Математические методы

Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики.

Понятие «метод»

Шаблон:Основной источник Метод есть система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели. Метод является способом познания и способом практической деятельности.

В методе можно выделить две стороны:

• объективная — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности;
• субъективная — связана с деятельностью по применению метода.

Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: гносеологические компоненты, связанные с объективной стороной, и деятельностные компоненты, связанные с субъективной стороной метода.

Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать:

1. исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями);
2. знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств);
3. знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.);
4. знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения.

Деятельностные компоненты метода включают:

1. определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели;
2. средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные).

Алгебраические методы

Метод уравнений и неравенств

Метод уравнений и неравенств — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система.

Метод математической индукции

Оформим данную тему структурировано в виде таблицы.

Математические:

ОБЪЕКТЫ	ЯВЛЕНИЯ	ВЕЛИЧИНЫ	ЗАКОНЫ	МЕТОДЫ
Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство)	Индукция, дедукция, доказательство, логический переход		Законы логики (логические переходы)	Метод от противного
Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции)	Математическая индукция, полная и неполная индукция	Параметр, «пробегающий» натуральные числа	Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции	Метод математической индукци

Функционально-графический метод

Суть метода: использование свойств функций.

Геометрические методы

Метод «цепочки треугольников»

Суть метода: рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи.

Объективная сторона метода [теория]:

1. определение треугольника,
2. классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла),
3. определение равных треугольников и признаки равенства треугольников,
4. определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников,
5. теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.),
6. признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного),
7. определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др.

Деятельностная сторона [компоненты]:

• распознавание вида треугольника;
• доказательство равенства (подобия) треугольников;
• установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников;
• построение треугольников.

Формы реализации метода зависят от типа задачи:

• на вычисление;
• на доказательство;
• на построение.

Примеры задач, которые можно решить при помощи метода «цепочки треугольников»:

• [7 класс] В остроугольном треугольнике ${\mathcal {ABC}}$ высоты пересекаются в точке ${\mathcal {H}}$. Известно, что ${\mathcal {CH=AB}}$. Найти величину угла ${\mathcal {C}}$.
• Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины».
• На построение:
  • Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне.
  • Построить ромб по высоте и диагонали.
  • Построить треугольник, если даны его периметр и два угла.

Метод геометрических преобразований

Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия.

Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов).

Метод геометрических мест точек (ГМТ)

Сущность метода ГМТ состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: ${\mathcal {P}}_{1}\left(X\right)$ и ${\mathcal {P}}_{2}\left(X\right)$, то есть задача состоит в отыскании множества $\left\{X\mid {\mathcal {P}}_{1}\left(X\right){\text{ и }}{\mathcal {P}}_{2}\left(X\right)\right\}$.

Ссылки

• Методы построений циркулем и линейкой

Литература

• Далингер В. А. Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для вузов / В. А. Далингер. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2023. — 338 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-05736-2, ББК 74.262.21я723, УДК 372.851(075.32)

• Капкаева Л. С. Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для вузов / Л. С. Капкаева. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Издательство Юрайт, 2023. — 264 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-04940-4 (ч. 1), ББК 74.262.21я73
• Подходова Н. С. [и др.] Методика обучения математике в 2 ч. Часть 2 : учебник для вузов / под редакцией Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. — М.: Издательство Юрайт, 2023. — 299 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-08768-0 (ч. 2), ББК 74.202.5я73
• Столяр А. А. Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А. А. Столяр. — Минск: Вышэйшая школа, 1986. — 414 с.
• Фирстова Н. И. ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ / под ред. Л.И. Боженковой, Ю.А. Глазкова, И.М. Смирновой. // СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОДГОТОВКИ ПО МАТЕМАТИКЕ И ИНФОРМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ : статья в сборнике статей. — М.: Эйдос (Санкт-Петербург), 2013. — С. 144-146.