Перейти к содержанию

Использование аналитической геометрии в задаче C2 ЕГЭ по математике

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Расстояние между скрещивающимися прямыми[править]

Обычная геометрия: в обычной геометрии расстояние между скрещивающимися прямыми находят так: Находят плоскость, перпендикулярную одной из прямых, ортогонально проецируют вторую прямую на эту плоскость и из точки пересечения первой прямой и плоскости проводят перпендикуляр к проекции второй прямой. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат , находят направляющие вектора двух прямых и (направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный данной прямой) и вектор, соединяющий любую точку первой прямой с любой точкой второй прямой , где . Расстояние между скрещивающимися прямыми находят по формуле:

, где  — это модуль смешанного произведения данных векторов, подмодульное выражение которого равно

,

а  — это модуль векторного произведения направляющих векторов данных прямых, подмодульное выражение которого равно

, а сам модуль равен

Пример[править]

В кубе найти расстояние между прямыми и , если ребро куба равно 1.

Решение с использованием обычной геометрии[править]

Найдём плоскость, перпендикулярную прямой . Это будет плоскость . Проекцией прямой на плоскость является прямая . Из точки С, как точки пересечения прямой и плоскости опустим перпендикуляр на прямую AD, этим перпендикуляром является прямая , длина которой равна 1. Откуда расстояние между данными прямыми равно 1.

Ответ: 1.

Решение с помощью аналитической геометрии[править]

Введём в точке A декартовую систему координат так, что , тогда координаты интересующих нас точек равны , а нужные нам вектора имеют координаты .

Смешанное произведение трёх векторов равно , а его модуль, соответственно, равен 1. Векторное произведение направляющих векторов равно , а его модуль тогда равен , и расстояние между прямыми равно .

Ответ: 1.

Угол между двумя плоскостями[править]

Обычная геометрия: Пусть плоскости пересекаются. Проведём плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым, угол между которыми и является искомым.

Аналитическая геометрия: Вводят декартовую систему координат , находят координаты трёх точек каждой плоскости, находят нормальные вектора к каждой плоскости, и находят угол между ними. Зная координаты точек находят уравнение плоскости согласно уравнению

и упрощают его. Коэффициенты при x, y и z и будут координатами вектора нормали к плоскости. Угол между нормальными векторами находится по формуле , где в числителе стоит скалярное произведение векторов.

Пример[править]

В кубе найти угол между плоскостями и , если ребро куба равно .

Решение методом обычной геометрии[править]

1. , где

2.

3. (как угол между диагоналями квадрата,  — квадрат, как одно из оснований куба.

Ответ:

Решение методом аналитической геометрии[править]

Введём декартовую систему координат Oxyz так, что , тогда координаты интересующих нас точек равны . Уравнение плоскости :

Уравнение плоскости :

. Так как скалярное произведение векторов равно 0, то угол между ними и, соответственно, искомый равен

Ответ: