Математические формулы в LaTeX

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

Одним из главных мотивов для Дональда Кнута, когда он начал разрабатывать исходную систему TeX, было создание чего-то, что позволяло бы просто записывать математические формулы, но при этом выглядело бы профессионально на этапе печати. Тот факт, что ему это удалось, скорее всего и был причиной того, что TeX (а позже и LaTeX) стал настолько популярным в научном сообществе. Возможность набора математических формул — одна из самых сильных сторон LaTeX. Но при этом, это очень объёмная тема из-за существования большого количества математических обозначений.

Если для вашего документа требуется всего несколько простых математических формул, обычный LaTeX предоставит вам большинство инструментов, которые вам смогут понадобятся. Если же вы пишете научную статью, содержащую множество сложных формул, пакет amsmath привносит некоторое количество новых команд, которые являются более мощными и гибкими, чем те, которые предоставляются базовым LaTeX. Пакет mathtools исправляет некоторые причуды amsmath и добавляет полезные настройки, символы и окружения в amsmath. Чтобы использовать любой из данных пакетов, включите в преамбулу создаваемого документа:

\usepackage{amsmath}

или

\usepackage{mathtools}

Пакет mathtools загружает пакет amsmath и, следовательно, нет необходимости указывать \usepackage{amsmath} в преамбуле, если используется mathtools.

Математическое окружение[править]

Системе LaTeX необходимо сообщить, когда текст, который вы вводите, является математической формулой. Это необходимо из-за того, что LaTeX набирает математическую нотацию иначе, чем обычный текст. Поэтому для данной цели объявлены специальные окружения. Их можно разделить на две категории в зависимости от того, как они представлены:

  • text - текст формулы отображается прямо в строке, внутри текста, где он объявлен. Например, я могу написать формулу прямо в этом предложении.
  • displayed - для отображения формулы в отдельной строке.

Поскольку математические формулы требуют особых окружений, естественно, есть их соответствующие названия, которые вы можете использовать стандартным способом. Однако, в отличие от большинства других окружений, есть удобные сокращения для объявления ваших формул. Следующая таблица объединяет информацию о них:

Тип Встроенная (в текст) формула Выключенная (на отдельной строке) формула Выключенная формула с автонумерацией
Окружение math displaymath equation
Сокращение LaTeX \(...\) \[...\]
Сокращение TeX $...$ $$...$$
Комментарий equation* (версия со звездочкой) убирает нумерацию, но требует использования amsmath

Внимание: Следует избегать использования $$...$$ , так как это может вызывать проблемы, особнно с макросами AMS-LaTeX. Кроме того, в случае возникновения проблем сообщения об ошибках могут оказаться бесполезными.

Окружения equation* и displaymath являются функционально эквивалентными.

Если вы набираете текст в обычном режиме, говорят, что вы находитесь в текстовом режиме, но когда вы печатаете в одной из этих математических сред, вы, как говорят, находитесь в математическом режиме, который имеет некоторые отличия от текстового режима:

  1. Большинство пробелов и разрывов строк не имеют никакого значения, поскольку все пробелы либо получены логически из математических выражений, либо должны быть указаны с помощью специальных команд, таких как \quad
  2. Пустые строки не допускаются. Только один абзац на формулу.
  3. Каждая буква считается именем переменной и будет набрана как таковая. Если вы хотите набрать обычный текст в формуле (обычный вертикальный шрифт и нормальный интервал), вам необходимо ввести текст с помощью специальных команд.

Вставка "выключенных" математических формул внутри блоков текста[править]

Чтобы некоторые операторы, такие как \lim или \sum , правильно отображались в некоторых математических окружениях (имеется ввиду$......$), может быть удобно написать класс \displaystyle внутри окружения. Это может увеличить длину строки, но приведет к более правильному отображению показателей и индексов для некоторых математических операторов. Например, $\sum$ напечатает маленькую Σ а$\displaystyle \sum$ напечатает большую , как в уравнениях (Работает только при включенном пакете AMSMATH). Можно принудительно настроить такое поведение для всех математических сред, объявив \everymath{\displaystyle} в самом начале (т.е. до \begin{document}).

Математические символы[править]

В математике существует достаточно много различных символов! Ниже приведены те, к которым можно получить доступ прямо с клавиатуры:

+ - = ! / ( ) [ ] < > | ' : *

Помимо тех, что перечислены выше, для ввода некоторых символов могут потребоваться отдельные команды. Это требуется, например, для ввода греческих букв, символов множества и отношений, стреклок, бинарных операторов, и т.д.

Для приера:

\forall x \in X, \quad \exists y \leq \epsilon

К счастью, есть инструмент, который может значительно упростить поиск команды для определенного символа. Найдите "Detexify" в разделе external links ниже. Другой вариант - посмотреть "Полный список символов LaTeX" в разделе external links ниже.

Греческие буквы[править]

Греческие буквы довольно часто используются в математике, но их достаточно просто набирать в математическом режиме. Вам просто нужно ввести название буквы после обратной косой черты: если первая буква названия строчная, вы получите строчную греческую букву, если первая буква названия заглавная (только первая буква), тогда вы получите прописную букву. Обратите внимание, что некоторые заглавные греческие буквы выглядят как латинские, поэтому они не предоставляются LaTeX (например, заглавные буквы Alpha и Beta это просто латинские "A" и "B" соответственно). Строчные буквы эпсилон, тета, каппа, фи, пи, ро и сигма представлены в двух разных версиях. Строчные буквы эпсилон, тета, каппа, фи, пи, ро и сигма представлены в двух разных версиях. Альтернативная (variant сокр. var) версия, создается добавлением "var" перед названием буквы:

\alpha, \Alpha, \beta, \Beta, \gamma, \Gamma, \pi, \Pi, \phi, \varphi, \mu, \Phi, \varPhi

Прокрутите вниз до #List of mathematical symbols чтобы увидеть полный список греческих символов.

Математические операторы[править]

Оператор - это функция, которая записывается с помощью слова: например, тригонометрические функции (sin, cos, tan), логарифмы и экспоненты (log, exp), пределы (lim), а также след и определитель (tr, det). В LaTeX многие из них определены как команды:

\cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta

Для некоторых операторов, таких как Предел, нижний индекс помещается под оператором:

\lim\limits_{x \to \infty} \exp(-x) = 0

Для оператора Сравнения по модулю существует две команды: \bmod и \pmod:

a \bmod b

x \equiv a \pmod{b}

Чтобы использовать операторы, которые не определены заранее, например argmax, см. [[../Высшая математика#Определяемые операторы|определяемые операторы]]

Степени и индексы[править]

Степени и индексы эквивалентны верхним и нижним индексам в обычном текстовом режиме. Символ каретки (^; так же известный как циркумфлекс) используется чтобы что-то поднять, а нижнее подчёркивание (_) для опускания. Если необходимо повысить или понизить выражение, содержащее больше одного символа, его необходимо сгруппировать с помощью фигурных скобок ({ и }).

k_{n+1} = n^2 + k_n^2 - k_{n-1}

Для степеней, состоящих из более чем одной цифры, заключите степень в {}.

n^{22}

Подчёркивание (_) может использоваться с вертикальной чертой () при использовании выражения в качестве нижнего индекса (это предложение требует уточнения):

f(n) = n^5 + 4n^2 + 2 |_{n=17}

Дроби и биномы[править]

Дроби создаются с помощью команды \frac{numerator}{denominator}. Так же и Биномиальный коэффициент можно записать используя команду \binom:

\frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}


Дроби можно помещать одну внутри другой:

\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{y-z}

Так же обратите внимание, что при встраивании дробей в строку текста или записи одной дроби внутри другой, , их отображаемый размер должен быть заметно меньше, чем в выключенной формуле. Команды \tfrac и \dfrac позволяют использовать стиль записи соотвествующий использованию \textstyle и \displaystyle. Точно так же работают команды \tbinom и \dbinom, записывающие биноминальный коэффициент.


Для относительно простых дробей, особенно внутри текста, может быть более эстетично использовать Степени и индексы:

^3/_7

Данная запись может показаться немного "растянутой" (занимающей много места), сжатую версию можно определить, вставив некоторое отрицательное пространство.

%running fraction with slash - requires math mode.
\newcommand*\rfrac[2]{{}^{#1}\!/_{#2}}

\rfrac{3}{7}

Если вам необходимо часто использовать подобную запись дробей в своём документе, рекомендуем использовать пакет xfrac. Данный пакет поддерживает команду \sfrac для создания наклонных дробей. Использование:

Take $\sfrac{1}{2}$ cup of sugar, \dots
 
  3\times\sfrac{1}{2}=1\sfrac{1}{2}
 

Take ${}^1/_2$ cup of sugar, \dots
 
  3\times{}^1/_2=1{}^1/_2

LaTeX-xfrac-example.png

Если в качестве показателя степени используются дроби, необходимо использовать фигурные скобки вокруг команды \sfrac:

 $x^\frac{1}{2}$ % no error
 $x^\sfrac{1}{2}$ % error
 $x^{\sfrac{1}{2}}$ % no error
$x^\frac{1}{2}$ % no error

В некоторых случаях добавление только данного пакета может привести к ошибкам о том, что определённые формы шрифтов недоступны. Тогда необходимо так же добавить пакеты lmodern и fix-cm.


