Калькулятор нечеткой арифметики (математики)

Руководство по калькулятору нечеткой арифметики (математики)

Мы создали сервис для решения сложно формализованных задач. Этот сервис использует нечеткие множества Лотфи Заде, как средство преодоления неопределенности. Этот метод может быть использован в инженерных экономических и научных исследованиях. 
Сервис представляет собой язык сценариев, построенный на однопроходном интерпретаторе. Интерпретатор включает в себя семантический и синтаксический анализатор операторов, а также необходимые обработчики ошибок. Операторы языка предназначены для ввода действительных чисел, нечетких множеств (чисел), арифметических операций с нечеткими числами такими, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня нечеткого числа. Форма обслуживания выполняет ввод и вывод данных, а также возвращает результат дефаззификации нечеткого множества, рисунок 1. 

Рисунок 1. - Общий вид формы

Интерфейс сервиса представлен командным окном и меню запроса нечеткого множества с кнопкой передачи параметров, рисунок 2. В командное окно вводятся параметры модели и операторы математических действий.  

Рисунок 2. - Командное окно

Меню запроса нечеткого треугольного числа позволяет возвращать значения всех нечетких переменных, которыми оперирует скрипт. Не только конечной, но и промежуточных. Значения нечетких переменных автоматически переопределяются в процессе вычислений. Кнопкой вывода нечеткого множества обеспечиваются вычисления результат, которого визуализируется графиком и массивом декартовых координат, рисунок 3. 
 

Рисунок 3. - Визуализация нечеткого множества

Контроль имени нечеткого множества и результата дефаззификации представлен элементом формы, рисунок 4.  
 

Рисунок 4. - Действие элементов формы

Выводится имя нечеткой переменной и результат диффазификации, который является результатом вычисления центроида фигуры определяющей нечеткое множество. 
Рассмотрим синтаксис языка. Присвоение переменной действительного числа осуществляется по шаблону [a-z] = [0-9]; . Где имя переменной - строчные символы латинского алфавита, а присеваемые значения в пределе от минус до плюс бесконечности. Символ « ; » означает конец выражения. 

a = -0.5; bb = 10; i = 2.5; j = 3; k = 3.5;

Действительные числа должны быть определены до нечетких множеств это связано с заполнением внутренних справочников интерпретатора.  
Присвоение переменной нечеткому числу определяется шаблоном [A-Z] = TN([a-z], [a-z], [a-z]); . Имя нечеткой переменной строчные буквы, а «TN» оператор записи в справочник нечеткого числа на основе переменных действительных чисел.  

A = TN (a, b, c); FC = TN (i, j, k); BB = TN (xx, yy, zz);

Сложение нечетких множеств выполняется по шаблону [A-Z] = TA([A-Z], [A-Z]); a=3; b=4; c=5; i=1; j=2; k=3; A=TN(a,b,c); 

B=TN(i,j,k); C=TA(A,B);

Рисунок 5. – Результат сложения нечетких чисел

Вычитание нечетких множеств выполняется по шаблону [A-Z] = TS([A-Z], [A-Z]); 

a=3; b=4; c=5; i=1; j=2; k=3; A=TN(a,b,c); B=TN(i,j,k); C=TS(A,B);

Рисунок 6. – Результат вычитания нечетких чисел

нечетких множеств выполняется по шаблону [A-Z] = TM([A-Z], [A-Z]); a=3; b=4; c=5; i=1; j=2; k=3; A=TN(a,b,c); 

B=TN(i,j,k); C=TM(A,B);

Рисунок 7. – Результат произведения нечетких чисел

Деление нечетких множеств выполняется по шаблону [A-Z] = TD([A-Z], [A-Z]); a=3; b=4; c=5; i=1; j=2; k=3; A=TN(a,b,c); 

B=TN(i,j,k); C=TD(A,B);

Рисунок 8. – Результат вычисления частного нечетких чисел Возведение в степень нечеткого множества, шаблон [A-Z] = TP([A-Z], [a-z]); a=3; b=4; c=5; j=2; A=TN(a,b,c); C=TP(A,j);

Рисунок 9. – Результат возведения в степень нечеткого числа

Извлечение корня нечеткого числа, шаблон [A-Z] = TP([A-Z], [a-z]); 

a=3; b=4; c=5; j=0.5; A=TN(a,b,c); C=TP(A,j);

