Международная олимпиада школьников по математике «Туймаада-2005»

Здесь размещены условия задач по математике. Репортаж с олимпиады и условия задач по физике с решениями читайте в журнале Потенциал №7, 2005, репортаж с фотографиями также размещён по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200507291341UH7J7

Условия задач по математике

Старшая лига. Первый день

Задача 1. В клетках таблицы 11 на 11 расставлены все натуральные числа от 1 до 121. Дима посчитал произведение чисел в каждой строке, а Саша - произведение чисел в каждом столбце. Могли ли они получить одинаковые наборы из 11 чисел? (С. Берлов)

Задача 2. Шесть членов команды Фаталии на Международной математической олимпиаде отбираются из 13 кандидатов. На отборочной олимпиаде кандидаты набрали $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{13}$ баллов ($a_{i}\neq a_{j}$ при $i\neq j$).

Руководитель команды заранее выбрал 6 кандидатов и теперь хочет, чтобы в команду попали именно они. С этой целью он подбирает многочлен P(x) и вычисляет творческий потенциал каждого кандидата по формуле $c_{i}=P(a_{i})$. При каком минимальном n он заведомо сможет подобрать такой многочлен P(x) степени не выше n, что творческий потенциал любого из его шести кандидатов окажется строго больше, чем у каждого из семи оставшихся? (Ф. Петров, К. Сухов)

Задача 3. Организаторы математического конгресса обнаружили, что, если любого из участников поселить в одноместный номер, то всех остальных можно будет расселить по двухместным номерам, в каждом из которых обитатели будут знакомы друг с другом. Докажите, что любой участник может организовать круглый стол по теории графов, в котором, кроме него, будет участвовать ещё чётное число людей, и каждый участник будет знаком с обоими своими соседями по столу. (С. Берлов, С. Иванов)

Задача 4. Дан треугольник ABC. Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ - точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC, CA и AB соответственно. Докажите, что из отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ можно составить треугольник. (Л. Емельянов)

Старшая лига. Второй день

Задача 5. В клетках доски стоят несколько ладей, которые бьют все клетки (считается, что ладья бьет клетку, на которой стоит). Докажите, что можно убрать несколько ладей, оставив не более 11, так, чтобы оставшиеся ладьи по-прежнему били все клетки. (Д. Ростовский, по мотивам фольклора)

Задача 6. Даны натуральное число n и бесконечная последовательность правильных дробей $x_{0}={\frac {a_{0}}{n}},\qquad x_{1}={\frac {a_{1}}{n+1}},\qquad x_{2}={\frac {a_{2}}{n+2}},\quad \dots \qquad (a_{i}<n+i).$ Докажите, что существуют такое натуральное число k и такие целые числа $c_{1}$, $c_{2}$, ..., $c_{k}$, что $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots +c_{k}x_{k}=1.$ (М. Дубашинский)

Задача 7. Точка I - центр вписанной окружности треугольника ABC. Окружность, проходящая через вершины B и C, пересекает отрезки BI и CI в точках P и Q соответственно. Известно, что $BP\cdot CQ=PI\cdot QI.$ Докажите, что описанная окружность треугольника PQI касается описанной окружности исходного треугольника. (С. Берлов)

Задача 8. Для любых положительных чисел a, b и c, удовлетворяющих условию $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,$ докажите неравенство ${\frac {a}{a^{3}+bc}}+{\frac {b}{b^{3}+ca}}+{\frac {c}{c^{3}+ab}}>3.$ (А.Храбров)

Младшая лига. Первый день

Задача 1. В каждой клетке таблицы 3 на 3 стоит одно из чисел 1, 2 и 3. Дима посчитал сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце. Какое наибольшее количество различных сумм он мог получить? (С. Волченков)

Задача 2. Точки X и Y - середины сторон AB и AC треугольника ABC, I - центр его вписанной окружности, K - точка касания вписанной окружности со стороной BC. Биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает прямую XY в точке P, а биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает XY в точке Q. Докажите, что площадь четырёхугольника PKQI равна половине площади исходного треугольника. (С. Берлов)

Задача 3. Билет на трамвай стоит 1 тугрик. У 20 пассажиров имеются лишь монеты достоинством в 2 и 5 тугриков, а у кондуктора вообще ничего. Оказалось, что все пассажиры смогли заплатить за проезд и получить сдачу. Какое наименьшее суммарное количество тугриков могло быть у пассажиров? (Из материалов олимпиад)

Задача 4. Организаторы математического конгресса обнаружили, что, если любого из участников поселить в одноместный номер, то всех остальных можно будет расселить по двухместным номерам, в каждом из которых обитатели будут знакомы друг с другом. Докажите, что любой участник может организовать круглый стол по теории графов, в котором, кроме него, будет участвовать ещё чётное число людей, и каждый участник будет знаком с обоими своими соседями по столу. (С. Берлов, С. Иванов)

Младшая лига. Второй день

Задача 5. Дан квадратный трёхчлен $f(x)=x^{2}+ax+b$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий неравенству $f(x)\geq -{\frac {9}{10}}$ при любом x. Докажите, что $f(x)\geq -{\frac {1}{4}}$ при любом $x$. (А. Храбров)

Задача 6. Вдоль прямого шоссе Тмутаракань - Урюпинск в точках $A_{1}$, $A_{2}$, ..., $A_{100}$ стоят вышки оператора сотовой связи ДПС, а в точках $B_{1},B_{2},...,B_{100}$ - вышки компании "Рупор". (Нумерация вышек может не совпадать с порядком их расположения вдоль шоссе.) Каждая вышка действует на расстоянии 10 км в обе стороны вдоль шоссе. Известно, что $A_{i}A_{k}\geq B_{i}B_{k}$ при любых i, $k\leq 100.$ Докажите, что суммарная длина всех участков шоссе, охваченных сетью ДПС, не меньше, чем длина участков, охваченных сетью "Рупор". (А. Храбров)

Задача 7. Точка I - центр вписанной окружности треугольника ABC. Точки $B_{1}$ и $C_{1}$ - середины сторон AC и AB соответственно. Известно, что $\angle BIC_{1}+\angle CIB_{1}=180^{\circ }.$ Докажите равенство AB+AC=3BC. (Ф.Бахарев, Д.Ростовский)

Задача 8. Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу: каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением произведения всех его различных простых делителей (например, после числа 12 должно идти число 18, а после числа 125 - число 130). Докажите, что любые две последовательности, построенные таким образом, имеют общий член. (А.Голованов)