В качестве альтернативы, пакет Шаблон:LaTeX/Package предоставляет команду \nicefrac использование которой аналогично использованию \sfrac.

Непрерывные дроби[править]

Непрерывные дроби следует записывать с помощью команды \cfrac:

\begin{equation}
  x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 
          + \cfrac{1}{a_2 
          + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{a_4} } } }
\end{equation}

Умножение двух чисел[править]

Чтобы сделать умножение визуально похожим на дробь, можно использовать вложенный массив, например, умножение чисел, написанных одно под другим..

\begin{equation}
\frac{
    \begin{array}[b]{r}
      \left( x_1 x_2 \right)\\
      \times \left( x'_1 x'_2 \right)
    \end{array}
  }{
    \left( y_1y_2y_3y_4 \right)
  }
\end{equation}

Корни[править]

Команда \sqrt создаёт символ квадратного корня, окружающий математическое выражение. Он принимает необязательный аргумент в квадратных скобках ([ и ]) для изменения показателя (степени) корня:

\sqrt{\frac{a}{b}}

\sqrt[n]{1+x+x^2+x^3+\dots+x^n}


Some people prefer writing the square root "closing" it over its content. This method arguably makes it more clear what is in the scope of the root sign. This habit is not normally used while writing with the computer, but if you still want to change the output of the square root, LaTeX gives you this possibility. Just add the following code in the preamble of your document:

% New definition of square root:
% it renames \sqrt as \oldsqrt
\let\oldsqrt\sqrt
% it defines the new \sqrt in terms of the old one
\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
\def\DHLhksqrt#1#2{%
\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
\advance\dimen0-0.2\ht0
\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}%
{\box0\lower0.4pt\box2}}
The new style is on left, the old one on right

This TeX code first renames the \sqrt command as \oldsqrt, then redefines \sqrt in terms of the old one, adding something more. The new square root can be seen in the picture on the left, compared to the old one on the right. Unfortunately this code won't work if you want to use multiple roots: if you try to write as \sqrt[b]{a} after you used the code above, you'll just get a wrong output. In other words, you can redefine the square root this way only if you are not going to use multiple roots in the whole document.

An alternative piece of TeX code that does allow multiple roots is

\usepackage{letltxmacro}
\makeatletter
\let\oldr@@t\r@@t
\def\r@@t#1#2{%
\setbox0=\hbox{$\oldr@@t#1{#2\,}$}\dimen0=\ht0
\advance\dimen0-0.2\ht0
\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}%
{\box0\lower0.4pt\box2}}
\LetLtxMacro{\oldsqrt}{\sqrt}
\renewcommand*{\sqrt}[2][\ ]{\oldsqrt[#1]{#2} }
\makeatother


$\sqrt[a]{b} \quad \oldsqrt[a]{b}$

LaTeX example sqrt.png

However this requires the \usepackage{letltxmacro} package

Sums and integrals[править]

The \sum and \int commands insert the sum and integral symbols respectively, with limits specified using the caret (^) and underscore (_). The typical notation for sums is:

\sum_{i=1}^{10} t_i

or

\displaystyle\sum_{i=1}^{10} t_i


The limits for the integrals follow the same notation. It's also important to represent the integration variables with an upright d, which in math mode is obtained through the \mathrm{} command, and with a small space separating it from the integrand, which is attained with the \, command.

\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x

There are many other "big" commands which operate in a similar manner:

\sum \prod \coprod
\bigoplus \bigotimes \bigodot
\bigcup \bigcap \biguplus
\bigsqcup \bigvee \bigwedge
\int \oint \iint[1]
\iiint[1] \iiiint[1] \idotsint[1]

For more integral symbols, including those not included by default in the Computer Modern font, try the Шаблон:LaTeX/Package package.

The \substack command[1] allows the use of \\ to write the limits over multiple lines:

\sum_{\substack{
   0<i<m \\
   0<j<n
  }} 
 P(i,j)

If you want the limits of an integral to be specified above and below the symbol (like the sum), use the \limits command:

\int\limits_a^b

However if you want this to apply to ALL integrals, it is preferable to specify the Шаблон:LaTeX/Parameter option when loading the Шаблон:LaTeX/Package package: Шаблон:LaTeX/Usage

Subscripts and superscripts in other contexts as well as other parameters to Шаблон:LaTeX/Package package related to them are described in Advanced Mathematics chapter.

