Начертательная геометрия
Начертательная геометрия — инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов, для исследования свойств геометрических объектов.
Практически, начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов трёхмерного евклидова пространства. Исходные данные должны быть представлены в виде двух независимых проекций. В большинстве задач и алгоритмов, используются две ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости.
При обыкновенном способе изображения предметов линии, распространяющиеся вдаль от глаза наблюдателя, хотя и изображаются, соответственно с тем, какими они нам представляются, сокращёнными, но это сокращение определяется рисовальщиком обыкновенно на глаз, а фотографией оно хотя в известных случаях и достаточно точно может быть передано, но отношение, в каком потерпели сокращения разные линии изображаемого предмета, остаётся трудно определимым; вдобавок, во многих случаях и фотография ведёт к перспективным ошибкам. Всякий мастер, будет ли то плотник, слесарь, токарь, каменотёс и т. д., может только в том случае выполнить заказанный предмет согласно желанию заказчика, если ему будет дан или совершенно такой же предмет на образец, или его модель, или конструкторский чертёж, по которому легко и точно определялись бы размеры всех начерченных линий, хотя бы и таких, которые удаляются в глубь картины и потому изображаются сокращёнными. Начертательная геометрия учит изготовлению таких чертежей, в которых предмет изображается почти таким, как мы его видим, и притом так, что по начерченным линиям можно в точности определить размеры и истинный вид изображаемого.
Основные принципы
[править]
Представим себе, что в точке O (рис. 1) находится глаз человека, смотрящего на предмет AB. Вообразим между глазом и предметом плоскость MN, расположенную перпендикулярно к той линии, по которой глаз смотрит. Проведём из O прямые к тем точкам предмета, которые характеризуют его форму. Эти прямые, называемые проекционными лучами, пересекут плоскость MN в различных точках. Совокупность таких точек ab и составит картину предмета AB, служащую его изображением. Поэтому плоскость MN и называется плоскостью картины. Точка пересечения проекционного луча и плоскости картины называется центральной проекцией или перспективой той точки предмета, из которой исходит данный проекционный луч. Такой способ изображения предмета называется перспективой. Если вместо того, чтобы проводить проекционные лучи от точек предмета к глазу, мы будем опускать перпендикуляры из точек предмета на плоскость картины, то полученное изображение, представляемое совокупностью оснований этих перпендикуляров, будет сохранять некоторое сходство с перспективным. Действительно, чем больше точка O будет удалена от предмета, тем больше проекционные лучи будут приближаться к положению взаимно параллельному и перпендикулярному к плоскости картины. Такое изображение называется ортогональной проекцией. Итак, в ортогональной проекции каждая точка предмета изображается основанием перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость картины. Получение по данному чертежу истинных размеров и другие построения несравненно проще выполняются при ортогональном проектировании, чем при перспективе.
Основная идея Н. геометрии заключается в следующем: если имеются две ортогональные проекции предмета на две плоскости, различным образом относительно предмета расположенные, то, с помощью сравнительно несложных построений над этими двумя изображениями, можно получить истинные размеры предмета, истинный вид его плоских линий и ортогональную проекцию на любую заданную третью плоскость. Конечно, для этого необходимо нужно знать, в каком масштабе были даны заданные две ортогональные проекции, то есть в каком общем отношении весь чертёж был уменьшен или увеличен против действительности. Обыкновенно задают вид предмета его ортогональными проекциями на такие две плоскости, из которых одна горизонтальна и называется планом, а другая вертикальна и называется фасадом. Их также называют горизонтальной и вертикальной плоскостями проекции. Ортогональная проекция предмета на плоскость, перпендикулярную к плану и фасаду, называется боковым видом. Весьма важный приём Н. геометрии заключается в том, что плоскость фасада, бокового вида и всякие другие плоскости, на которые проектируется предмет, мысленно отгибают на плоскость плана поворотом около прямой, по которой план пересекается с отгибаемой плоскостью. Этот приём называется совмещением. Дальнейшие построения совершаются уже на таком совмещённом чертеже, как это указано ниже. Так как всякий предмет представляет собой совокупность точек, то прежде всего необходимо познакомиться с изображением плана и фасада точки на совмещённом чертеже.
