Логико-математический анализ теоремы

Логико-математический анализ (ЛМА) теоремы — это

Образцы ЛМА теоремы

Алгебра

Прогрессии

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны

1. Теорема сформулирована в категоричной форме.
2. В импликативной форме теорема будет иметь вид: «Суммы членов арифметической прогрессии равны, если суммы их номеров равны». Символьная формулировка: «Если $n+m=k+l$, то $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$, где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$».
3. Структура теоремы.
   1. Разъяснительная часть: "".
   2. Условие: "".
   3. Требование: "".
4. Доказательство.

   Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

   Дано: $n+m=k+l$, где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$. Доказать, что $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$. Шаг Утверждение Обоснование 1 Найдём $n$-й член арифметической прогрессии по известной формуле: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии. 2 Аналогично можно найти $a_{m}$: $a_{m}=a_{1}+(m-1)d$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии, подстановка в формулу. 3 Тогда их сумма равна: $a_{n}+a_{m}=2a_{1}+(n+m-2)d$. Сложение соответствующих частей верных буквенных равенств, приведение подобных слагаемых. 4 Заменив сумму $n+m$ в правой части на сумму $k+l$, получим следующее: $a_{n}+a_{m}=2a_{1}+(k+l-2)d$. Подстановка в формулу, условие: $n+m=k+l$. 5 Далее имеем: $a_{n}+a_{m}=a_{1}+(k-1)d+a_{1}+(l-1)d$. Раскрытие скобок, группировка слагаемых. 6 Наконец, приходим к равенству: $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$, что и требовалось доказать. Подстановка в формулу, формула $n$-го члена арифметической прогрессии.

5. Формулировки утверждений:
   1. обратного данному: «Если суммы членов арифметической прогрессии равны, то суммы номеров этих членов равны».

   Доказательство по схеме УТВЕРЖДЕНИЕ—ОБОСНОВАНИЕ

   Дано: $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$, где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$. Доказать, что $n+m=k+l$. Шаг Утверждение Обоснование 1 Преобразуем равенство $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$. Имеем:$a_{1}+(n-1)d+a_{1}+(m-1)d=a_{1}+(k-1)d+a_{1}+(l-1)d$. Условие, формула $n$-го члена арифметической прогрессии. 2 Или, что то же самое: $(n-1)d+(m-1)d=(k-1)d+(l-1)d$. Определение и свойство алгебраического равенства (равносильное преобразование): свойство стабильности (монотонности) сложения. 3 Далее получаем: $n-1+m-1=k-1+l-1$. Равносильное преобразование: определение и вынесение общего множителя, свойство стабильности (монотонности) умножения. 4 Наконец, приходим к равенству: $n+m=k+l$, что и требовалось доказать. Равносильное преобразование: свойство стабильности (монотонности) сложения.

   2. противоположное данному: «Суммы членов арифметической прогрессии не равны, если не равны суммы их номеров».

   Доказательство методом от противного: Дано: $n+m\neq k+l$, где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$. Доказать, что $a_{n}+a_{m}\neq a_{k}+a_{l}$.
   Допустим, что суммы членов данной арифметической прогрессии равны, то есть $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$. Тогда в силу уже доказанной обратной теоремы суммы номеров этих членов равны: $n+m=k+l$. Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы членов не равны, что и требовалось доказать.

   3. обратное противоположному (контрапозитивное): «Если суммы членов арифметической прогрессии не равны, то не равны суммы номеров этих членов».

   Доказательство методом от противного: Дано: $a_{n}+a_{m}\neq a_{k}+a_{l}$, где $\left(n,\,m,\,k,\,l\right)\in \mathbb {N}$ и $\left\{{a_{n}}\right\}$ — $\div$. Доказать, что $n+m\neq k+l$.
   Допустим, что суммы номеров членов данной арифметической прогрессии равны, то есть $n+m=k+l$. Тогда по прямой теореме суммы соответствующих членов равны: $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$. Но это противоречит условию. Значит, допущение неверно. Поэтому суммы номеров этих членов не равны, что и требовалось доказать.

6. Математические и общенаучные методы.
   • Математические: метод тождественных преобразований.
   • Общенаучные: анализ и синтез.
7. Область применения: задачи, где дана арифметическая прогрессия.

Геометрия

Планиметрия

Трапеция

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

1. Теорема сформулирована в категоричной форме, поскольку в тексте нет "если ..., то";
2. Вид суждения: сложное (есть 2 заключения)