{\frac {n}{2}})\Longleftrightarrow \varphi (S_{n})=({b_{1}}^{\frac {n}{2}})\cdot ({b_{n}}^{\frac {n}{2}})\Longleftrightarrow \varphi (S_{n})=\left({b_{1}\cdot b_{n}}\right)^{\frac {n}{2}}.$ Но левая часть последнего равенства означает произведение от $b_{1}$ до $b_{n}$. А такое произведение обозначается как $P_{n}$. Следовательно, можем написать: $\varphi (S_{n})=P_{n}$, или $\varphi :S_{n}\mapsto P_{n}$. Итак, мы доказали, что хотели. Со вторым равенством совсем просто. В примере текущего параграфа показывалось, что образом $\varphi (a_{n}=a_{1}+(n-1)d)$ будет $b_{n}=b_{1}\cdot {q}^{n-1}.$ Осталось просто дело подстановки: в формулу $S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$ подставить $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$, а в формулу $P_{n}=\left({b_{1}\cdot b_{n}}\right)^{\frac {n}{2}}$ подставить $b_{n}=b_{1}\cdot {q}^{n-1}.$

Следствие. $S_{n}\mapsto P_{n}.$

А вот обратная задача.

Дана формула ${\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}={b_{1}}{b_{n}}$ из МФГП, где $\sigma _{n}$ — сумма обратных величин $n$ первых членов ГП. Найти её прообраз, находящийся в МФАП.

Имеем ${\left({\varphi }\right)}^{-1}\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}={b_{1}}{b_{n}}\right)\Longleftrightarrow {\left({\varphi }\right)}^{-1}\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)={\left({\varphi }\right)}^{-1}\left({b_{1}}{b_{n}}\right)\Longleftrightarrow {\left({\varphi }\right)}^{-1}\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)={\left({\varphi }\right)}^{-1}\left(b_{1}\right)+{\left({\varphi }\right)}^{-1}\left(b_{n}\right)\Longleftrightarrow {\left({\varphi }\right)}^{-1}\left({\frac {S_{n}}{\sigma _{n}}}\right)=a_{1}+a_{n}.$ В левой части последнего равенства мы не сможем преобразовать числитель и знаменатель дроби. Получается, что от $S_{n}$ и $\sigma _{n}$ найти прообраз мы не можем, но от их частного можем. Ответ: ${\left({\varphi }\right)}^{-1}\left({S_{n}}\right)-{\left({\varphi }\right)}^{-1}\left({\sigma _{n}}\right)=a_{1}+a_{n}.$

Как уже было объявлено, суммы геометрической прогрессии в таблице нет. Но мы знаем, что формула для неё существует и даже правильная. Таким образом, можно говорить о существовании подмножества МФГП, которые не имеют прообразов в МФАП. Смотрите лемму.

Лемма. Существует подмножество $\mathbb {B''} _{\text{прав}}\subset \mathbb {B} _{\text{прав}}$ такое, что для любой правильной формулы ${\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {B''} _{\text{прав}}$ нет ни одной формулы ${\mathcal {\div F}}\in \mathbb {A} _{\text{прав}}$, чтобы выполнялось равенство: ${\varphi }({\mathcal {\div F}})={\mathcal {\divideontimes F}}.$

По-простому это звучит так: есть такие правильные формулы из МФГП, у которых прообразы — формулы НЕ правильные, а общего вида!

Доказательство

Лемма утверждает, что существует такое подмножество — значит, оно не должно быть пустым. Поэтому в качестве доказательства этого факта нам достаточно привести какого-нибудь представителя из данного множества, то есть хотя бы одну формулу ${\mathcal {\divideontimes F}}$, для которой нет прообраза ${\mathcal {\div F}}$. Такой формулой может быть, например, сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\dfrac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\dfrac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{если }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{если }}q=1\end{cases}}.$ Рассмотрим первый случай при $q\neq 1$. Исходя из операций, которые мы писали в начале, с компонентами мы нигде не видим получение суммы или разности двух компонентов. То есть прообраза ${{\varphi }^{-1}}(q^{n}-1)$ и даже ${{\varphi }^{-1}}(q-1)$ мы не знаем. Поэтому первую строчку мы никак не можем «перевести» в формулу арифметической прогрессии. Что касается второго случая при $q=1$, то мы безусловно находим прообраз и это будет ${{\varphi }^{-1}}(n\cdot b_{1})=a_{1}+n$. Однако эта формула не является правильной (впрочем, как и неправильной), поскольку не имеет какого-либо доказательства. Значит, она общего вида. Собственно, мы это и хотели показать.

