Основы алгебры/Правило переноса слагаемого

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к: навигация, поиск

При решении и преобразовании уравнений часто возникает потребность перенести слагаемое из одной стороны уравнения в другую. Необходимо отметить, что слагаемое может быть как со знаком «плюс», так и со знаком «минус». Правило говорит, что при переносе слагаемого из одной части уравнения в другую необходимо поменять знак. Также правило работает и для неравенств.

Примеры[править]

  • .

Перенесём сначала 5x из левой части уравнения в правую:

.

Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:

Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус — на плюс. Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.

Перенесём первое слагаемое в правую сторону уравнения. Получим:

Отметим, что в этом примере слагаемым являлось целое выражение . При этом нельзя отдельно переносить или , поскольку это лишь составные части слагаемого. По той же причине нельзя переносить или . Но можно раскрыть скобку и получить два слагаемых: и . Такие два слагаемых уже можно переносить по отдельности.

  • Точно также можно преобразовывать неравенства. Например:

Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем:

или

Доказательство[править]

Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

Примеры, иллюстрирующие доказательство[править]

Для уравнений[править]

Возьмём уравнение:

Допустим мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей

Слева сократится с , и иксов не останется. Справа сократится с , и останется :

Теперь можно привести подобные слагаемые:

Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:

Тождество верно.

Правило для уравнений доказано,,,,

Для неравенств[править]

Возьмём неравенство:

Допустим, мы хотим перенести все иксы из левой части неравенства в правую. Вычтем из обеих частей. Слева сократится с , и иксов не останется. Справа сократится с и останется :

Теперь можно привести подобные слагаемые:

Следовательно, 4 — корень уравнения 5x+2=7x-6. Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению.