Перейти к содержанию

Математические методы

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Данная статья рассматривает математические методы в школьном курсе математики.

Понятие «метод»[править]

Шаблон:Основной источник Метод есть система последовательных действий, приводящая к достижению поставленной цели. Метод является способом познания и способом практической деятельности.

В методе можно выделить две стороны:

  • объективная — обращена к гносеологической природе метода, т. е. метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта и адекватен его [объекта] сущности;
  • субъективная — связана с деятельностью по применению метода.

Выделение в методе двух сторон позволяет выделить в нём две группы компонентов: гносеологические компоненты, связанные с объективной стороной, и деятельностные компоненты, связанные с субъективной стороной метода.

Гносеологическая основа метода представляет собой систему знаний, которая должна содержать:

  1. исходные знания об объекте, к которому применяется метод, его свойствах (основные понятия, свойства понятия, связи между понятиями);
  2. знания, полученные в ходе преобразования или изучения объекта (изменение свойств объекта под влиянием действий над ним, выявление неизвестных до этого свойств);
  3. знания о сфере приложения метода (круг задач, которые решаются данным методом, типы задач и т.. д.);
  4. знания об особенностях использования метода в зависимости от сферы приложения.

Деятельностные компоненты метода включают:

  1. определённую систему действий, которая зависит от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом и реализация которой ведёт к достижению, соответствующего поставленной цели;
  2. средства осуществления деятельности, основу которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные).

Алгебраические методы[править]

Метод уравнений и неравенств[править]

Метод уравнений и неравенств — метод математики, при реализации которого основным инструментом решения задачи является уравнение, неравенство или их система.

Метод тождественных преобразований[править]

Метод математической индукции[править]

Оформим данную тему структурировано в виде таблицы.

Математические:
ОБЪЕКТЫ ЯВЛЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ МЕТОДЫ
Утверждение (в том числе, верное и ложное), теорема (свойство) Индукция, дедукция, доказательство, логический переход Законы логики (логические переходы) Метод от противного
Утверждение, зависящее от натурального числа; теорема общности

Вводимые объекты: база индукции, индукционное предположение (гипотеза), индукционный переход (шаг индукции)

Математическая индукция, полная и неполная индукция Параметр, «пробегающий» натуральные числа Принцип математической индукции, аксиома индукции, обобщающая теорема об индукции Метод математической индукци

Векторно-координатный метод[править]

Функционально-графический метод[править]

Суть метода: использование свойств функций.

Геометрические методы[править]

Метод «цепочки треугольников»[править]

Суть метода: рассмотрение последовательности треугольников, что приводит к «открытию» решения задачи. Относительно этих треугольников устанавливаются определённые соотношения, следствия из которых позволяют выполнить требование задачи.

Объективная сторона метода [теория]:

  1. определение треугольника,
  2. классификация треугольников (по сторонам и виду наибольшего угла),
  3. определение равных треугольников и признаки равенства треугольников,
  4. определение подобных треугольников и признаки подобия треугольников,
  5. теоремы, выражающие соотношения между сторонами и углами треугольника (например, теорема о том, что против большего угла лежит бо́льшая сторона и наоборот, неравенства для сторон треугольника, теоремы синусов и косинусов и др.),
  6. признаки отдельных видов треугольников (например, прямоугольного или равнобедренного),
  7. определение и теоремы для отрезков в треугольнике: средняя линия, медиана, высота, биссектриса и др.


Деятельностная сторона [компоненты]:

  • распознавание вида треугольника;
  • доказательство равенства (подобия) треугольников;
  • установление соотношений между элементами равных (подобных) треугольников;
  • построение треугольников.


Формы реализации метода зависят от типа задачи:

  • на вычисление;
  • на доказательство;
  • на построение.


Примеры задач, которые можно решить при помощи метода «цепочки треугольников»:

  • [7 класс] В остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке . Известно, что . Найти величину угла .
  • Доказать теорему о свойстве медиан треугольника: «Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. И делятся ею в отношении 2 к 1, считая от вершины».
  • На построение:
    • Построить трапецию по основанию, боковой стороне, углу между ними и другой боковой стороне.
    • Построить ромб по высоте и диагонали.
    • Построить треугольник, если даны его периметр и два угла.

Метод геометрических преобразований[править]

Методы геометрических преобразований делятся на три вида: поворот, параллельный перенос и осевая симметрия.

Не существует метода центральной симметрии, так как центральная симметрия есть частный случай поворота (на 180 градусов).

Метод поворота[править]

Метод параллельного переноса[править]

Метод осевой симметрии[править]

Метод геометрических мест точек (ГМТ)[править]

Сущность метода ГМТ состоит в следующем: задача сводится к отыскиванию некоторой точки (или множества точек), характеризуемой условием, имеющий вид конъюнкции: и , то есть задача состоит в отыскании множества .

Метод дополнительных построений[править]

Методы математического анализа[править]

Метод производной[править]

Примечания[править]

Ссылки[править]

Литература[править]

Шаблон:Наука Шаблон:Разделы математики

Шаблон:Нет сносок