Дифференциальные уравнения/Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску
Дифференциальные уравнения для школьников
Понятие дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение и способ решения[править]

Пусть — некоторая функция, — ее производная. Для удобства будем записывать производную в виде , имеющим смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал — приращение значения переменной в окрестности , стремящееся к нулю. Дифференциал функции — малое приращение функции, . Пусть и — некоторые функции от и . Рассмотрим уравнение

.

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :

.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от до для левой части и от для для правой части уравнения:

.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить .

Значения и называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где — первообразная , — произвольная постоянная, запишем это в виде

.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные , удовлетворяющие уравнению . При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

Пример 1[править]

Решить дифференциальное уравнение .

Разделим переменные:

.

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

,
.

Осталось лишь выразить через :

.

Найдем также нулевые решения:

.

Ответ: .

Пример 2[править]

Определить максимальную скорость, которую может развить ракета в космосе. Начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты без топлива равна , с топливом — . Скорость выброса топлива относительно ракеты равна . Ракета движется вдали от звезд и планет.

Рис. 1

Пусть ракета движется вдоль оси (Рис. 1). В некоторый момент от нее отделяется малая масса топлива . При этом скорость ракеты увеличивается на . Запишем закон сохранения импульса в проекции на :

.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

.

Величина — произведение двух бесконечно малых величин. Поэтому ею можно пренебречь:

.

Интегрируем:

,
,
,
.

Впервые эта формула была получена К. Э. Циолковским[1].

Ответ: .

Пример 3[править]

Пружина жесткостью с прикрепленным к ней грузом массой находятся в горизонтальной плоскости в положении равновесия, совпадающем с началом координат. Свободный конец пружины закреплен. Пружина параллельна оси . В начальный момент времени грузу сообщают скорость вдоль . Найти зависимость координаты груза от времени.

Рис. 2

В произвольный момент времени координата груза равна , скорость — (Рис. 2). Запишем закон сохранения энергии:

.

Выполним следующие преобразования:

,
,
.

Введя обозначение и записав скорость в виде , получим дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

.

Разделим переменные:

,
.

Найдем . Для этого выполним замену . Тогда . Выразим дифференциал : , . Теперь интегрируем:

.

Подставляя в уравнение, имеем:

,
,
.

Движения, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Рассмотренная система называется пружинным маятником. Видно, что в нашем случае максимальный модуль координаты равен . Он часто обозначается буковой и называется амплитудой колебаний. Амплитуда гармонических колебаний всегда определяется начальными условиями.

Ответ: .

Задачи[править]

Решить дифференциальные уравнения:

  1. Конденсатор емкостью , заряженный до напряжения , подключили к резистору с сопротивлением . Через какое время заряд конденсатора достигнет 1% первоначального значения?
  2. Шарик массой кг подбросили вертикально вверх со скоростью м/с. Чему равна максимальная высота подъема шарика? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, коэффициент сопротивления равен Нс/м.

  1. Рукопись «Ракета», 10 мая 1897 года. Архив Российской академии наук (АРАН). Ф.555. Оп.1. Д.32. ЛЛ. 1, 2, 5, 11, 20