Иррациональные уравнения: основные методы и приёмы решения

Рассмотрим основные методы решения иррациональных уравнений и приёмы решения иррациональных уравнений определённого вида.

Формирование полноценной учебной деятельности предполагает овладение обобщёнными подходами к решению достаточно широких классов задач. При обучении решению уравнений чаще всего рассматриваются специальные приёмы решения отдельно для каждого вида уравнений. Однако при решении самых разных уравнений применяются, в сущности, всего четыре метода: разложение на множители; замена переменной; переход от равенства функций к равенству аргументов; функционально-графический. Рассмотрим подробнее каждый из названных методов применительно к решению иррациональных уравнений.

В школьных учебниках иррациональные уравнения представлены не очень богатым набором. Пропедевтический этап их изучения включает в себя, в частности, формирование понятия арифметического квадратного корня. Именно на этой базе решается вопрос о существовании и способах нахождения решений уравнений вида ${\sqrt {f\left(x\right)}}=a$.

При решении уравнений вида ${\sqrt {f\left(x\right)}}={\sqrt {g\left(x\right)}}$ рассматривается один из основных приёмов решения иррациональных уравнений — возведение обеих его частей в одну и ту же степень. Здесь у учителя впервые появляется возможность вести полноценный разговор о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений.

Метод перехода

Суть метода перехода: переход от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.

Способы реализации

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Задание 1. Решите уравнение

Использование формулы ${\sqrt[{2n}]{{\left(f\left(x\right)\right)}^{2n}}}=\left\vert f\left(x\right)\right\vert$.

Задание 1. Решите уравнение