Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат $Oxyz$, находят направляющие вектора двух прямых ${\vec {s_{1}}}(a,b,c)$ и ${\vec {s_{2}}}(d,e,f)$ (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой ${\vec {m}}(g,h,l)$, где $a,b,c,d,e,f,g,h,l\in \mathbb {R}$. Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:

$d={\frac {\left|\left({\vec {m}},{\vec {s_{1}}},{\vec {s_{2}}}\right)\right|}{\left|\left[{\vec {s_{1}}},{\vec {s_{2}}}\right]\right|}}$, где $\left|\left({\vec {m}},{\vec {s_{1}}},{\vec {s_{2}}}\right)\right|$ — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно

${\begin{vmatrix}g&h&l\\a&b&c\\d&e&f\end{vmatrix}}=gbf+chd+ale-dbl-ahf-gec$,

а $\left|\left[{\vec {s_{1}}},{\vec {s_{2}}}\right]\right|$ — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно

${\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a&b&c\\d&e&f\end{vmatrix}}=bf{\vec {i}}+cd{\vec {j}}+ae{\vec {k}}-db{\vec {k}}-af{\vec {j}}-ce{\vec {i}}=(bf-ce,cd-af,ae-db)$, а сам модуль равен $\left|\left[{\vec {s_{1}}},{\vec {s_{2}}}\right]\right|={\sqrt {(bf-ce)^{2}+(cd-af)^{2}+(ae-db)^{2}}}$

Пример

В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найти расстояние между прямыми $A_{1}D$ и $CC_{1}$, если ребро куба равно 1.

Решение с использованием обычной геометрии

Найдём плоскость, перпендикулярную прямой $CC_{1}$. Это будет плоскость $(ABC)$. Проекцией прямой $A_{1}D$ на плоскость $(ABC)$ является прямая $AD$. Из точки С, как точки пересечения прямой $CC_{1}$ и плоскости $ABC$ опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая $CD$, длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.

Ответ: 1.

Решение с помощью аналитической геометрии

Введём в точке A декартовую систему координат так, что ${\overrightarrow {AB}}={\vec {i}},{\overrightarrow {AD}}={\vec {j}},{\overrightarrow {AA_{1}}}={\vec {k}}$, тогда координаты интересующих нас точек равны $~A_{1}(0;0;1),D(0;1;0),C(1;1;0),C_{1}(1,1,1)$, а нужные нам вектора имеют координаты ${\vec {m}}={\overrightarrow {DC}}(1;0;0),{\vec {s_{1}}}={\overrightarrow {CC_{1}}}(0;0;1),{\vec {s_{2}}}={\overrightarrow {A_{1}D}}(0;1;-1)$.

Смешанное произведение трёх векторов равно $\left({\vec {m}},{\vec {s_{1}}},{\vec {s_{2}}}\right)={\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&-1\end{vmatrix}}=-1$, а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно $\left[{\vec {s_{1}}},{\vec {s_{2}}}\right]={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\0&0&1\\0&1&-1\end{vmatrix}}=-{\vec {i}}=(-1;0;0)$, а его модуль тогда равен ${\sqrt {(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}}}=1$, и расстояние между прямыми равно $d={\frac {1}{1}}=1$.

Ответ: 1.

Угол между двумя плоскостями

Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат $Oxyz$, находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}}$ к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек $A(s,t,u),B(m,n,o),C(p,q,r)$ находят уравнение плоскости согласно уравнению

${\begin{vmatrix}x-s&y-t&z-u\\m-s&n-t&o-u\\p-s&q-t&r-u\end{vmatrix}}=0$ и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле $\cos \varphi ={\frac {({\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}})}{\left|{\overrightarrow {n_{1}}}\right|\cdot \left|{\overrightarrow {n_{2}}}\right|}}$, где в числителе стоит скалярное произведение векторов.

Пример

В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найти угол между плоскостями $ACC_{1}$ и $BB_{1}D_{1}$, если ребро куба равно $a$.

Решение методом обычной геометрии

1. $BB_{1}D_{1}\cap ACC_{1}=OO_{1}$, где $O=B_{1}D_{1}\cap A_{1}C_{1},O_{1}=BD\cap AC$

2. $OO_{1}\perp ABC,ABC\cap ACC_{1}=AC,ABC\cap BB_{1}D_{1}=BD$

3. $\angle (AC,BD)=90^{\circ }$ (как угол между диагоналями квадрата, $ABCD$ — квадрат, как одно из оснований куба.

Ответ: $90^{\circ }$

Решение методом аналитической геометрии

Введём декартовую систему координат Oxyz так, что ${\overrightarrow {AB}}(a;0;0),{\overrightarrow {AD}}(0;a;0),{\overrightarrow {AA_{1}}}(0;0;a)$, тогда координаты интересующих нас точек равны $~A(0;0;0),A_{1}(0;0;a),C(a;a;0),B(a;0;0),B_{1}(a;0;a),D(0;a;0)$. Уравнение плоскости $AA_{1}C$:

${\begin{vmatrix}x&y&z\\0&0&a\\a&a&0\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow a^{2}y-a^{2}x=0\Rightarrow {\overrightarrow {n_{1}}}(-a^{2};a^{2};0)$

Уравнение плоскости $BB_{1}D$:

${\begin{vmatrix}x-a&y&z\\0&0&a\\-a&a&0\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow -a^{2}y-a^{2}(x-a)=0\Leftrightarrow -a^{2}x-a^{2}y+a^{3}=0\Rightarrow {\overrightarrow {n_{2}}}(-a^{2};-a^{2};0)$

$\left({\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}}\right)=-a^{2}\cdot (-a^{2})-a^{2}\cdot a^{2}=0$. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен $90^{\circ }$

Ответ: $90^{\circ }$