Определение и способ решения[править]
Пусть
— некоторая функция,
— ее производная. Для удобства будем записывать производную в виде
, имеющим смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал
— приращение значения переменной в окрестности
, стремящееся к нулю. Дифференциал функции
— малое приращение функции,
. Пусть
и
— некоторые функции от
и
. Рассмотрим уравнение
.
Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на
:
.
Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при
и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от
до
для левой части и от
для
для правой части уравнения:
.
Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить
.
Значения
и
называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —
, где
— первообразная
,
— произвольная постоянная, запишем это в виде
.
Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные
, удовлетворяющие уравнению
. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).
Решить дифференциальное уравнение
.
Разделим переменные:
.
Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:
,
.
Осталось лишь выразить
через
:
.
Найдем также нулевые решения:
.
Ответ:
.
Определить максимальную скорость, которую может развить ракета в космосе. Начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты без топлива равна
, с топливом —
. Скорость выброса топлива относительно ракеты равна
. Ракета движется вдали от звезд и планет.
Пусть ракета движется вдоль оси
(Рис. 1). В некоторый момент от нее отделяется малая масса топлива
. При этом скорость ракеты увеличивается на
. Запишем закон сохранения импульса в проекции на
:
.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:
.
Величина
— произведение двух бесконечно малых величин. Поэтому ею можно пренебречь:
.
Интегрируем:
,
,
,
.
Впервые эта формула была получена К. Э. Циолковским[1].
Ответ:
.
Пружина жесткостью
с прикрепленным к ней грузом массой
находятся в горизонтальной плоскости в положении равновесия, совпадающем с началом координат. Свободный конец пружины закреплен. Пружина параллельна оси
. В начальный момент времени грузу сообщают скорость
вдоль
. Найти зависимость координаты груза от времени.
В произвольный момент времени координата груза равна
, скорость —
(Рис. 2). Запишем закон сохранения энергии:
.
Выполним следующие преобразования:
,
,
.
Введя обозначение
и записав скорость в виде
, получим дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:
.
Разделим переменные:
,
.
Найдем
. Для этого выполним замену
. Тогда
. Выразим дифференциал
:
,
. Теперь интегрируем:
.
Подставляя в уравнение, имеем:
,
,
.
Движения, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Рассмотренная система называется пружинным маятником. Видно, что в нашем случае максимальный модуль координаты равен
. Он часто обозначается буковой
и называется амплитудой колебаний. Амплитуда гармонических колебаний всегда определяется начальными условиями.
Ответ:
.
Решить дифференциальные уравнения:
Ответ
Ответ
Ответ
Указание
Сделать замену
.
Ответ
Ответ
Указание
При интегрировании сделать замену
и воспользоваться тригонометрическим тождеством
.
Ответ
- Конденсатор емкостью
, заряженный до напряжения
, подключили к резистору с сопротивлением
. Через какое время заряд
конденсатора достигнет 1% первоначального значения?
Указание
Воспользоваться законом Ома и тем, что ток через резистор равен
.
Ответ
- Шарик массой
кг подбросили вертикально вверх со скоростью
м/с. Чему равна максимальная высота
подъема шарика? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, коэффициент сопротивления равен
Н
с/м.
Указание
При использовании второго закона Ньютона представить ускорение в виде
, при интегрировании сделать замену
.
Ответ
м.
- ↑ Рукопись «Ракета», 10 мая 1897 года. Архив Российской академии наук (АРАН). Ф.555. Оп.1. Д.32. ЛЛ. 1, 2, 5, 11, 20