Пусть a (рис. 2) будет данная точка; P плоскость плана; Q плоскость фасада. Опустив из a перпендикуляр на план, получим план a' точки a; опустив из a перпендикуляр на фасад, получим фасад b точки a. Перпендикуляры aa' и ab называются проектирующими линиями. Плоскость bаa' , определяемая проектирующими линиями, называется проектирующей плоскостью. Она перпендикулярна как к плану, так и к фасаду и, следовательно, перпендикулярна к пересечению плоскости плана и фасада, называемому общим прорезом. Пусть a оесть та точка, в которой проектирующая плоскость пересекается с общим прорезом: a о a' и aob будут перпендикулярны к общему прорезу. При данных плоскостях плана и фасада положение точки a вполне определяется её планом a' и фасадом b, так как a находится на пересечении перпендикуляра, восставленного из a' к плоскости плана, с перпендикуляром, восставленным из b к плоскости фасада. Для получения совмещённого чертежа повернём плоскость Q фасада в направлении, указанном стрелкой, около общего прореза до совпадения с плоскостью плана. При этом точка b упадёт в a". Таким образом точка a", представляющая собой совмещённый фасад точки a, будет лежать на продолжении перпендикуляра a’ao, опущенного из плана a' на общий прорез.
Таким образом получится совмещённый чертёж, изображённый на рис. 3, где MN есть общий прорез; a' — план и a" — совмещённый фасад точки a, которая сама уже не изображается.
Н. геометрия имеет дело только с совмещёнными чертежами; каждая точка даётся планом и совмещённым фасадом; к чертежам же, исполненным обыкновенными приёмами (каковы у нас рис. 1, 2 и 5), прибегают только в начале изучения этой науки.
Проекция прямой
[править]
Прямая определяется двумя точками. Следовательно, если имеется план и фасад (совмещённый) двух точек a и b, лежащих на прямой, то прямая a’b' , соединяющая планы точек a и b, будет планом прямой ab и прямая a"b", соединяющая фасады точек a и b, будет фасадом прямой ab. На чертеже 4 изображена прямая ab своими планом и фасадом.
Стандартные приёмы
[править]Определение истинной длины прямолинейного отрезка заданного планом и проекцией
[править]
Воспользуемся чертежом, исполненным обыкновенным способом (рис. 5).
Пусть ab есть данный прямолинейный отрезок, a’b' его план a"b" его фасад. Повернём плоскость a’abb' около прямой a’b' и отогнём её в положение a’b’BAна плоскость плана. При этом отрезок ab примет положение AB. Следовательно:
- Aа' = aa' = a"ao
- Bb' = bb' = b"bo
Перпендикулярность прямых a’a и b’b к a’b' не изменилась, следовательно, чтобы по данному плану и фасаду прямолинейного отрезка на совмещённом чертеже (рис. 6) определить истинную его длину, нужно: восставить из a' и b' к плану a’b' перпендикуляры и на них отложить: a’A=aoa"; b’B=bob".
Прямая AB и будет равна истинной длине прямой ab. На этом примере и видим, что на чертеже 5, исполненном обыкновенным способом, прямая ab изображена в укороченном виде соответственно тому, как мы её видим, и так как степень этого укорочения неизвестна, то по чертежу 5 нельзя определить истинного расстояния ab. Между тем на чертеже 6, хотя сама прямая ab и не изображена, а даны только её план a’b' и фасад a"b", то по ним можно совершенно точно определить представляемую ими прямую.
Определение бокового вида точки по данным её плану и фасаду
[править]
Пусть a' есть план и a" фасад заданной точки (рис. 7), плоскость же бокового вида пересекает плоскость плана по прямой on и плоскость фасада по прямой om.
При совмещении плоскостей плана и фасада om и on окажутся лежащими на одной прямой mn, перпендикулярной к MN, так как мы предполагаем, что плоскость бокового вида перпендикулярна к плоскостям плана и фасада. Совмещение трёх плоскостей предполагаем происшедшим следующим образом: сначала плоскость бокового вида была совмещена вращением около om с плоскостью фасада; затем они обе вращением около MN были совмещены с плоскостью плана, которая и представляет собой плоскость чертежа. Не трудно видеть, что при этом расстояние a"s бокового вида a"' точки a от MN будет равно a о a" и расстояние а'« от om будет равно aoa'. Отсюда получаем такое построение: когда заданы a' и a», то проводим к MN перпендикуляр mn и на него опускаем перпендикуляр a’q из a' ; радиусом oq описываем из центра o дугу, которая пересечёт MN в точке s; из s восставляем перпендикуляр к MN. Пересечение этого перпендикуляра с прямой, проведённой через фасад a" параллельно MN, и будет боковым видом a'".
