Куммер, Кэлер, Кодайра

Сегодня разговор пойдёт о многообразии K3: оказывается, кроме горы K3 есть ещё и другие штуки с тем же названием.

орбифолд орбифолд ExE/Z_2

На любой группе ли есть инволюция $x\mapsto -x$ . Например, при факторизации обычного тора (точнее, одномерного комплексного тора, ещё точнее, эллиптической кривой) $E$ по этой инволюции получается сфера. А если факторизовать произведение $E\times E$ , то фактормногообразие не будет гладким: будет 16 квадратичных особенностей. Раздуем их. То, что получается, является примером K3.

ромб Ходжа

Найдём фундаментальную группу. Возьмём путь на K3 и замкнутый прообраз его на торе. Любой путь можно сдвинуть с -2-кривых, и разложить в сумму по 4 направлениям. Поскольку фактор окружности по инволюции есть отрезок, то на K3 эти пути можно стянуть.

На K3 c тора индуцируется голоморфная форма объёма, то есть то, что выглядит как $dz_{1}\wedge dz_{2}$ .

Это стоит продумать. Обычно при раздутии форма объёма обращается в ноль на точках вклеиваемой поверхности. Почему же утверждается, что мы получим форму без нулей?

Такая форма одна (почему?). То же самое относится к антиголоморфной форме.

Чтобы найти топологические (ко)гомологии, заметим, что при факторизации от тора выживают ровно когомологии чётных размерностей (по-научному, инварианты инволюции алгебры Грассмана) мы заметим, что любая гомология фактора приходит сверху (а именно, из половины своего прообраза). При факторизации выживают только четные элементы группы гомологий тора, которых 6 в размерности 2. Далее, вклеивание одного $P^{1}$ добавляет 1 двумерную (ко)гомологию (всегда ли это так?), так что $h^{2}=6+16$ .

Информации уже достаточно, чтобы нарисовать ромб Ходжа. Сделайте это.

Далее, на двумерных гомологиях есть структура, а именно, их можно пересекать и смотреть количество точек пересечения.

Найдите форму пересечения (подсказка: как мы строили гомологии?). Чему равен её det, сигнатура?

Заметим, что форма получилась чётная, то есть всегда ~~$(x,y)$~~ $(x,x)$ делится на 2. Это можно было понять заранее, потому что вообще $(x,x)=(x,K)$ по модулю 2 (почему?). (Односвязное) четырёхмерное многообразие практически полностью определяется формой пересечения, в гладком и гомотопическом смысле ~~(а как насчёт бордантности?)~~

уравнение в P^3

Ещё в древности люди доказали, что описанное выше разрешение особенностей может быть задано некоторым уравнением четвёртой степени в $P^{3}$ . На самом деле современное доказательство этого использует только размерности когомологий.

И я сейчас думаю, как подать теорему Римана-Роха, которая, видимо, существенна для доказательства.

вычисления

Пусть X задаётся уравнением четвёртой степени в $P^{3}$ , например, $x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}$ (хотя именно это уравнение задаёт довольно специальную K3, [1]). Тогда, наоборот, можно было бы доказать односвязность, вычислить канонический класс и когомологии X, даже если бы мы не знали, что они такие же, как у Примера (потому что непрерывно меняя коэффициенты уравнения можно привести его к уравнению Примера).

Написать про это

определения K3

Вот разные определения K3: поверхность, которая:

есть деформация Примера (точка этой связной компоненты пространства модулей алгебраических многообразий)
имеет такую форму пересечения
диффеоморфна Примеру
имеет $h^{1}=0$ и $c_{1}({\mbox{tangent}})=0$
гиперкэлерова, но не плоская
задаётся уравнением 4 степени в P^3 (не совсем верное определение)

Написать про эквивалентность разных определений

todo

Написать про кэлеровость, гиперкэлеровость, действие $sl_{2}$
Написать про периоды и про модули K3
- Можно ли понять 20 модулей геометрически?
Написать про другие эллиптические поверхности

отличный обзор, в котором написано и про разные Calabi-Yau, зачем они нужны, и про K3 тоже: [2].

См. также