Некоторые часто используемые формулы | Краткие сведения о комплексных числах →
В этой главе под буквами подразумеваются, если это не указано явно, не только действительные числа, но и другие математические объекты, для которых указанные операции имеют смысл, например, это могут быть многочлены и т. п.
Основные законы алгебры[править]
Справедливы следующие тождества:
- Переместительный (коммутативный) закон сложения:
(Д1.1)
- Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:
(Д1.2)
- Переместительный (коммутативный) закон умножения:
(Д1.3)
- Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:
(Д1.4)
- Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:
(Д1.5)
Здесь предполагается, что знаменатели дробей не обращаются в 0.
(Д1.6)
(Д1.7)
(Д1.8)
(Д1.9)
(Д1.10)
В частности,
-
(Д1.11)
(Д1.12)
(Д1.13)
Из отношения, называемого пропорцией,
(Д1.14)
следует, что
или
(Д1.15)
Производные пропорции:
(Д1.16)
где
такие, что
.
В частности,
-
(Д1.17)
-
(знаки в числителе и знаменателе независимы)(Д1.18)
(Для правой и левой частей берутся либо только верхние знаки, либо только нижние.)
В общем:
(Д1.19)
В частности,
(Д1.20)
(Знаки в знаменателе должны повторять соответствующие знаки в числителе.)
Правила обращения со степенями[править]
Предполагается, что операции допустимы.
(Д1.21)
(Д1.22)
(Д1.23)
(Д1.24)
(Д1.25)
Считается, что
(выражение
— неопределено!),
(Д1.26)
(Д1.27)
Тождества сокращённого умножения[править]
Бином Ньютона:
(Д1.28)
Рисунок Д1.1. Первые 5 строк треугольника Паскаля.
где
— количество сочетаний из
элементов по
в каждом, или биномиальные коэффициенты;
— факториал числа
. По определению,
.
Для степени разности будем иметь:
(Д1.29)
Числа
образуют, так называемый треугольник Паскаля. Как видно из рисунка Д1.1, каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.
Частные случаи формул (Д1.28) и (Д1.29):
— квадрат суммы;(Д1.30)
— квадрат разности;(Д1.31)
— куб суммы;(Д1.32)
— куб разности;(Д1.33)
— биквадрат суммы;(Д1.34)
— биквадрат разности.(Д1.35)
Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых мультиномов:
(Д1.36)
где
— обобщённые биномиальные коэффициенты, или мультиномиальные коэффициенты.
В частности,
(Д1.37)
При
мультиномиальные коэффициенты (в этом случае они называются «триномиальные») образуют пирамиду Паскаля.
Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:
(Д1.38)
(Д1.39)
(Д1.40)
В частности,
— разность квадратов;(Д1.41)
— разность кубов;(Д1.42)
— сумма кубов;(Д1.43)
— разность биквадратов.(Д1.44)
Средние величины[править]
(Д1.45)
(Д1.46)
где
.
Среднее арифметическое является частным случаем среднего взвешенного при
.
(Д1.47)
где
.
- Среднее взвешенное геометрическое:
(Д1.48)
где
,
.
Среднее геометрическое является частным случаем среднего взвешенного геометричесокго при
.
(Д1.49)
(Д1.50)
Имеет место следующее неравенство (неравенство Коши):
(Д1.51)
Абсолютная величина[править]
Рисунок Д1.2. График функции

.
Абсолютной величиной, или модулем
называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2) такая, что
(Д1.52)
Альтернативное определение:
(Д1.53)
Модулем комплексного числа
называется выражение вида:
(Д1.53)
Рисунок Д1.3. Геометрическая интерпретация модуля.
Геометрически (рисунок Д1.3) модуль числа
равен расстоянию между точками
и
, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности,
— это расстояние от точки вещественной прямой с координатами
до начала координат
.
, причём
, тогда и только тогда, когда
.(Д1.54)
(Д1.55)
(Д1.56)
- Если существует
, то
(Д1.57)
(Д1.58)
(Д1.59)
— неравенство треугольника.(Д1.60)
- Имеет место и более общее свойство:
или
(Д1.61)
— обратное неравенство треугольника.(Д1.62)
Методы уничтожения иррациональности[править]
В некоторых задачах часто возникает потребность избавится от иррациональности в числителе или знаменателе в выражении вида
, где
и/или
содержит радикалы.
Основным методом уничтожения иррациональности является метод умножения на сопряжённый множитель.
Сопряжённым множителем относительно выражения
, содержащего радикалы, называется такое выражение
, что выражение
не содержит радикалов.
(Д1.63)
где
и
, сопряжённый множитель будет иметь вид:
(Д1.64)
Действительно, домножив
на
, получим:
(Д1.65)
(Д1.66)
сопряжённый множитель находится, исходя из формул (Д1.38)—(Д1.40).
Для выражения
(Д1.67)
сопряжённый множитель
(Д1.68)
Для выражения
(Д1.69)
сопряжённый множитель
(Д1.70)
Для выражения
(Д1.71)
сопряжённый множитель
(Д1.72)
В частности, для выражения
(Д1.73)
сопряжённый множитель равен:
(Д1.74)
а для выражения
(Д1.75)
имеет вид:
(Д1.76)
Сопряжённый множитель для выражений вида
(Д1.77)
где
, можно найти по формулам, аналогичным указанным выше, если предварительно представить исходное выражение как:
(Д1.78)
где
— наименьшее общее кратное (НОК) чисел
и
;
.
Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала:
(Д1.79)
где
.
При преобразовании радикалов важно помнить, что:
(Д1.80)
(Д1.81)