For bigger integrals, you may use personal declarations, or the Шаблон:LaTeX/Package package [2].

Brackets, braces and delimiters[править]

How to use braces in multi line equations is described in the Advanced Mathematics chapter.

The use of delimiters such as brackets soon becomes important when dealing with anything but the most trivial equations. Without them, formulas can become ambiguous. Also, special types of mathematical structures, such as matrices, typically rely on delimiters to enclose them.

There are a variety of delimiters available for use in LaTeX:

( a ), [ b ], \{ c \}, | d |, \| e \|,
\langle f \rangle, \lfloor g \rfloor,
\lceil h \rceil, \ulcorner i \urcorner,
/ j \backslash

where \lbrack and \rbrack may be used in place of [ and ].


Automatic sizing[править]

Very often mathematical features will differ in size, in which case the delimiters surrounding the expression should vary accordingly. This can be done automatically using the \left, \right, and \middle commands. Any of the previous delimiters may be used in combination with these:

\left(\frac{x^2}{y^3}\right)

P\left(A=2\middle|\frac{A^2}{B}>4\right)

Latex example middle.png

Curly braces are defined differently by using \left\{ and \right\},

\left\{\frac{x^2}{y^3}\right\}

If a delimiter on only one side of an expression is required, then an invisible delimiter on the other side may be denoted using a period (.).

\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1

Manual sizing[править]

In certain cases, the sizing produced by the \left and \right commands may not be desirable, or you may simply want finer control over the delimiter sizes. In this case, the \big, \Big, \bigg and \Bigg modifier commands may be used:

( \big( \Big( \bigg( \Bigg(

These commands are primarily useful when dealing with nested delimiters. For example, when typesetting

\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \left( k g(x) \right)

we notice that the \left and \right commands produce the same size delimiters as those nested within it. This can be difficult to read. To fix this, we write

\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \big( k g(x) \big)

Manual sizing can also be useful when an equation is too large, trails off the end of the page, and must be separated into two lines using an align command. Although the commands \left. and \right. can be used to balance the delimiters on each line, this may lead to wrong delimiter sizes. Furthermore, manual sizing can be used to avoid overly large delimiters if an \underbrace or a similar command appears between the delimiters.

Matrices and arrays[править]

A basic matrix may be created using the Шаблон:LaTeX/Environment environment[1]: in common with other table-like structures, entries are specified by row, with columns separated using an ampersand (&) and a new rows separated with a double backslash (\\)

\[
 \begin{matrix}
  a & b & c \\
  d & e & f \\
  g & h & i
 \end{matrix}
\]

To specify alignment of columns in the table, use starred version[3]:

\begin{matrix}
  -1 & 3 \\
  2 & -4
 \end{matrix}
 =
 \begin{matrix*}[r]
  -1 & 3 \\
  2 & -4
 \end{matrix*}

The alignment by default is Шаблон:LaTeX/Parameter but it can be any column type valid in Шаблон:LaTeX/Environment environment.

However matrices are usually enclosed in delimiters of some kind, and while it is possible to use the \left and \right commands, there are various other predefined environments which automatically include delimiters:

Environment name Surrounding delimiter Notes
Шаблон:LaTeX/Environment[1] centers columns by default
Шаблон:LaTeX/Environment[3] allows to specify alignment of columns in optional parameter
Шаблон:LaTeX/Environment[1] centers columns by default
Шаблон:LaTeX/Environment[3] allows to specify alignment of columns in optional parameter
Шаблон:LaTeX/Environment[1] centers columns by default
Шаблон:LaTeX/Environment[3] allows to specify alignment of columns in optional parameter
Шаблон:LaTeX/Environment[1] centers columns by default
Шаблон:LaTeX/Environment[3] allows to specify alignment of columns in optional parameter
Шаблон:LaTeX/Environment[1] centers columns by default
Шаблон:LaTeX/Environment[3] allows to specify alignment of columns in optional parameter

When writing down arbitrary sized matrices, it is common to use horizontal, vertical and diagonal triplets of dots (known as ellipses) to fill in certain columns and rows. These can be specified using the \cdots, \vdots and \ddots respectively:

A_{m,n} = 
 \begin{pmatrix}
  a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} 
 \end{pmatrix}