Определение бокового вида многоугольника
[править]
Если даны (рис. 8) план и фасад сторон многоугольника, а следовательно, и его вершин, то, строя боковые виды вершин, получим и боковой вид многоугольника. При множестве точек, с которыми имеем дело на чертеже, удобно их обозначать цифрами.
Подобный прием построения «бокового вида» (точнее — профильной проекции или вида слева) с точки зрения конструктора не позволяет удачно скомпоновать чертеж. Для обеспечения последнего, использование осей координат нецелесообразно, так как ограничивает возможности компоновки чертежа, заставляя постоянно выдерживать одинаковые расстояния между видами спереди, сверху и слева, что чаще всего бывает нежелательно. Построить по двум любым видам оригинала третий, удобно скомпоновать чертеж, взамен осей координат помогут «базы отсчета» привязанные к изображениям (видам).
Проецирование параллелепипеда
[править]Обыкновенно задаются таким положением плоскостей плана и фасада, при котором данный предмет проектируется на них простым чертежом и уже по этому плану и фасаду строят проекцию предмета на такую плоскость, на которой он изображается во всей своей сложности. Первоначальные план и фасад можно даже так выбрать, чтобы на них не искажались некоторые размеры предмета. Покажем это на следующем примере изображения параллелепипеда (рис. 9).
Представим себе, что параллелепипед лежит одним из своих рёбер на плоскости плана, а заднее и переднее его основания параллельны плоскости фасада. Тогда эти основания проектируются на фасад, налагаясь одно на другое (заслоняя одно другое), но в истинном виде. На плане получается проекция, в которой сохраняется величина рёбер, параллельных плану. Повернём мысленно параллелепипед около некоторой вертикали и отнесём его несколько в сторону. Тогда и план его повернётся на тот же угол и отнесётся в сторону. Чтобы получить план нового положения, проводим прямую 1’3', составляющую некоторый угол с направлением 1 3 прежнего плана, и на этой прямой строим приёмами обыкновенной геометрии фигуру, равную прежнему плану. Вершины фасада нового положения будут лежать на перпендикулярах, опущенных из вершин нового плана на общий прорез. Кроме того, они будут лежать на параллелях, проведённых из вершин прежнего фасада к общему прорезу, потому что при сказанном перемещении параллелепипеда его вершины остались на прежней высоте от плоскости плана. Итак, пересечения упомянутых перпендикуляров и параллелей и будут вершинами нового фасада. Соединяя их между собой и изображая более слабыми чертами линии, заслонённые параллелепипедом, получим такое его изображение, в котором видны уже все его 12 рёбер. Как для изображения параллелепипеда достаточно изобразить его рёбра, так и для изображения кривой поверхности достаточно изобразить её наиболее характеристичные линии, между которыми первенствующее значение имеет видимый контур — кривая, по которой проектирующие линии касаются поверхности.
Пересечение двух круглых цилиндров
[править]Для уяснения способа изображения кривых поверхностей рассмотрим применение Н. геометрии к следующему практическому вопросу. Требуется соединить между собой две трубы, склёпанные из котельного листового железа, так, чтобы одна труба, будучи перпендикулярна другой, врезалась бы в неё более чем на половину своей толщины. Для этого в одной из труб (положим, в большей) должно быть проделано окошко, которое удобнее, конечно, проделать в листе, из которого делается большая труба, пока она ещё не склёпана. Требуется определить форму того окошка, которое должно быть прорезано в листе, служащем для приготовления большой трубы.
Пусть (рис. 10) плоскость плана будет перпендикулярна к большой трубе, а плоскость фасада параллельна осям обеих труб. Тогда план большой трубы будет окружность 036 и фасад её изобразится прямоугольником ABCD. План малой трубы будет mnpq и фасад abcd. Пусть HF будет фасад диаметральной и параллельной плану плоскости малой трубы. На nm, как на диаметре, опишем дугу nsm. Зададимся какой-нибудь образующей h5 малой трубы и определим фасад той точки взаимного пересечения труб, которая лежит на этой образующей и план которой есть, следовательно, точка 1. Искомый фасад точки, во-первых, должен лежать на перпендикуляре, опущенном на общий прорез из точки 1. Во-вторых, он будет лежать от HF на высоте HS, равной hs. Итак, точка S есть искомый фасад. Задаваясь другими образующими и строя фасады точек взаимного пересечения труб, получают целый ряд точек, соединением которых получится фасад пересечения труб. Теперь развернём полуокружность 036. Задача эта может быть исполнена только приближённо. Она решается с достаточным приближением, если принять длину полуокружности за сумму стороны вписанного квадрата и стороны правильного вписанного треугольника. Сторона вписанного квадрата будет хорда 36, сторона треугольника есть хорда 04, если цифры обозначают деления полуокружности на 6 частей. Сумму этих хорд откладывают на особом чертеже (рис. 11) и делят её на 6 частей. Пусть PQ будет соответствовать упомянутой диаметральной плоскости малой трубы: она должна быть проведена параллельно прямой 012… на расстоянии OP=AE. Восставляя из деления 1 перпендикуляр к прямой 012… и откладывая на нём от пересечения его с PQ величину h’s'=hs=HS, получим точку s' той искомой кривой, по которой должно быть вырезано в листе MN окошко. Получая таким же путём другие точки искомой кривой, определим и самую эту кривую, изображённую на чертеже (рис. 11).
