Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску
Некоторые часто используемые формулы | Краткие сведения о комплексных числах


В этой главе под буквами подразумеваются, если это не указано явно, не только действительные числа, но и другие математические объекты, для которых указанные операции имеют смысл, например, это могут быть многочлены и т. п.

Основные законы алгебры[править]

Справедливы следующие тождества:

  • Переместительный (коммутативный) закон сложения:
(Д1.1)
  • Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:
(Д1.2)
  • Переместительный (коммутативный) закон умножения:
(Д1.3)
  • Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:
(Д1.4)
  • Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:
(Д1.5)

Дроби[править]

Здесь предполагается, что знаменатели дробей не обращаются в 0.

(Д1.6)
(Д1.7)
(Д1.8)
(Д1.9)
(Д1.10)

В частности,

    (Д1.11)
(Д1.12)
(Д1.13)

Пропорции[править]

Из отношения, называемого пропорцией,

(Д1.14)

следует, что

или (Д1.15)

Производные пропорции:

(Д1.16)

где такие, что .

В частности,

    (Д1.17)
     (знаки в числителе и знаменателе независимы)(Д1.18)

(Для правой и левой частей берутся либо только верхние знаки, либо только нижние.)

В общем:

(Д1.19)

В частности,

(Д1.20)

(Знаки в знаменателе должны повторять соответствующие знаки в числителе.)

Правила обращения со степенями[править]

Предполагается, что операции допустимы.

(Д1.21)
(Д1.22)
(Д1.23)
(Д1.24)
(Д1.25)

Считается, что

  (выражение неопределено!),    (Д1.26)
(Д1.27)

Тождества сокращённого умножения[править]

Бином Ньютона:

(Д1.28)

Рисунок Д1.1. Первые 5 строк треугольника Паскаля.

где  — количество сочетаний из элементов по в каждом, или биномиальные коэффициенты;  — факториал числа . По определению, .

Для степени разности будем иметь:

(Д1.29)

Числа образуют, так называемый треугольник Паскаля. Как видно из рисунка Д1.1, каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.

Частные случаи формул (Д1.28) и (Д1.29):

— квадрат суммы;(Д1.30)
— квадрат разности;(Д1.31)
— куб суммы;(Д1.32)
— куб разности;(Д1.33)
— биквадрат суммы;(Д1.34)
— биквадрат разности.(Д1.35)

Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых мультиномов:

(Д1.36)

где  — обобщённые биномиальные коэффициенты, или мультиномиальные коэффициенты.

В частности,

(Д1.37)

При мультиномиальные коэффициенты (в этом случае они называются «триномиальные») образуют пирамиду Паскаля.

Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:

(Д1.38)
(Д1.39)
(Д1.40)

В частности,

— разность квадратов;(Д1.41)
— разность кубов;(Д1.42)
— сумма кубов;(Д1.43)
— разность биквадратов.(Д1.44)

Средние величины[править]

  • Среднее арифметическое:
(Д1.45)
  • Среднее взвешенное:
(Д1.46)

где .

Среднее арифметическое является частным случаем среднего взвешенного при .

  • Среднее геометрическое:
(Д1.47)

где .

  • Среднее взвешенное геометрическое:
(Д1.48)

где , .

Среднее геометрическое является частным случаем среднего взвешенного геометричесокго при .

  • Среднее гармоническое:
(Д1.49)
  • Среднее квадратичное:
(Д1.50)

Имеет место следующее неравенство (неравенство Коши):

(Д1.51)

Абсолютная величина[править]

Рисунок Д1.2. График функции .

Абсолютной величиной, или модулем называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2) такая, что

(Д1.52)

Альтернативное определение:

(Д1.53)

Модулем комплексного числа называется выражение вида:

(Д1.53)

Рисунок Д1.3. Геометрическая интерпретация модуля.

Геометрически (рисунок Д1.3) модуль числа равен расстоянию между точками и , а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности,  — это расстояние от точки вещественной прямой с координатами до начала координат .

Свойства[править]

, причём , тогда и только тогда, когда .(Д1.54)
(Д1.55)
(Д1.56)
  • Если существует , то
(Д1.57)
(Д1.58)
(Д1.59)
неравенство треугольника.(Д1.60)
Имеет место и более общее свойство:
или (Д1.61)
— обратное неравенство треугольника.(Д1.62)

Методы уничтожения иррациональности[править]

В некоторых задачах часто возникает потребность избавится от иррациональности в числителе или знаменателе в выражении вида , где и/или содержит радикалы.

Основным методом уничтожения иррациональности является метод умножения на сопряжённый множитель.

Сопряжённым множителем относительно выражения , содержащего радикалы, называется такое выражение , что выражение не содержит радикалов.

  • Для выражения вида
(Д1.63)

где и , сопряжённый множитель будет иметь вид:

(Д1.64)

Действительно, домножив на , получим:

(Д1.65)
  • Для выражения вида
(Д1.66)

сопряжённый множитель находится, исходя из формул (Д1.38)—(Д1.40).

Для выражения

(Д1.67)

сопряжённый множитель

(Д1.68)

Для выражения

(Д1.69)

сопряжённый множитель

(Д1.70)

Для выражения

(Д1.71)

сопряжённый множитель

(Д1.72)

В частности, для выражения

(Д1.73)

сопряжённый множитель равен:

(Д1.74)

а для выражения

(Д1.75)

имеет вид:

(Д1.76)

Сопряжённый множитель для выражений вида

(Д1.77)

где , можно найти по формулам, аналогичным указанным выше, если предварительно представить исходное выражение как:

(Д1.78)

где  — наименьшее общее кратное (НОК) чисел и ; .

Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала:

(Д1.79)

где .

При преобразовании радикалов важно помнить, что:

(Д1.80)
(Д1.81)