Натуральные числа

1. Из истории счёта и натуральных чисел

Чтобы понять, откуда взялись натуральные числа и что они собой представляют, надо разобраться в том, что такое счёт предметов и измерение величин.

Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи: 1) установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти количественную оценку этого множества 2) установить определённый порядок между предметами этого множества.

Счёт, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы пересчитываемого множества сопоставляются, т. е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определённой совокупности (её называют стандартной). У большинства народов такой стандартной совокупностью служили пальцы рук, а иногда пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки на деревьях, узелки на верёвках, применялись некоторые предметы, например, раковины, бобы и т. д.

Выдающийся русский учёный-путешественник Н. Н. Миклухо-Маклай (1846–1888) описывает, как производили счёт папуасы, жившие на островах Новой Гвинеи, так: «Излюбленный способ счёта состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например "бе, бе, бе, ...". Досчитав до пяти, он говорит "ибон-бе" (‘рука’). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет "бе, бе, ...", пока не доходит до "ибон-али" (‘две руки’). Затем он идёт дальше, проговаривая "бе, бе, ...", пока не доходит до "самба-бе" и "самба-али" (‘одна нога, две ноги’). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т. е. до числа пальцев на одной руке. А всё, что больше пяти, они называли «много». При этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и т. д. Вот почему для называния числа «два» или «три» использовались разные слова в зависимости от того, о каких двух или трёх предметах шла речь.

Однако постепенно, на протяжении многих веков, в процессе совершенствования счёта, человек начал осознавать то общее, что имеют «три человека» «три палки», вообще любые множества, имеющие три предмета. В результате образовались отвлечённые понятия «один», «два», «три» и т. д. Тем самым было создано отвлечённое стандартное множество натуральных чисел $1,\,2,\,3,\,\ldots ,$ служащее для счёта любых множеств.

Определение. Число называется отвлечённым, если не указана (не названа) единица счёта или измерения, в результате которого получено это число. Совокупность отвлечённого числа и названия (наименования, обычно сокращённого) единицы счёта или измерения называется именованным числом.

Значит, $3$ — это отвлечённое число, а $3$ шт. (штуки) или $3$ м (метра) — это уже именованные числа.

Вопрос: У русского народа имеется много пословиц, в которых используется число семь: «Семь раз отмерь, один раз отрежь», «Семь бед, один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, а семеро с ложкой», «Лук — от семи недуг», «На семи ветрах», «За семью печатями», «Семь потов сошло» и др. Как вы думаете, какое слово в этих пословицах заменяет число семь? О чём это говорит?

Для тех, кто хочет знать больше...

Множество и его элементы.

Людям всё время приходится иметь дело с различными собраниями вещей, или, как говорят, с их множествами.

4. Устная нумерация

Определение. Натуральными числами называются числа, используемые при счёте.

Задание

Какие из следующих чисел: $6$; $0$; $4709$; ${\dfrac {1}{9}}$; $1$ — являются натуральными, а какие нет? Объясните ответы, ссылаясь на определение натурального числа.

Литература

Кузнецова Е. Б. [и др.] Математика : учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения : в 2 ч. / под ред. Л. Б. Шнепермана. — 2-е изд., пересм. и доп. — Минск: Нац. ин-т образования (издательство), 2013. — 224 с. — ISBN 978-985-559-198-7.