Длина отрезка прямой
[править]Отрезок прямой, расположенный в пространстве параллельно какой-либо плоскости проекций, проектируется на эту плоскость в действительную величину (то есть без искажения).
Длину отрезка прямой по его проекциям определяют как гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций данного отрезка, а другим катетом — абсолютная величина алгебраической разности расстояний от концов другой проекции отрезка до оси проекций.
Пример 33
[править]
Определить действительную длину отрезка АВ[1].
Длина отрезка прямой по его проекциям определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций данного отрезка, а другим катетом – алгебраическая разность расстояний от концов другой проекции отрезка до оси проекций.
Возможно два варианта (см. рис.):
- Проекция отрезка не пересекает ось проекций. Тогда расстояния от концов другой проекции суммируются.
- Проекция отрезка пересекает ось проекций. Тогда из одного расстояния от конца другой проекции вычитается другое расстояние.
В обоих случаях получается один и тот же результат.
Углы наклона прямой к плоскостям проекций
[править]Если отрезок параллелен горизонтальной плоскости проекций, то угол между горизонтальной проекцией этого отрезка и осью проекций равен углу наклона самого отрезка к вертикальной плоскости проекций.
Если отрезок параллелен вертикальной плоскости проекций, то угол между вертикальной проекцией этого отрезка и осью проекций равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций.
Если построена действительная длина отрезка (см. раздел «Длина отрезка прямой»), то:
- угол в треугольнике между катетом (горизонтальной проекцией отрезка) и гипотенузой (его действительной величиной) равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости проекций.
- угол в треугольнике между катетом (вертикальной проекцией отрезка) и гипотенузой (его действительной величиной) равен углу наклона самого отрезка к вертикальной плоскости проекций.
Пример 36
[править]
Определить углы наклона прямой АВ к плоскостям проекций.
Строим на проекциях действительную длину прямой АВ.
Пересечение действительной длины с проекциями прямой дают действительные углы наклона прямой к плоскостям проекций.
Угол α является углом наклона данной прямой к горизонтальной плоскости проекций, а угол β – к фронтальной.
Определение действительной длины отрезка см. также пример 33.
Перпендикулярность прямой и плоскости
[править]Если прямая перпендикулярна плоскости, заданной следами, то проекции этой прямой перпендикулярны соответствующим следам плоскости. Вместе с тем горизонтальная проекция прямой перпендикулярна также горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна также вертикальной проекции фронтали.
Этой особенностью проекций главных линий плоскости, перпендикулярной прямой, следует пользоваться для:
- выяснения перпендикулярности прямой к плоскости, заданной не следами (без определения следов плоскости),
- опускания перпендикуляра из точки на плоскость, заданную не следами.
Исключение. Прямая перпендикулярна профильно-проектирующей плоскости, если дополнительно профильная проекция прямой перпендикулярна профильному следу плоскости
Плоскость Р и Q взаимно перпендикулярны, если плоскость Р содержит прямую, перпендикулярную плоскости Q.
Пример 166
[править]
Даны прямая АВ и точка С.
Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ.
Поскольку фронтальная проекция прямой АВ параллельна оси проекций ОХ, искомая плоскость будет горизонтально-проецирующей – во фронтальной плоскости проекций след плоскости Р будет перпендикулярным оси ОХ.
Поэтому построить надо только горизонтальный след плоскости Р, проходящий через горизонтальную проекцию точки С и перпендикулярный горизонтальной проекции прямой АВ.
Фронтальный след плоскости Р – перпендикуляр из точки пересечения горизонтального следа плоскости Р с осью проекций.