Замечание. Позже мы приведём ещё один пример формулы, которая находится во множестве, упоминаемом в лемме.

Теорема 2: все формулы из $\mathbb {A} _{\text{прав}}$ можно отобразить в некоторое подмножество $\mathbb {B'} _{\text{прав}}\subset \mathbb {B} _{\text{прав}}.$

Другими словами, можно сформулировать это так: если ${\mathcal {\div F}}$ — правильная формула, то ${\mathcal {\divideontimes F}}$ — тоже правильная.

Это утверждение очень важное, поскольку один раз доказанная формула из арифметической прогрессии даёт нам задаром формулу из геометрической прогрессии, которая уже априори доказана (в силу того, что мы устроили отображение $\varphi$).

Доказательство

По теореме 1 верно $\varphi ({\mathcal {\div F}})={\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {\mathbb {B} _{\text{прав}}} ,$ где ${\mathcal {\div F}}\in \mathbb {A} _{\text{прав}}.$ Необходимо доказать, что ${\mathcal {\divideontimes F}}\in (\mathbb {\mathbb {B} _{\text{прав}}} \setminus \mathbb {B''} _{\text{прав}})\equiv \mathbb {B'} _{\text{прав}}.$ Множество $(\mathbb {\mathbb {B} _{\text{прав}}} \setminus \mathbb {B''} )$ — это такие формулы, которые принадлежат $\mathbb {\mathbb {B} _{\text{прав}}}$ и одновременно не принадлежат $\mathbb {B''}$. Запись: $\mathbb {B'} _{\text{прав}}\equiv \mathbb {\mathbb {B} _{\text{прав}}} \setminus \mathbb {B''} _{\text{прав}}.$ Действительно, если предположить противное, то есть что ${\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {B''} _{\text{прав}},$ тогда это значит отсутствие прообраза формулы ${\mathcal {\divideontimes F}}$ в $\mathbb {A} _{\text{прав}}\Longleftrightarrow {\mathcal {\div F}}\notin \mathbb {A} _{\text{прав}}.$ Но это противоречит условию: $\varphi ({\mathcal {\div F}})={\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {\mathbb {B} _{\text{прав}}} ,$ где ${\mathcal {\div F}}\in \mathbb {A} _{\text{прав}}.$Вывод: $\varphi ({\mathcal {\div F}})={\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {\mathbb {B'} _{\text{прав}}} .$

Следствие 1. Если ${\mathcal {\div F}}$ — неправильная формула, то ${\mathcal {\divideontimes F}}$ — точно неправильная. Кратко: ${\varphi }{\left(\mathbb {\mathbb {A} _{\text{неправ}}} \right)}=\mathbb {B} _{\text{неправ}}.$

Следствие 2. $\varphi (\mathbb {A} _{\text{прав}})=\mathbb {\mathbb {B'} _{\text{прав}}} .$ Или: множества $\mathbb {A} _{\text{прав}}$ и $\mathbb {\mathbb {B'} _{\text{прав}}}$ являются сопряжёнными, равномощными и изоморфными.

Следствие 3. Множество $\mathbb {\mathbb {B} _{\text{прав}}}$ шире, чем $\mathbb {\mathbb {A} _{\text{прав}}}$.

Замечание 1. Понятие «шире» означает содержание бо́льшего числа элементов.

Замечание 2. Зная поведение подмножеств МФАП и МФГП, можно говорить о размерах самих этих множеств.

Предложение

---

Если ${\mathcal {\divideontimes F}}$ — формула общего вида, то ${\mathcal {\div F}}$ — тоже общего вида. Кратко: ${\varphi }^{-1}\left(\mathbb {\mathbb {B} _{\text{общ}}} \right)=\mathbb {A} _{\text{общ}}$.

• Доказательство:

  От противного.

