Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат $O x y z$ , находят направляющие вектора двух прямых $\vec{s_{1}} (a, b, c)$ и $\vec{s_{2}} (d, e, f)$ (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой $\vec{m} (g, h, l)$ , где $a, b, c, d, e, f, g, h, l \in ℝ$ . Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:

$d = \frac{| (\vec{m}, \vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}) |}{| [\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}] |}$ , где $| (\vec{m}, \vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}) |$ — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно

$| \begin{matrix} g & h & l \\ a & b & c \\ d & e & f \end{matrix} | = g b f + c h d + a l e - d b l - a h f - g e c$ ,

а $| [\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}] |$ — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно

$| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & b & c \\ d & e & f \end{matrix} | = b f \vec{i} + c d \vec{j} + a e \vec{k} - d b \vec{k} - a f \vec{j} - c e \vec{i} = (b f - c e, c d - a f, a e - d b)$ , а сам модуль равен $| [\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}] | = \sqrt{(b f - c e)^{2} + (c d - a f)^{2} + (a e - d b)^{2}}$

Пример

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найти расстояние между прямыми $A_{1} D$ и $C C_{1}$ , если ребро куба равно 1.

Решение с использованием обычной геометрии

Найдём плоскость, перпендикулярную прямой $C C_{1}$ . Это будет плоскость $(A B C)$ . Проекцией прямой $A_{1} D$ на плоскость $(A B C)$ является прямая $A D$ . Из точки С, как точки пересечения прямой $C C_{1}$ и плоскости $A B C$ опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая $C D$ , длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.

Ответ: 1.

Решение с помощью аналитической геометрии

Введём в точке A декартовую систему координат так, что $\vec{A B} = \vec{i}, \vec{A D} = \vec{j}, \vec{A A_{1}} = \vec{k}$ , тогда координаты интересующих нас точек равны $A_{1} (0; 0; 1), D (0; 1; 0), C (1; 1; 0), C_{1} (1, 1, 1)$ , а нужные нам вектора имеют координаты $\vec{m} = \vec{D C} (1; 0; 0), \vec{s_{1}} = \vec{C C_{1}} (0; 0; 1), \vec{s_{2}} = \vec{A_{1} D} (0; 1; - 1)$ .

Смешанное произведение трёх векторов равно $(\vec{m}, \vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}) = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix} | = - 1$ , а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно $[\vec{s_{1}}, \vec{s_{2}}] = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix} | = - \vec{i} = (- 1; 0; 0)$ , а его модуль тогда равен $\sqrt{(- 1)^{2} + 0^{2} + 0^{2}} = 1$ , и расстояние между прямыми равно $d = \frac{1}{1} = 1$ .

Ответ: 1.

Угол между двумя плоскостями

Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат $O x y z$ , находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек $A (s, t, u), B (m, n, o), C (p, q, r)$ находят уравнение плоскости согласно уравнению

$| \begin{matrix} x - s & y - t & z - u \\ m - s & n - t & o - u \\ p - s & q - t & r - u \end{matrix} | = 0$ и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле $\cos φ = \frac{(\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})}{| \vec{n_{1}} | \cdot | \vec{n_{2}} |}$ , где в числителе стоит скалярное произведение векторов.

Пример

В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найти угол между плоскостями $A C C_{1}$ и $B B_{1} D_{1}$ , если ребро куба равно $a$ .

Решение методом обычной геометрии

1. $B B_{1} D_{1} \cap A C C_{1} = O O_{1}$ , где $O = B_{1} D_{1} \cap A_{1} C_{1}, O_{1} = B D \cap A C$

2. $O O_{1} ⊥ A B C, A B C \cap A C C_{1} = A C, A B C \cap B B_{1} D_{1} = B D$

3. $∠ (A C, B D) = 9 0^{\circ}$ (как угол между диагоналями квадрата, $A B C D$ — квадрат, как одно из оснований куба.

Ответ: $9 0^{\circ}$

Решение методом аналитической геометрии

Введём декартовую систему координат Oxyz так, что $\vec{A B} (a; 0; 0), \vec{A D} (0; a; 0), \vec{A A_{1}} (0; 0; a)$ , тогда координаты интересующих нас точек равны $A (0; 0; 0), A_{1} (0; 0; a), C (a; a; 0), B (a; 0; 0), B_{1} (a; 0; a), D (0; a; 0)$ . Уравнение плоскости $A A_{1} C$ :

$| \begin{matrix} x & y & z \\ 0 & 0 & a \\ a & a & 0 \end{matrix} | = 0 \Leftrightarrow a^{2} y - a^{2} x = 0 \Rightarrow \vec{n_{1}} (- a^{2}; a^{2}; 0)$

Уравнение плоскости $B B_{1} D$ :

$| \begin{matrix} x - a & y & z \\ 0 & 0 & a \\ - a & a & 0 \end{matrix} | = 0 \Leftrightarrow - a^{2} y - a^{2} (x - a) = 0 \Leftrightarrow - a^{2} x - a^{2} y + a^{3} = 0 \Rightarrow \vec{n_{2}} (- a^{2}; - a^{2}; 0)$

$(\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}) = - a^{2} \cdot (- a^{2}) - a^{2} \cdot a^{2} = 0$ . Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен $9 0^{\circ}$

Ответ: $9 0^{\circ}$