Общие аспекты теории исследования операций

§ 1.1. Основные понятия исследования операций. Математическая модель операции

Изложение любого предмета начинается с определения или описания используемых в нем основных понятий. В исследовании операций естественно надо начинать с самого понятия «операция».

Определение «Операция».  Операцией называется совокупность действий, направленных на достижение некоторой цели, или совокупность целенаправленных действий.

Пример

Пример:

Примеры практических задач, связанных с ИО:

1. План снабжения предприятий
2. Постройка участка магистрали
3. Продажа сезонных товаров
4. Снегозащита дорог
5. Противолодочный рейд
6. Выборочный контроль продукции
7. Медицинское обследование
8. Библиотечное обслуживание

Наличие цели в операции подразумевает существование активных участников, которые преследуют эту цель. Для выделения таких участников в особую группу существует понятие оперирующей стороны.

Определение «Оперирующая сторона».  Оперирующей стороной (ОС) называется совокупность лиц, которые стремятся в данной операции к поставленной цели.

Кроме того, в операции могут присутствовать и другие действующие лица, которые оказывают влияние на ход операции, но не преследуют цель оперирующей стороны, в частности, могут стремиться к собственным целям. При изучении операции рассмотрение ведётся с позиции оперирующей стороны, а основная задача исследования состоит в поиске и сравнении различных путей достижения поставленной цели.

В оперирующей стороне удобно выделить участника, который называется исследователем операции.

Определение «Исследователь операции».  Исследователь операции (ИО) принадлежит к оперирующей стороне и преследует ту же цель, однако он, как правило, сам не принимает решения по выбору способов действий, а только помогает в этом оперирующей стороне, даёт научную основу для принятия решений.

Принципиальное отличие исследователя операции от оперирующей стороны в целом состоит в том, что в момент проведения исследования, он может не иметь всей информации, которая будет у оперирующей стороны в момент проведения операции. Однако ИО должен предвидеть возможность поступления такой информации и давать рекомендации с учётом этой информации, т. е. предлагать не фиксированные действия, а правила поведения как функции от ожидающейся информации.

Это обстоятельство ещё более осложняет задачу исследователя операции. Ответственность за принятие решений и окончательный выбор лежит на оперирующей стороне.

Основным инструментом исследователя операции являются математические модели. Несмотря на их большое разнообразие, существуют важнейшие элементы, которые присутствуют практически во всех моделях. Так, в любой операции для достижения поставленной цели ОС должна иметь некоторый запас ресурсов.

Пример

Пример:

Минеральное сырьё, техническое оборудование, деньги, рабочая сила, вычислительная техника и т. д. — всё это ресурсы.

В математической модели операции соответствующий элемент принято называть активными средствами. Действия, направленные на достижение поставленной цели, представляют собой способы использования активных средств.

Определение. Соответствующий элемент математической модели называют стратегией и обычно обозначают переменной $x$. Переменная $x$ может быть скалярной величиной, вектором или функцией.

Стратегии являются факторами, влияющими на ход операции, контролируемыми оперирующей стороной, т. е. выбираемыми ею по своему усмотрению. Кроме них существуют неконтролируемые факторы, влияющие на ход операции, которыми оперирующая сторона не распоряжается, например природные условия. Неконтролируемые факторы будем обозначать переменной $y$. Общее описание модели должно включать также сведения об информированности оперирующей стороны и исследователя операции об обстановке протекания операции, т. е. о значениях неконтролируемых факторов.

Неконтролируемые факторы, исходя из информированности о них исследователя операции, можно разбить на три группы: фиксированные, случайные, неопределённые.

Определение «Фиксированные неконтролируемые факторы».  Фиксированные неконтролируемые факторы — это такие факторы, значения которых точно известны исследователю операции.

Определение «Случайные неконтролируемые факторы».  Случайные неконтролируемые факторы представляют собой случайные величины, законы (функции) распределения которых точно известны исследователю операции.

Определение «Неопределённые неконтролируемые факторы».  Неопределённые неконтролируемые факторы являются недетерминированными (случайными) величинами, относительно которых исследователю операции известна лишь область возможных значений или класс возможных законов распределения.