Допустим, что ${\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {\mathbb {B} _{\text{общ}}}$, а ${\varphi }^{-1}\left({\mathcal {\divideontimes F}}\right)\notin \mathbb {A} _{\text{общ}}$. Из последнего условия делаем две записи: ${\varphi }^{-1}\left({\mathcal {\divideontimes F}}\right)\in \mathbb {A} _{\text{прав}}$ или ${\varphi }^{-1}\left({\mathcal {\divideontimes F}}\right)\in \mathbb {A} _{\text{неправ}}$.

Рассмотрим первый случай: ${\varphi }^{-1}\left({\mathcal {\divideontimes F}}\right)\in \mathbb {A} _{\text{прав}}$. По теореме 2 ${\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {\mathbb {B'} _{\text{прав}}}$, то есть ${\mathcal {\divideontimes F}}$ — правильная формула. Но это не так, ибо ${\mathcal {\divideontimes F}}\in \mathbb {\mathbb {B} _{\text{общ}}}$ (по условию).

Второй случай — ${\varphi }^{-1}\left({\mathcal {\divideontimes F}}\right)\in \mathbb {A} _{\text{неправ}}$, — также даёт нам противоречие с условием в силу следствия 1.

Поэтому, ${\varphi }^{-1}\left({\mathcal {\divideontimes F}}\right)\in \mathbb {A} _{\text{общ}}$. Следовательно, ${\varphi }^{-1}\left(\mathbb {\mathbb {B} _{\text{общ}}} \right)=\mathbb {A} _{\text{общ}}$.

Теорема 3: ${\varphi }^{-1}\left({{\mathfrak {M}}_{\divideontimes }}\setminus {\mathbb {B''} _{\text{прав}}}\right)={{\mathfrak {M}}_{\div }}$.

То есть прообраз формулы ${\mathcal {\divideontimes F}}$ «ищется» однознозначно в том и только в том случае, когда формула ${\mathcal {\divideontimes F}}$ берётся из множества ${{\mathfrak {M}}_{\divideontimes }}\setminus {\mathbb {B''} _{\text{прав}}}$.

Гипотеза: $\varphi (\mathbb {A} _{\text{общ}})=\mathbb {\mathbb {B''} _{\text{прав}}} \cup \mathbb {B} _{\text{общ}}$.

Следствие 4. Множество формул геометрической прогрессии ${\mathfrak {M}}_{\divideontimes }$ совпадает со множеством формул арифметической прогрессии ${\mathfrak {M}}_{\div }$.

Доказательство: $\left|{\mathfrak {M}}_{\divideontimes }\right|=\left|{\mathfrak {M}}_{\div }\right|$.

Рассмотрим мощности множеств ${\mathfrak {M}}_{\div }=\mathbb {A} _{\text{прав}}\cup \mathbb {A} _{\text{неправ}}\cup \mathbb {A} _{\text{общ}}$ и ${\mathfrak {M}}_{\divideontimes }=\mathbb {B} _{\text{прав}}\cup \mathbb {B} _{\text{неправ}}\cup \mathbb {B} _{\text{общ}}$. Галкой «$\bigvee$» обозначим временно один из символов: $\leqslant ,<,=,>,\geqslant$. А именно: $\left|{\mathfrak {M}}_{\div }\right|\bigvee \left|{\mathfrak {M}}_{\divideontimes }\right|\Longleftrightarrow \left|\mathbb {A} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {A} _{\text{неправ}}\right|+\left|\mathbb {A} _{\text{общ}}\right|\bigvee \left|\mathbb {B} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {B} _{\text{неправ}}\right|+\left|\mathbb {B} _{\text{общ}}\right|.$ Так как $\left|\mathbb {A} _{\text{неправ}}\right|=\left|\mathbb {B} _{\text{неправ}}\right|$, то $\left|\mathbb {A} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {A} _{\text{общ}}\right|\bigvee \left|\mathbb {B} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {B} _{\text{общ}}\right|$. Поскольку $\left|\mathbb {A} _{\text{прав}}\right|=\left|\mathbb {B'} _{\text{прав}}\right|$ и $\left|\mathbb {B} _{\text{прав}}\right|=\left|\mathbb {B'} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {B''} _{\text{прав}}\right|$, то $\left|\mathbb {A} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {A} _{\text{общ}}\right|\bigvee \left|\mathbb {B'} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {B''} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {B} _{\text{общ}}\right|\Longleftrightarrow \left|\mathbb {A} _{\text{общ}}\right|\bigvee \left|\mathbb {B''} _{\text{прав}}\right|+\left|\mathbb {B} _{\text{общ}}\right|.$ Но в силу гипотезы знак «$\bigvee$» заменяется на «равно» — это означает, что $\left|{\mathfrak {M}}_{\divideontimes }\right|=\left|{\mathfrak {M}}_{\div }\right|$.

Удивительно, что подмножество МФАП целиком и полностью можно отобразить на непустое подмножество МФГП. То есть они не изоморфны, хотя так похожи!

Другой способ выведения формул

Разберём снова задачу о нахождении образа.

Найти $\varphi \left(n={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right),$ где $n\geqslant 2.$

Образ частного находить неудобно, однако в наших силах сделать небольшое преобразование: умножить обе части на знаменатель. Мы получим : $\varphi \left(n(a_{n}-a_{n-1})=a_{n+1}-a_{1}\right)\Longleftrightarrow \varphi \left(a_{n}\cdot {n}-a_{n-1}\cdot {n}\right)=\varphi \left(a_{n+1}-a_{1}\right)\Longleftrightarrow {\frac {\varphi \left(a_{n}\cdot {n}\right)}{\varphi \left(a_{n-1}\cdot {n}\right)}}={\frac {\varphi \left(a_{n+1}\right)}{\varphi \left(a_{1}\right)}}\Longleftrightarrow {\left({\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\right)}^{n}={\frac {b_{n+1}}{b_{1}}}.$ Ответ: $n=\log _{\left({\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\right)}{\left({\frac {b_{n+1}}{b_{1}}}\right)}.$

Естественно нам стоит полагать, что разность $d\neq 0$ и знаменатель $\varphi \left(d\neq 0\right)\Longleftrightarrow \varphi (d)\neq \varphi (0)\Longleftrightarrow q\neq 1$, иначе всё коту под хвост. Из этого делаем простой вывод: $a_{n}\neq a_{n-1},b_{n}\neq b_{n-1}.$ Что собственно из исходной формулы и последней следует. Легко проверить, что формула $n=\log _{\left({\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\right)}{\left({\frac {b_{n+1}}{b_{1}}}\right)}$ верна для $\forall (n\in \mathbb {N} ):n\geqslant 2.$

Но вот чего-чего, а логарифмов мы не ожидали получить... Попробуем сделать следующие выкладки и заранее скажем: пусть существует такое число $\alpha \in \mathbb {R}$, что выполняется равенство

${\widetilde {n}}={\frac {\log {\alpha }{\left({\frac {b_{n+1}}{b_{1}}}\right)}}{\log {\alpha }{\left({\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\right)}}}.$

Помним, что число $n$ в МФГП не совсем $n$, а $\varphi (n)={\widetilde {n}}.$ А дальше делаем так:

${\widetilde {n}}={\frac {\log {\alpha }{\left({b_{n+1}}\right)}-\log {\alpha }{\left({b_{1}}\right)}}{\log {\alpha }{\left({b_{n}}\right)}-\log {\alpha }{\left({b_{n-1}}\right)}}}.$

Эта формула ну прям совсем похожа на ту, с которой начинали!

Напишем систему:

${\begin{cases}n={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}},\\\\{\widetilde {n}}={\frac {\log {\alpha }{\left({b_{n+1}}\right)}-\log {\alpha }{\left({b_{1}}\right)}}{\log {\alpha }{\left({b_{n}}\right)}-\log {\alpha }{\left({b_{n-1}}\right)}}}.\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}n={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{a_{n}-a_{n-1}}},\\\\{\widetilde {n}}={\frac {\log {\alpha }{\left({\varphi \left(a_{n+1}\right)}\right)}-\log {\alpha }{\left({\varphi \left(a_{1}\right)}\right)}}{\log {\alpha }{\left({\varphi \left(a_{n}\right)}\right)}-\log {\alpha }{\left({\varphi \left(a_{n-1}\right)}\right)}}}.\end{cases}}$

Легко видеть, что $a_{n+1}:=\log {\alpha }{\left({\varphi \left(a_{n+1}\right)}\right)}$, например.