Логико-математический анализ (ЛМА) понятия

Логико-математический анализ (ЛМА) понятия — это

Образцы ЛМА понятий

Алгебра

Модуль числа

Модуль числа – материал взят с сайта Студворк https://studwork.org/order/3143019-zadanie-1-a-vypolnite-logiko-matematicheskiy-analiz-ponyatiya

Арифметическая прогрессия

1. Термин: арифметическая прогрессия.
2. Определение: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».
3. Род: числовая последовательность.
4. В качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число.
5. Свойства:
   1. характеристическое свойство;
   2. комплементарное свойство для любых трёх членов прогрессии;
   3. комплементарное свойство сумм;
   4. характер монотонности;
   5. число членов прогрессии.
7. Контрпримеры:

   Функциями НЕ являются следующие зависимости

   Порядковый номер	Контрпример	Объяснение	Номер пункта
   1	$x^{2}+y^{2}=1$	значению $x=0$ соответствует ровно два значения	3
   2	Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра	это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3	3
   3	${\dfrac {x}{10}}$ $5+y=30$	отсутствует зависимость $y$ от $x$	1
   4	Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей ($X$) и их хобби ($Y$):	Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет.	3
   5	Сумма членов арифметической прогрессии $S=1+3+5+\cdots +(2n-1)$ есть функция числа членов $n$; она выражается формулой $S=n^{2}$. Сама по себе эта формула имеет смысл для любого $n$. Но в данном вопросе аргумент $n$ может принимать лишь значения $1,2,3,4,\ldots$ . Область определения есть множество всех натуральных чисел.	Если рассматривать значения $n={\dfrac {1}{2}}$, $n=-5$, $n={\sqrt {3}}$ и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество $X$) и множеством значений переменной $S$ (множество $Y$) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для $X\equiv \mathbb {N}$ и $Y=\left\{1;\,4;\,9;\,16;\,\ldots \right\}$.	2
   6	Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции	нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению $x$ соответствует не одно, а целых три значения $y$.	3

8. Ведущее действие: Исследование функций.
Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия:
• Построение графика функции;
• Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций.
Однако выбрать надо только одно!
9. Алгоритм исследования функции:
   1. Находим область определения (${\mathcal {D}}_{f}$) функции $y=f\left(x\right)$;
   2. Если ООФ симметрична относительно нуля , то проверяем функцию на чётность.
      1. Если $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, то функция чётная.
         Вывод: график симметричен относительно оси $OY$.
      2. Если $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$, то функция нечётная.
         Вывод: график симметричен относительно начала координат.
   3. Пример 3
   4. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства $f\left(x\right)>0$ и $f\left(x\right)<0$.
   </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует.
   5. Область применения понятия «функция»:

   Функция

   1. Термин: функция.
   2. Определение: «Соответствие (правило, закон) $y=f\left(x\right)$ называют функцией между элементами двух множеств ($X$ и $Y$), если каждому элементу множества $X$ ($x\in X$) соответствует единственный элемент множества $Y$ ($y\in Y$)».
   3. Род: зависимость (соответствие).
   4. Функция — это
      1. соответствие (правило, закон) $y=f\left(x\right)$;
      2. между элементами двух множеств ($X$ и $Y$);
      3. каждому элементу множества $X$ ($x\in X$) соответствует единственный элемент множества $Y$ ($y\in Y$)».
   5. Свойства:
      1. область определения и множество значений функции;
      2. наибольшее и наименьшее значения;
      3. нули функции;
      4. периодичность функции;
      5. непрерывность и разрывность функции в точке;
      6. дифференцируемость и недифференцируемость функции в точке;
      7. чётность и нечётность функции;
      8. промежутки монотонности (промежутки возрастания, убывания, неубывания и невозрастания);
      9. наличие либо отсутствие обратной функции;
      10. области положительных и отрицательных значений (промежутки знакопостоянства) функции;
      11. экстремумы (минимум и максимум) функции.
   6. Объём понятия: алгебраические и трансцендентные функции.
   7. Контрпримеры:

      Функциями НЕ являются следующие зависимости

      Порядковый номер	Контрпример	Объяснение	Номер пункта
      1	$x^{2}+y^{2}=1$	значению $x=0$ соответствует ровно два значения	3
      2	Продолжительность движения точки по окружности не является функцией расстояния от центра	это расстояние постоянно, поэтому нарушается условие пункта 3	3
      3	${\dfrac {x}{10}}$ $5+y=30$	отсутствует зависимость $y$ от $x$	1
      4	Возьмём следующее соответствие между множествами — компанию друзей ($X$) и их хобби ($Y$):	Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Значит, такое соответствие функцией НЕ будет.	3
      5	Сумма членов арифметической прогрессии $S=1+3+5+\cdots +(2n-1)$ есть функция числа членов $n$; она выражается формулой $S=n^{2}$. Сама по себе эта формула имеет смысл для любого $n$. Но в данном вопросе аргумент $n$ может принимать лишь значения $1,2,3,4,\ldots$ . Область определения есть множество всех натуральных чисел.	Если рассматривать значения $n={\dfrac {1}{2}}$, $n=-5$, $n={\sqrt {3}}$ и т. п., то им не соответствуют никакие значения функции. А следовательно, соответствие между множеством всех вещественных чисел (множество $X$) и множеством значений переменной $S$ (множество $Y$) функцией НЕ является; ведь в данном контексте такое соответствие установить нельзя: только для $X\equiv \mathbb {N}$ и $Y=\left\{1;\,4;\,9;\,16;\,\ldots \right\}$.	2
      6	Кривая, изображённая на рисунке, НЕ является графиком функции	нарушение требования однозначности; ведь на ней есть точки, где каждому значению $x$ соответствует не одно, а целых три значения $y$.	3

   8. Ведущее действие: Исследование функций.
   Здесь можно указать ещё, как минимум, 2 ведущих действия:
   • Построение графика функции;
   • Решение различных задач, в частности уравнений и неравенств, с использованием свойств функций.
   Однако выбрать надо только одно!
   9. Алгоритм исследования функции:
      1. Находим область определения (${\mathcal {D}}_{f}$) функции $y=f\left(x\right)$;
      2. Если ООФ симметрична относительно нуля , то проверяем функцию на чётность.
         1. Если $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, то функция чётная.
            Вывод: график симметричен относительно оси $OY$.
         2. Если $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$, то функция нечётная.
            Вывод: график симметричен относительно начала координат.
      3. Пример 3
      4. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства $f\left(x\right)>0$ и $f\left(x\right)<0$.
      </ пр> Если функция f(x) является чётной (2.а) либо нечётной (2.b), то можно построить часть графика для x≥0, а затем соответствующим образом отобразить её. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции. Для этого решаем уравнение: f(x)=0. Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью OX. Находим точку пересечения графика функции y=f(x) с осью ординат (OY). Для этого ищем значения функции при x=0. Находим промежутки знакопостоянства функции. Чтобы это сделать, нужно решить неравенства f(x)>0 и f(x)<0. Находим асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные и наклонные. Если функция f(x) периодическая, то находим период T≠0 функции. Чтобы построить график T-периодической функции, достаточно построить его часть на любом отрезке длины T из D_f, а затем полученную часть графика параллельно перенести на nT (n∈N) вправо и влево вдоль оси OX. Промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции. Находим критические точки f(x). Для этого находим производную функции и решаем уравнение f'(x)=0, если производная существует.
      5. Область применения понятия «функция»:

      Уравнение

      Геометрия

      Угол

      Треугольник

      Медиана треугольника

      Параллелограмм

      Математический анализ