In some cases you may want to have finer control of the alignment within each column, or want to insert lines between columns or rows. This can be achieved using the Шаблон:LaTeX/Environment environment, which is essentially a math-mode version of the [[../Tables#The tabular environment|tabular environment]], which requires that the columns be pre-specified:

\begin{array}{c|c}
  1 & 2 \\ 
  \hline
  3 & 4
 \end{array}

You may see that the AMS matrix class of environments doesn't leave enough space when used together with fractions resulting in output similar to this:

To counteract this problem, add additional leading space with the optional parameter to the \\ command:

M = \begin{bmatrix}
       \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & 0           \\[0.3em]
       \frac{5}{6} & 0           & \frac{1}{6} \\[0.3em]
       0           & \frac{5}{6} & \frac{1}{6}
     \end{bmatrix}

If you need "border" or "indexes" on your matrix, plain TeX provides the macro \bordermatrix

M = \bordermatrix{~ & x & y \cr
                  A & 1 & 0 \cr
                  B & 0 & 1 \cr}

Bordermatrix.png


Matrices in running text[править]

To insert a small matrix, and not increase leading in the line containing it, use Шаблон:LaTeX/Environment environment:

A matrix in text must be set smaller:
$\bigl(\begin{smallmatrix}
a&b \\ c&d
\end{smallmatrix} \bigr)$
to not increase leading in a portion of text.

LaTeX-smallmatrix.png

Adding text to equations[править]

The math environment differs from the text environment in the representation of text. Here is an example of trying to represent text within the math environment:

50 apples \times 100 apples = lots of apples^2

There are two noticeable problems: there are no spaces between words or numbers, and the letters are italicized and more spaced out than normal. Both issues are simply artifacts of the maths mode, in that it treats it as a mathematical expression: spaces are ignored (LaTeX spaces mathematics according to its own rules), and each character is a separate element (so are not positioned as closely as normal text).

There are a number of ways that text can be added properly. The typical way is to wrap the text with the \text{...} command [1] (a similar command is \mbox{...}, though this causes problems with subscripts, and has a less descriptive name). Let's see what happens when the above equation code is adapted:

50 \text{apples} \times 100 \text{apples} 
 = \text{lots of apples}^2

The text looks better. However, there are no gaps between the numbers and the words. Unfortunately, you are required to explicitly add these. There are many ways to add spaces between maths elements, but for the sake of simplicity we may simply insert space characters into the \text commands.

50 \text{ apples} \times 100 \text{ apples}
 = \text{lots of apples}^2

Formatted text[править]

Using the \text is fine and gets the basic result. Yet, there is an alternative that offers a little more flexibility. You may recall the introduction of font formatting commands, such as \textrm, \textit, \textbf, etc. These commands format the argument accordingly, e.g., \textbf{bold text} gives bold text. These commands are equally valid within a maths environment to include text. The added benefit here is that you can have better control over the font formatting, rather than the standard text achieved with \text.

50 \textrm{ apples} \times 100
 \textbf{ apples} = \textit{lots of apples}^2

Formatting mathematics symbols[править]

See also: w:Mathematical Alphanumeric Symbols, w:Help:Displaying a formula#Alphabets and typefaces and w:Wikipedia:LaTeX symbols#Fonts

We can now format text; what about formatting mathematical expressions? There are a set of formatting commands very similar to the font formatting ones just used, except that they are specifically aimed at text in math mode (requires Шаблон:LaTeX/Package)

LaTeX command Sample Description Common use
\mathnormal{}
(or simply omit any command)
The default math font Most mathematical notation
\mathrm{} This is the default or normal font, unitalicised Units of measurement, one word functions
\mathit{} Italicised font Multi-letter function or variable names. Compared to \mathnormal, words are spaced more naturally and numbers are italicized as well.
\mathbf{} Bold font Vectors
\mathsf{} Sans-serif Categories
\mathtt{} Monospace (fixed-width) font
\mathfrak{} Fraktur Almost canonical font for Lie algebras, ideals in ring theory
\mathcal{} Calligraphy (uppercase only) Often used for sheaves/schemes and categories, used to denote cryptological concepts like an alphabet of definition (), message space (), ciphertext space () and key space (); Kleene's ; naming convention in description logic; Laplace transform () and Fourier transform ()
\mathbb{}
(requires the Шаблон:LaTeX/Package or Шаблон:LaTeX/Package package)
Blackboard bold (uppercase only) Used to denote special sets (e.g. real numbers)
\mathscr{}
(requires the Шаблон:LaTeX/Package package)
Mathscr (A-F).png Script (uppercase only) An alternative font for categories and sheaves.

These formatting commands can be wrapped around the entire equation, and not just on the textual elements: they only format letters, numbers, and uppercase Greek, and other math commands are unaffected.