Пример 168
[править]
Даны прямая АВ и точка С.
Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ.
Поскольку и горизонтальная и вертикальная проекции прямой АВ перпендикулярны оси проекций ОХ, любая плоскость со следами перпендикулярными осям OZ и OY (или параллельная оси ОХ) будет перпендикулярна прямой АВ.
Для решения задачи надо только соблюсти перпендикулярность в профильной плоскости.
Поэтому сначала строим профильные проекции прямой АВ и точки С. Затем из профильной проекции точки С опускаем перпендикуляр на профильную проекцию прямой АВ и продлеваем его до пересечения с осями OZ и OY. Получается профильный след PW искомой плоскости.
Достраиваем вертикальный PV и горизонтальный PH следы этой плоскости.
Построение закончено.
Совмещение
[править]Пример 221
[править]
Даны плоскость Р и совмещенное положение ее точки А0 на горизонтальной плоскости проекций.
Найти проекции этой точки.
Сначала строим совмещенный вертикальный след (PV1) плоскости Р.
Точка АО становится своей вертикальной проекцией на плоскости со следами PV1 – PX и PX – O.
В этой вспомогательной плоскости строим горизонтальную проекцию (а) точки АО. Эта проекция является горизонтальной как во вспомогательной плоскости PV1 – PX – O, так и в исходной плоскости PV – PX – PH.
Строим вертикальную проекцию (а') точки АО.
Задача решена.
Развёртка многогранников
[править]Развёрткой многогранника называется плоская фигура, полученная последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью чертежа. Площадь полученной фигуры равна площади поверхности исходного многогранника
На развёртке многогранника все его грани должны быть построены в натуральную величину.
Пример 270
[править]
Дать полную развёртку поверхности четырёхугольной призмы.
klm
Продлеваем одну из сторон и откладываем на нее остальные стороны.
К развёртке четырёхугольника основания добавляем высоту призмы. Получается развёртка боковых сторон призмы.
Одна из проекций основания уже на месте. Сносим ее копию вниз по боковой стороне и симметрично отражаем наружу рисунка.
Полная развёртка четырёхугольной призмы готова.
Задача решена.
Сечение цилиндра плоскостью
[править]Для того чтобы построить линию пересечения любой поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, и затем эти точки соединить плавной кривой линией.
Для того чтобы найти произвольную точку линии пересечения, поступают так:
- проводят вспомогательную плоскость;
- находят линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с заданной плоскостью;
- на пересечении найденных линий получают искомые точки (чаще всего — две).
Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек.
Указание. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линии пересечения с поверхностью проектировались на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или окружности.
Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти также следующим образом:
- наносим на поверхность ряд образующих,
- находим точки их пересечения с плоскостью и
- соединяем эти точки плавной кривой линией.
При решении задач иногда бывает нужно задавать точку на поверхности. Для этого поступают так:
- проводят на поверхности вспомогательную линию (прямую, окружность),
- на этой линии берут нужную точку.
См. также Сечение цилиндра.
Пример 296
[править]
Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью цилиндра.
В горизонтальной плоскости сечение любой плоскости (если она пересекает образующие цилиндра) будет окружность основания.
В вертикальной плоскости любое сечение будет эллипс.
Поэтому сначала выделяем на горизонтальной проекции основания цилиндра ряд точек. И строим их вертикальные проекции.
Соединив вертикальные проекции точек, получаем искомый эллипс.
Задача решена.
Продолжением этой задачи может быть построение истинной величины эллипса.
Сечение конуса плоскостью
[править]Для того чтобы построить линию пересечения любой поверхности с плоскостью, нужно найти ряд точек, принадлежащих как поверхности, так и плоскости, и затем эти точки соединить плавной кривой линией.
Для того чтобы найти произвольную точку линии пересечения, поступают так:
- проводят вспомогательную плоскость;
- находят линии пересечения этой плоскости с поверхностью и с заданной плоскостью;
- на пересечении найденных линий получают искомые точки (чаще всего — две).
Последовательно проводя ряд вспомогательных плоскостей, можно найти необходимое число точек.
Указание. Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы ее линии пересечения с поверхностью проектировались на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или окружности.
Если заданная поверхность имеет прямолинейные образующие, то линию пересечения можно найти также следующим образом:
- наносим на поверхность ряд образующих,
- находим точки их пересечения с плоскостью и
- соединяем эти точки плавной кривой линией.
