Иная методическая точка зрения

Современная тенденция в преподавании математики состоит в том, чтобы включать в содержание образования не только «чисто математическую», но и методологическую составляющую: общие знания о математических объектах, явлениях, величинах и законах, знания о методах научного познания, о математической картине мира и др.

Учитель может включить в логику изложения тригонометрии знания совершенно нового методического характера (знания о знаниях). Каждую дисциплину можно разбить на четыре группы:

математические объекты;
математические явления;
математические величины;
математические законы.

Остановимся подробнее на каждой из перечисленных групп.

Математические объекты[править]

Определение “Объект”. Объектами принято называть всё то, на что направлена познавательная или иная деятельность человека.

Определение “Математический объект”. Математический объект — объект математического исследования и его применения на практике.

Так, число, график, треугольник, буква, пирамида, слово — математические объекты. Пожалуй, главной особенностью всех математических объектов является то, что они не реальны, то есть идеализированны.

Идеализированные объекты есть объекты, которых в природе не существуют. Понятия о таких объектах вводятся при создании соответствующей теории для описания множества реальных объектов, описываемых данной теорией.

Следовательно, помимо чисто «математических», можно назвать и другие — например, абсолютное твёрдое тело и материальная точка (механика), идеальный газ (молекулярно-кинетическая теория), географическая карта (картография), модельные организмы (энтомология).

В определении идеализированных объектов всегда указаны условия, при которых конкретный материальный объект может быть уподоблен идеализированному. Скажем, точка в геометрии — модель, или идеализация, тел (объектов), размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.

В математике используют объекты, вводимые для математического описания явлений: натуральное число ‘результат счёта предметов’, матрица ‘прямоугольная таблица действительных чисел’, угол ‘фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами’, график функции ‘множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которого пробегают все значения аргумента функции, а ординаты равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента’ и т. п. В их определениях указано строение объекта, его конструкция либо способ получения объекта [условие]. Натуральное число можем получить лишь при попытке сосчитать окружающие нас предметы [это условие], а алгебраическая дробь — при записи определённым образом двух числовых или буквенных выражений с помощью черты (одно располагается над чертой, другое — под ней).

Математические явления[править]

На вопрос „Что изучает математика?” можно кратко ответить — „Математические явления”. Недаром многие параграфы и темы любого учебника по математике содержат названия математических явлений: «Параллельность в пространстве» [явление параллельности], «Выпуклые многоугольники» [явление выпуклости], «Подобие фигур» [явление подобия], «Числовые последовательности» [явление последовательности], «Отношения и пропорции» [явление пропорции], «Уравнения с одной неизвестной» [явление уравнения] и др.

Поясним смысл термина “математическое явление” и его связь с предыдущим термином “математический объект”. Математические объекты, образно говоря, могут взаимодействовать между собой. В результате этого взаимодействия устанавливается вполне определённое состояние этих объектов.

Например, прямая и плоскость между собой могут взаимодействовать, в результате чего мы говорим об их взаимном расположении относительно друг друга. Может так оказаться, что они пересекаются либо не пересекаются, в противном случае — прямая целиком и полностью лежит в указанной плоскости. Однако каждое из перечисленных состояний происходит не всегда, а только при определённых условиях. В частности, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

Определение “Математическое явление” (первое). Установление нового состояния взаимодействующих между собой математических объектов, происходящее при определённых условиях, называется математическим явлением.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример

Пример:

Функция — математическое явление, заключающееся в установлении соответствия (правила, закона) $y=f\left(x\right)$ между элементами двух множеств ( $X$ и $Y$ ). Устанавливается такая зависимость при условии, что каждому элементу множества $X$ ( $x\in X$ ) соответствует единственный элемент множества $Y$ ( $y\in Y$ ). Объясняется тем, что элементы $y$ множества $Y$ как переменные величины становятся зависимыми от элементов $x$ множества $X$ .

Это определение содержит информацию о математическом объекте, с которым происходят изменения (элемент множества $Y$ ), характере этих изменений (связь зависимостью/соответствием), воздействующем объекте (элемент множества $X$ ) и условиях взаимодействия (каждому элементу множества $X$ соответствует единственный элемент множества $Y$ ). Определение дополнено объяснением, которое базируется на моделях объекта (элемент $y$ рассматривается как переменная величина, которая принимает свои значения от значений другой величины) и моделях воздействующего объекта (элемент $x$ — тоже переменная величина, принимающая различные значения из заданного множества $X$ ).

Определение “Математическое явление” (второе). Изменение состояния математического объекта под воздействием другого объекта, происходящее при определённых условиях, называется математическим явлением.

В связи с этим в определении любого математического явления содержится информация об объекте, с которым происходят изменения, характере этих изменений (переходе объекта из начального состояния в новое), воздействующем объекте, и условиях взаимодействия.

Так, в приведённом выше примере с прямой и плоскостью описана параллельность прямой плоскости — математическое (точнее, геометрическое) явление, заключающееся в расположении прямой в пространстве относительно плоскости при отсутствии общих точек с ней [плоскостью].

Математические величины[править]

Математические объекты различаются по своим свойствам. При этом одно и то же свойство может быть выражено в разной степени. Например, рассматривая любое множество как математический объект, ему свойственная количественной характеристикой, указывающая число элементов; но одни множества содержат много элементов, другие — мало. Для того чтобы описать то или иное свойство количественно, вводят понятие о математической величине.

Например: мощность — величина, показывающая число элементов множества; объём — величина, показывающая расположение фигуры в пространстве; разность — величина удалённости одного числа от другого в определённом направлении.

Определение “Математическая величина”. Математическая величина — свойство, общее в качественном отношении многим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Различают скалярные и векторные математические величины.

Математические законы[править]

Математические суждения, полученные экспериментальным или теоретическим путём, как правило, представляют собой математические законы или научные факты.

Экспериментальные или теоретические исследования математических явлений позволяют выявить устойчивые связи и отношения между математическими величинами.

Определение “Математический закон”. Суждения, в которых содержится обобщённая информация об устойчивых связях и отношениях между математическими величинами, называется математическим законом.

Познание математических законов составляет основную задачу математики.

Определение “Научный факт”. Научным фактом называют суждение, в котором содержится информация о некотором общем свойстве множества объектов или отношениях между ними.

Например, «арифметическая прогрессия является числовой последовательностью», «значения тригонометрических функций зависят только от угла и не зависят от выбора прямоугольного треугольника (т. е. от его размеров и расположения)» и др.

Пример[править]

Математические объекты, изучаемые в теме[править]

Математические объекты, изучаемые в теме
Математические объекты	Идеализированные объекты	Объекты, вводимые для математического описания
Треугольник	Точка, прямая, плоскость	Сторона, вершина треугольника; катеты, гипотенуза

Математические явления[править]

Изучается одно математическое явление — равенство геометрических фигур.

Треугольник называется равным другому треугольнику, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключённые между соответственно равными сторонами, равны.

Раздел «ТРЕУГОЛЬНИКИ» Тема «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ»
Математические ОБЪЕКТЫ	Математические ЯВЛЕНИЯ	Математические ВЕЛИЧИНЫ	Математические ЗАКОНЫ
Треугольник