To bold lowercase Greek or other symbols use the \boldsymbol command[1]; this will only work if there exists a bold version of the symbol in the current font. As a last resort there is the \pmb command[1] (poor man's bold): this prints multiple versions of the character slightly offset against each other.

\boldsymbol{\beta} = (\beta_1,\beta_2,\dotsc,\beta_n)

To change the size of the fonts in math mode, see [[../Advanced Mathematics#Changing font size|Changing font size]].

Accents[править]

So what to do when you run out of symbols and fonts? Well, the next step is to use accents:

a' or a^{\prime} a''
\hat{a} \bar{a}
\grave{a} \acute{a}
\dot{a} \ddot{a}
\not{a} \mathring{a}
\overrightarrow{AB} \overleftarrow{AB}
a''' a''''
\overline{aaa} \check{a}
\breve{a} \vec{a}
\dddot{a}[1] \ddddot{a}[1]
\widehat{AAA} \widetilde{AAA}
\stackrel\frown{AAA}
\tilde{a} \underline{a}

Color[править]

The package Шаблон:LaTeX/Package, described in [[../Colors#Adding_the_color_package|Colors]], allows us to add color to our equations. For example,

k = {\color{red}x} \mathbin{\color{blue}-} 2

The only problem is that this disrupts the default Шаблон:LaTeX formatting around the - operator. To fix this, we enclose it in a \mathbin environment, since - is a binary operator. This process is described here.

Plus and minus signs[править]

LaTeX deals with the + and − signs in two possible ways. The most common is as a binary operator. When two maths elements appear on either side of the sign, it is assumed to be a binary operator, and as such, allocates some space to either side of the sign. The alternative way is a sign designation. This is when you state whether a mathematical quantity is either positive or negative. This is common for the latter, as in math, such elements are assumed to be positive unless a − is prefixed to it. In this instance, you want the sign to appear close to the appropriate element to show their association. If you put a + or a − with nothing before it but you want it to be handled like a binary operator you can add an invisible character before the operator using {}. This can be useful if you are writing multiple-line formulas, and a new line could start with a − or +, for example, then you can fix some strange alignments adding the invisible character where necessary.

A plus-minus sign is written as:

\pm

Similarly, there exists also a minus-plus sign:

\mp

Controlling horizontal spacing[править]

LaTeX is obviously pretty good at typesetting maths—it was one of the chief aims of the core TeX system that LaTeX extends. However, it can't always be relied upon to accurately interpret formulas in the way you did. It has to make certain assumptions when there are ambiguous expressions. The result tends to be slightly incorrect horizontal spacing. In these events, the output is still satisfactory, yet any perfectionists will no doubt wish to fine-tune their formulas to ensure spacing is correct. These are generally very subtle adjustments.

There are other occasions where LaTeX has done its job correctly, but you just want to add some space, maybe to add a comment of some kind. For example, in the following equation, it is preferable to ensure there is a decent amount of space between the maths and the text.

\[ f(n) =
  \begin{cases}
    n/2       & \quad \text{if } n \text{ is even}\\
    -(n+1)/2  & \quad \text{if } n \text{ is odd}
  \end{cases}
\]

This code produces errors with Miktex 2.9 and does not yield the results seen on the right. Use \mathrm instead of just \text.


(Note that this particular example can be expressed in more elegant code by the Шаблон:LaTeX/Environment construct provided by the Шаблон:LaTeX/Package package described in Advanced Mathematics chapter.)

LaTeX has defined two commands that can be used anywhere in documents (not just maths) to insert some horizontal space. They are \quad and \qquad

A \quad is a space equal to the current font size. So, if you are using an 11pt font, then the space provided by \quad will also be 11pt (horizontally, of course.) The \qquad gives twice that amount. As you can see from the code from the above example, \quads were used to add some separation between the maths and the text.

OK, so back to the fine tuning as mentioned at the beginning of the document. A good example would be displaying the simple equation for the indefinite integral of y with respect to x:

If you were to try this, you may write:

\int y \mathrm{d}x

However, this doesn't give the correct result. LaTeX doesn't respect the white-space left in the code to signify that the y and the dx are independent entities. Instead, it lumps them altogether. A \quad would clearly be overkill in this situation—what is needed are some small spaces to be utilized in this type of instance, and that's what LaTeX provides:

Command Description Size
\, small space 3/18 of a quad
\: medium space 4/18 of a quad
\; large space 5/18 of a quad
\! negative space -3/18 of a quad

NB you can use more than one command in a sequence to achieve a greater space if necessary.