При решении задач иногда бывает нужно задавать точку на поверхности. Для этого поступают так:
- проводят на поверхности вспомогательную линию (прямую, окружность),
- на этой линии берут нужную точку.
См. также Сечение конуса.
Пример 297
[править]
Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью конуса.
Поскольку горизонтальный след плоскости (PH) перпендикулярен оси ОХ, вертикальная проекция линии пересечения совпадает с пересечением вертикальной проекции конуса с вертикальным следом (PV) плоскости.
Надо построить всего лишь горизонтальную линию пересечения, которая будет эллипсом (поскольку вертикальный след пересекает все образующие конуса).
На вертикальном сечении задаем ряд точек. Каждая из этих точек находится на пересечении соответствующей образующей и горизонтального сечения, которое в этой плоскости будет в виде линии.
Для каждой точки последовательно строим горизонтальные проекции образующих и их сечений, которые в горизонтальной плоскости будут уже в виде окружностей. На их пересечениях будут горизонтальные проекции точек.
Соединив точки, получаем искомый эллипс горизонтального сечения.
Задача решена.
Продолжением этой задачи может быть построение истинной величины эллипса.
Пример 298
[править]
Построить проекции линии пересечения плоскости Р с поверхностью конуса.
Предварительные рассуждения.
Плоскость Р не пересекает вертикальную ось конуса. Следовательно, ее сечением в вертикальной плоскости будет гипербола (см. Cечение конуса). В горизонтальной плоскости линия пересечения совпадает с горизонтальным cледом секущей плоскости.
Построение.
На горизонтальной линии пересечения задаем ряд точек (желательно симметричных относительно вертикальной оси).
Вертикальные проекции этих точек будут лежать на пересечениях соответствующих высот и окружностей, которые в вертикальной плоскости будут в виде прямых линий.
Соединив эти точки, получаем искомую гиперболу.
Пересечение прямой с поверхностью
[править]Для того чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью любого тела (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар и т. п.), поступают точно так же, как и при нахождении точки пересечения прямой с плоскостью, а именно:
- Заданную прямую заключают во вспомогательную плоскость.
- Находят линию (прямую или кривую) пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью.
- На пересечении заданной прямой с линией пересечения получают искомые точки.
В частном случае прямая линия может быть касательной к поверхности.
Указание.
При заключении прямой во вспомогательную плоскость последнюю следует выбирать так, чтобы ее линия пересечения с поверхностью проектировалась на плоскости проекций в виде простейших линий — прямой или окружности.
Пример 319
[править]
Найти точки пересечения поверхности пирамиды с прямой АВ.
Заключаем прямую АВ в горизонтально-проектирующую плоскость R, которая пересекает поверхность пирамиды по четырёхугольнику. Проекция этого четырёхугольника в горизонтальной плоскости совпадает со следом прямой АВ. Значит, горизонтальные проекции вершин четырёхугольника известны. Сначала строим вертикальные проекции сторон четырёхугольника. На пересечениях этих вертикальных сторон с вертикальной проекцией прямой и будут лежать искомые проекции точек пересечения поверхности пирамиды с прямой.
Зная вертикальные проекции точек пересечения поверхности пирамиды с прямой, строим их горизонтальные проекции.
Строим видимость-невидимость проекций отрезка прямой.
В вертикальной плоскости (справа налево). Прямая видимая (сплошная линия) до ребра пирамиды. Потом от ребра пирамиды до точки пересечения с поверхностью пирамиды она невидима (пунктир), поскольку находится за боковой поверхностью пирамиды. От точки пересечения с поверхностью пирамиды и до следующей точки пересечения прямая невидима (пунктир), т.к. находится внутри пирамиды. И во второй точке пересечения прямая выходит наружу и становится видимой (сплошная линия).
В горизонтальной плоскости все ясно (справа налево). Сначала идет видимый отрезок прямой до точки пересечения с поверхностью пирамиды. Потом прямая идет внутри пирамиды (пунктир) до следующей точки пересечения и выходит наружу. Становится видимой.
Задача решена.
Примечание
[править]- ↑ Нумерация примеров дана по Х. А. Арустамову (см. лит.).
Литература
[править]- Х. А. Арустамов «Сборник задач по начертательной геометрии», М., 1971 г.
- В. О. Гордон, М. А. Семенов-Огиевский «Курс начертательной геометрии», М., 1971 г.
- А. В. Потишко, Д. П. Крушевская «Справочник по инженерной графике», Киев, 1976 г.