Перейти к содержанию

Куммер, Кэлер, Кодайра

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Сегодня разговор пойдёт о многообразии K3: оказывается, кроме горы K3 есть ещё и другие штуки с тем же названием.

орбифолд орбифолд ExE/Z_2

[править]

На любой группе ли есть инволюция . Например, при факторизации обычного тора (точнее, одномерного комплексного тора, ещё точнее, эллиптической кривой) по этой инволюции получается сфера. А если факторизовать произведение , то фактормногообразие не будет гладким: будет 16 квадратичных особенностей. Раздуем их. То, что получается, является примером K3.

ромб Ходжа

[править]

Найдём фундаментальную группу. Возьмём путь на K3 и замкнутый прообраз его на торе. Любой путь можно сдвинуть с -2-кривых, и разложить в сумму по 4 направлениям. Поскольку фактор окружности по инволюции есть отрезок, то на K3 эти пути можно стянуть.

На K3 c тора индуцируется голоморфная форма объёма, то есть то, что выглядит как .

  • Это стоит продумать. Обычно при раздутии форма объёма обращается в ноль на точках вклеиваемой поверхности. Почему же утверждается, что мы получим форму без нулей?

Такая форма одна (почему?). То же самое относится к антиголоморфной форме.

Чтобы найти топологические (ко)гомологии, заметим, что при факторизации от тора выживают ровно когомологии чётных размерностей (по-научному, инварианты инволюции алгебры Грассмана) мы заметим, что любая гомология фактора приходит сверху (а именно, из половины своего прообраза). При факторизации выживают только четные элементы группы гомологий тора, которых 6 в размерности 2. Далее, вклеивание одного добавляет 1 двумерную (ко)гомологию (всегда ли это так?), так что .

  • Информации уже достаточно, чтобы нарисовать ромб Ходжа. Сделайте это.

Далее, на двумерных гомологиях есть структура, а именно, их можно пересекать и смотреть количество точек пересечения.

  • Найдите форму пересечения (подсказка: как мы строили гомологии?). Чему равен её det, сигнатура?

Заметим, что форма получилась чётная, то есть всегда делится на 2. Это можно было понять заранее, потому что вообще по модулю 2 (почему?). (Односвязное) четырёхмерное многообразие практически полностью определяется формой пересечения, в гладком и гомотопическом смысле (а как насчёт бордантности?)

уравнение в P^3

[править]

Ещё в древности люди доказали, что описанное выше разрешение особенностей может быть задано некоторым уравнением четвёртой степени в . На самом деле современное доказательство этого использует только размерности когомологий.

  • И я сейчас думаю, как подать теорему Римана-Роха, которая, видимо, существенна для доказательства.

вычисления

[править]

Пусть X задаётся уравнением четвёртой степени в , например, (хотя именно это уравнение задаёт довольно специальную K3, [1]). Тогда, наоборот, можно было бы доказать односвязность, вычислить канонический класс и когомологии X, даже если бы мы не знали, что они такие же, как у Примера (потому что непрерывно меняя коэффициенты уравнения можно привести его к уравнению Примера).

  • Написать про это

определения K3

[править]

Вот разные определения K3: поверхность, которая:

  1. есть деформация Примера (точка этой связной компоненты пространства модулей алгебраических многообразий)
  2. имеет такую форму пересечения
  3. диффеоморфна Примеру
  4. имеет и
  5. гиперкэлерова, но не плоская
  6. задаётся уравнением 4 степени в P^3 (не совсем верное определение)
  • Написать про эквивалентность разных определений
  • Написать про кэлеровость, гиперкэлеровость, действие
  • Написать про периоды и про модули K3
    • Можно ли понять 20 модулей геометрически?
  • Написать про другие эллиптические поверхности

отличный обзор, в котором написано и про разные Calabi-Yau, зачем они нужны, и про K3 тоже: [2].

См. также

[править]