So, to rectify the current problem:

\int y\, \mathrm{d}x

\int y\: \mathrm{d}x

\int y\; \mathrm{d}x

The negative space may seem like an odd thing to use, however, it wouldn't be there if it didn't have some use! Take the following example:

\left(
    \begin{array}{c}
      n \\
      r
    \end{array}
  \right) = \frac{n!}{r!(n-r)!}


The matrix-like expression for representing binomial coefficients is too padded. There is too much space between the brackets and the actual contents within. This can easily be corrected by adding a few negative spaces after the left bracket and before the right bracket.

\left(\!
    \begin{array}{c}
      n \\
      r
    \end{array}
  \!\right) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

In any case, adding some spaces manually should be avoided whenever possible: it makes the source code more complex and it's against the basic principles of a What You See is What You Mean approach. The best thing to do is to define some commands using all the spaces you want and then, when you use your command, you don't have to add any other space. Later, if you change your mind about the length of the horizontal space, you can easily change it modifying only the command you defined before. Let us use an example: you want the d of a dx in an integral to be in roman font and a small space away from the rest. If you want to type an integral like \int x \, \mathrm{d} x, you can define a command like this: Шаблон:LaTeX/Usage in the preamble of your document. We have chosen \dd just because it reminds the "d" it replaces and it is fast to type. Doing so, the code for your integral becomes \int x \dd x. Now, whenever you write an integral, you just have to use the \dd instead of the "d", and all your integrals will have the same style. If you change your mind, you just have to change the definition in the preamble, and all your integrals will be changed accordingly.

Manually Specifying Formula Style[править]

To manually display a fragment of a formula using text style, surround the fragment with curly braces and prefix the fragment with \textstyle. The braces are required because the \textstyle macro changes the state of the renderer, rendering all subsequent mathematics in text style. The braces limit this change of state to just the fragment enclosed within. For example, to use text style for just the summation symbol in a sum, one would enter Шаблон:LaTeX/Usage The same thing as a command would look like this: Шаблон:LaTeX/Usage Note the extra braces. Just one set around the expression won't be enough. That would cause all math after \tsum k to be displayed using text style.

To display part of a formula using display style, do the same thing, but use \displaystyle instead.

Advanced Mathematics: AMS Math package[править]

The AMS (American Mathematical Society) mathematics package is a powerful package that creates a higher layer of abstraction over mathematical LaTeX language; if you use it it will make your life easier. Some commands Шаблон:LaTeX/Package introduces will make other plain LaTeX commands obsolete: in order to keep consistency in the final output you'd better use Шаблон:LaTeX/Package commands whenever possible. If you do so, you will get an elegant output without worrying about alignment and other details, keeping your source code readable. If you want to use it, you have to add this in the preamble: Шаблон:LaTeX/Usage

Introducing dots in formulas[править]

Шаблон:LaTeX/Package defines also the \dots command, that is a generalization of the existing \ldots. You can use \dots in both text and math mode and LaTeX will replace it with three dots "…" but it will decide according to the context whether to put it on the bottom (like \ldots) or centered (like \cdots).

Dots[править]

LaTeX gives you several commands to insert dots (ellipses) in your formulae. This can be particularly useful if you have to type big matrices omitting elements. First of all, here are the main dots-related commands LaTeX provides:

Code Output Comment
\dots generic dots (ellipsis), to be used in text (outside formulae as well). It automatically manages whitespaces before and after itself according to the context, it's a higher level command.
\ldots the output is similar to the previous one, but there is no automatic whitespace management; it works at a lower level.
\cdots These dots are centered relative to the height of a letter. There is also the binary multiplication operator, \cdot, mentioned below.
\vdots vertical dots
\ddots diagonal dots
\iddots inverse diagonal dots (requires the Шаблон:LaTeX/Package package)
\hdotsfor{n} to be used in matrices, it creates a row of dots spanning n columns.

Instead of using \ldots and \cdots, you should use the semantically oriented commands. It makes it possible to adapt your document to different conventions on the fly, in case (for example) you have to submit it to a publisher who insists on following house tradition in this respect. The default treatment for the various kinds follows American Mathematical Society conventions.

Code Output Comment
A_1,A_2,\dotsc, LaTeX Dotsc.png for "dots with commas"
A_1+\dotsb+A_N LaTeX Dotsb.png for "dots with binary operators/relations"
A_1 \dotsm A_N LaTeX Dotsm.png for "multiplication dots"
\int_a^b \dotsi LaTeX Dotsi.png for "dots with integrals"
A_1\dotso A_N LaTeX Dotso.png for "other dots" (none of the above)

Write an equation with the align environment[править]

How to write an equation with the align environment with the Шаблон:LaTeX/Package package is described in Advanced Mathematics.