Рисунок 10. – Результат вычисления корня нечеткого числа

Применение нечеткой арифметики, как парадигмы для реализации методов финансового менеджмента рассмотрим на примерах модельных расчетов точки безубыточности и чистого дисконтированного дохода в условиях неопределенности исходной информации. Определим точку безубыточности объема производства если неопределенность исходной информации характеризуется вариацией в +/-10%. 
Пусть постоянные затраты составляют от $ 108000 до $ 132000 $, а наиболее вероятно $ 120000. Цена за единицу продукции составляет от $ 3,6 до $ 4,4 и скорее всего $ 4. Переменные затраты на единицу составляют от $ 1,44 до $ 1,76 и скорее всего $ 1,6. Данные сведем в таблицу 1. 

Таблица 1. – Данные для расчета возможных значений безубыточного объема производства

Обычный расчет безубыточного объема производства на основе наиболее возможных данных дает $ 120000/ ($ 4 - $ 1,6) = 50000 единиц продукции. Но используя наш сервис, мы получим больше данных для аналитики и выводов. a = 108000; b = 120000; c = 132000; i = 3.6; j = 4; k = 4.4; x = 1.44; y = 1.6; z = 1.76; 

FC = TN(a,b,c); PU = TN(i,j,k); VCU = TN(x,y,z); A = TS(PU,VCU); BP = TD(FC,A);

Рисунок 11. – Результаты определения безубыточного объема производства

Если принять во внимание, нижнее значение и верхнее значение нечеткого множества «безубыточный объем производства» являются границами доверительного интервала 36486 и 71739 единиц соответственно наименее возможны. А значении в 50000 единиц безубыточного объема наиболее возможно, то пространство нечеткого множества будет смещено в сторону больших значений и его результирующая (центроид) составит 51553 единицы. 
Результат будет давать учет отклонений исходных параметров анализа, необходимый в задачах планирования деятельности организаций.  
Приведем пример расчета из области оценки эффективности инвестиций путем сравнения денежных потоков расчетом показателя чистого дисконтированного дохода (NPV). Исходные данные сведем в таблицу 2. 

Таблица 2. – Исходные данные определения чистого дисконтированного дохода при неопределенности внешней и внутренней среды организации

Используя скриптовый язык запишем исходные данные нечетких интервальных значений таблицы 2 и ход расчетов чистого дисконтированного дохода найдем NPV. 

d=0.06; dd=0.07; ddd=0.08; k=4.75; a=0.9; aa=1; aaa=1.1; b=1.8; bb=2; bbb=2.2; c=2.7; cc=3; ccc=3.3; n=0; nn=1; nnn=2; nnnn=3; NPV = TN(n,n,n); K = TN(k,k,k); A = TN(a,aa,aaa); B = TN(b,bb,bbb); C = TN(c,cc,ccc); D = TN(d,dd,ddd); ONE = TN(nn,nn,nn); ONE = TA(ONE,D); DA = TP(ONE,nn); DB = TP(ONE,nnn); DC = TP(ONE,nnnn); A = TD(A,DA); B = TD(B,DB); C = TD(C,DC); NPV=TA(NPV,A); NPV=TA(NPV,B); NPV=TA(NPV,C); NPV=TS(NPV,K);

Результат NPV будет лежать в диапазоне значений от -0.230 до 1.016 с наибольшей возможностью 0.380 млн. $, рисунок 12.  
 

Рисунок 12. – Результаты определения NPV

Но как мы уже отмечали центроид нечеткого множества может не совпадать с наиболее возможным значением и с следует при выработке решений принимать во внимание именно значение центроида множества, так как он учитывает все возможные отклонения. Для нашего примера это значение равно 0,385 млн. $. 
По результатам технических разработок и приведенного исследования можно сделать ряд выводов: возможно оперировать понятием множество с нечеткими границами для формального описания экономических категорий; можно эти категории обозначать границами доверительных интервалов, что актуально при планировании; при принятии решений по результатам вычислений целесообразно использовать вычисляемый цент тяжести (центроид) множества; использование нечетких множеств позволяет учитывать больший объем информации, что положительно сказывается на качестве планирования деятельности организации и соответственно повышает качество финансового менеджмента. 

Абаев Владимир Александрович, Садыкова Зульфира Флоридовна