Необходимо подчеркнуть, что неконтролируемые факторы описываются с позиции исследователя операции (ИО). Что же касается оперирующей стороны (ОС), в целом, то у неё в момент проведения операции может появиться дополнительная информация, существенно сужающая или даже исключающая неопределенность. Но так как мы занимаемся вопросами исследования операций, для нас важна именно информированность исследователя, т. е. информация, доступная в момент проведения исследования, хотя возможное содержание информации, поступающей в момент проведения операции, при этом также должно учитываться.

Ход операции можно описать некоторым набором фазовых переменных. Степень соответствия хода операции поставленной цели в математической модели характеризуется критерием эффективности ${\mathcal {W}}$, который представляет собой некоторую функцию (в общем случае, вектор-функцию) зависящую от фазовых переменных, стратегий и неконтролируемых факторов. В математической модели эквивалентом цели операции является, как правило, требование максимизации критерия эффективности.

§ 1.2. Принципы оптимальности

Основная задача исследования операций состоит в сравнении между собой различных стратегий и выборе наилучшей из них. Возникает вопрос: на основании чего сравнивать стратегии?

На первый взгляд ответ прост — с помощью критерия эффективности, который собственно для этого и задается. На самом деле, для сравнения стратегий критерия эффективности достаточно только в том случае, когда у нас нет неконтролируемых факторов или имеются лишь фиксированные неконтролируемые факторы.

При наличии же случайных или неопределённых неконтролируемых факторов сравнивать между собой стратегии непосредственно с помощью критерия эффективности невозможно, хотя и в этом случае критерий лежит в основе сравнения.

Для того чтобы иметь возможность сравнивать стратегии, удобнее всего иметь численную оценку каждой стратегии. Оценка, ставящая в соответствие каждой стратегии х действительное число, т. е. являющаяся функцией переменной $x$, называется оценкой эффективности стратегии. Если имеется только фиксированный неконтролируемый фактор, т. е. у принимает известное исследователю операции значение $y_{0}$, то критерий эффективности ${\mathcal {W}}={\boldsymbol {F}}{\bigl (}x,\,y_{0}{\bigr )}$ является функцией только $x$. Введем обозначение f 0 (х)=F(x,y 0 ). Величина f 0 (х) может служить оценкой эффективности стратегии. В дальнейшем будем предполагать, что задача состоит в получении возможно большего значения критерия (если не оговаривается иное). Тогда стратегия х 1 лучше стратегии х 2 , если f 0 (х 1 )> f 0 (х 2 ). Естественным образом определяется в этом случае и наилучшая или оптимальная стратегия. Это такая стратегия х 0 , для которой выполняется соотношение

Задачи и упражнения

Задача 1

Фирмой выпускаются радиоприёмники трёх различных моделей: ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {C}}$. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере ${\mathit {8}}$, ${\mathit {15}}$ и ${\mathit {25}}$ единиц соответственно. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее ${\mathit {100}}$ приёмников модели ${\mathcal {A}}$, ${\mathit {150}}$ приёмников модели ${\mathcal {B}}$ и ${\mathit {75}}$ приёмников модели ${\mathcal {C}}$. Каждая модель характеризуется определённым временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки.

Так, в частности, в расчёте на 10 приёмников модели ${\mathcal {A}}$ требуется ${\mathit {3}}$ ч для изготовления соответствующих деталей, ${\mathit {4}}$ ч на сборку и ${\mathit {1}}$ ч на упаковку. Соответствующие показатели в расчёте на 10 приёмников модели ${\mathcal {B}}$ равняются ${\mathit {3}}$, ${\mathit {5}}$ и ${\mathit {1.5}}$ ч, а на 10 приёмников модели ${\mathcal {C}}$ — ${\mathit {5}}$, ${\mathit {7}}$ и ${\mathit {3}}$. В течение ближайшей недели фирма может израсходовать на производство радиодеталей ${\mathit {150}}$ ч, на сборку ${\mathit {200}}$ ч и на упаковку ${\mathit {60}}$ ч.

Постройте оптимизационную модель производства, цель которого — максимизация дохода.