List of mathematical symbols[править]

All the pre-defined mathematical symbols from the \TeX\ package are listed below. More symbols are available from extra packages.

Relation Symbols
Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script
< > = \parallel \nparallel
\leq \geq \doteq \asymp \bowtie
\ll \gg \equiv \vdash \dashv
\subset \supset \approx \in \ni
\subseteq \supseteq \cong \smile \frown
\nsubseteq \nsupseteq \simeq \models \notin
\sqsubset \sqsupset \sim \perp \mid
\sqsubseteq \sqsupseteq \propto \prec \succ
\preceq \succeq \neq \sphericalangle \measuredangle
\therefore \because
Binary Operations
Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script
\pm \cap \diamond \oplus
\mp \cup \bigtriangleup \ominus
\times \uplus \bigtriangledown \otimes
\div \sqcap \triangleleft \oslash
\ast \sqcup \triangleright \odot
\star \vee \bigcirc \circ
\dagger \wedge \bullet \setminus
\ddagger \cdot \wr \amalg
Set and/or Logic Notation
Symbol Script   Symbol Script
\exists \rightarrow or \to
\nexists \leftarrow or \gets
\forall \mapsto
\neg \implies
\subset \impliedby
\supset \Rightarrow or \implies
\in \leftrightarrow
\notin \iff
\ni \Leftrightarrow (preferred for equivalence (iff))
\land \top
\lor \bot
\angle and \emptyset and \varnothing[1]
\rightleftharpoons
Delimiters
Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script
| or \mid (difference in spacing) \| / \backslash
\{ \} \langle \rangle
\uparrow \Uparrow \lceil \rceil
\downarrow \Downarrow \lfloor \rfloor

Note: To use the Greek Letters in LaTeX that have the same appearance in the Latin alphabet, just use Latin: e.g., A instead of Alpha, B instead of Beta, etc.

Greek Letters
Symbol Script   Symbol Script
and A and \alpha and N and \nu
and B and \beta and \Xi and \xi
and \Gamma and \gamma and O and o
and \Delta and \delta , and \Pi, \pi and \varpi
, and E, \epsilon and \varepsilon , and P, \rho and \varrho
and Z and \zeta , and \Sigma, \sigma and \varsigma
and H and \eta and T and \tau
, and \Theta, \theta and \vartheta and \Upsilon and \upsilon
and I and \iota , , and \Phi, \phi and \varphi
, and K, \kappa and \varkappa and X and \chi
and \Lambda and \lambda and \Psi and \psi
and M and \mu and \Omega and \omega
Other symbols
Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script
\partial \imath \Re \nabla \aleph
\eth \jmath \Im \Box \beth
\hbar \ell \wp \infty \gimel

^ Not predefined in LATEX 2. Use one of the packages latexsym, amsfonts, amssymb, txfonts, pxfonts, or wasysym

Trigonometric Functions
Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script   Symbol Script
\sin \arcsin \sinh \sec
\cos \arccos \cosh \csc
\tan \arctan \tanh
\cot \arccot \coth

If LaTeX does not include a command for the mathematical operator you want to use, for example \cis (cosine plus i times sine), add to your preamble:

\DeclareMathOperator\cis{cis}

You can then use \cis in the document just like \cos or any other mathematical operator.



Summary[править]

As you begin to see, typesetting math can be tricky at times. However, because LaTeX provides so much control, you can get professional quality mathematics typesetting with relatively little effort (once you've had a bit of practice, of course!). It would be possible to keep going and going with math topics because it seems potentially limitless. However, with this tutorial, you should be able to get along sufficiently.

Шаблон:TODO

Notes[править]

  1. а б в г д е ё ж з и й к л м н о requires the Шаблон:LaTeX/Package package
  2. http://hdl.handle.net/2268/6219
  3. а б в г д е requires the Шаблон:LaTeX/Package package

Further reading[править]

External links[править]


МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КОМПЕТЕНТНОСТИ СТУДЕНТОВ

         На сегодняшний день по-прежнему актуальной является проблема создания методов и технологий оценки компетентности студентов. Повсе-местное введение компетентностного подхода в российских вузах (в рам-ках действующих ГОС) не решило данную проблему. Разработка эффек-тивных методов и измерительных процедур оценки компетентности воз-можна только на основе методов математического моделирования и си-стемного анализа.

Компетентностный подход; высшее образование; модель компетент-ности студентов